2 Th´ eor` emes de comparaison

1 D´ efinitions, notations et premi` eres propri´ et´ es

D´efinition 1 Soit(un)n∈N une suite r´eelle. On appelle s´erie de terme g´en´eralu_n le couple de suites (un)n∈N;

_n P

k=0

uk

n∈N

!

. Une s´erie de terme g´en´eral un sera not´ee P

n>0

un. Soit P

n>0

un une s´erie.

La suite (Sn)_n∈N de terme g´en´eral Sn =

n

P

k=0

u_k est appel´ee suite des sommes partielles de la s´erie P

n>0

u_n.

Si (un)n∈N n’est d´efinie que pour n>n₀, la s´erie P

n>n0

u_n est encore appel´ee s´erie de terme g´en´eral u_n. La suite des sommes partielles (Sn)n∈N est alors d´efinie pourn>n₀ par :

∀n>n₀, Sn=

n

X

k=n0

uk.

D´efinition 2 On dit qu’une s´erie P

n>0

un est convergente si la suite des sommes partielles associ´ee

`

a cette s´erie converge. Dans ce cas, on appelle somme de la s´erie le nombre S d´efini par S = lim

n→∞S_n= lim

n→∞

n

X

k=0

u_k=

+∞

X

k=0

u_k

et reste d’ordre p (p∈N) le nombreR_p = ⁺

∞

P

k=p+1

u_k (on a alors pour tout entier n, S=S_n+R_n).

Une s´erie qui ne converge pas est dite divergente.

Proposition 1 La s´erie P

n>0

qⁿ converge si et seulement si q ∈[0; 1[.

Preuve - Soit n∈N.

Siq = 1, alorsSn=ndonc lim

n→+∞Sn= +∞ donc P

n>0

qⁿ diverge.

Supposons maintenantq 6= 1.

S_n=

n

X

k=0

q^k = 1−qⁿ⁺¹ 1−q

Siq = 0,Sn= 1 doncSn−−−−−→_n→+∞ 1 et donc P

n>0

qⁿ converge et ⁺

∞

P

k=0

q^k= 1.

Si 0< q <1, alorsS_n−−−−−→_n→

+∞ 1 1−q. P

n>0

qⁿ converge et ⁺

∞

P

k=0

q^k= _1−q¹ . Siq >1,qⁿ⁺¹−−−−−→_n→+∞ +∞donc P

n>0

qⁿ diverge. 2

Proposition 2 Soient P

n>0

unune s´erie etn₀∈N. Les s´eries P

n>0

unet P

n>n0

unsont de mˆeme nature et si elles convergent, alors on a :

+∞

X

n=0

un=

n0−1

X

n=0

un+

+∞

X

n=n0

un. Preuve - Soit N > n₀.

N

X

n=0

u_n=

n0−1

X

n=0

u_n+

N

X

n=n0

u_n. Si P

n>0

un converge, alors :

N

X

n=0

u_n−−−−−→

N→+∞

+∞

X

n=0

u_n. On en d´eduit :

N

X

n=n0

u_n=

N

X

n=0

u_n−

n0−1

X

n=0

u_n−−−−−→

N→+∞ +∞

X

n=0

u_n−

n0−1

X

n=0

u_n Par cons´equent, P

n>n0

u_n converge.

Si P

n>n0

u_n converge, alors :

N

X

n=n0

u_n−−−−−→_N

→+∞ +∞

X

n=n0

u_n. On en d´eduit :

N

X

n=0

u_n−−−−−→

N→+∞ n0−1

X

n=0

u_n+

+∞

X

n=n0

u_n. Par cons´equent, P

n>0

u_n converge. 2

Th´eor`eme 1 Crit`ere de Cauchy P

n>0

un converge si et seulement si :

∀ε >0, ∃n₀∈N, ∀n, p∈N, n>n₀ ⇒

n+p

X

k=n

u_k

< ε.

Preuve - Notons (Sn)n∈N la suite des sommes partielles associ´ee `a la s´erie P

n>0

u_n. Si P

n>0

u_nconverge, alors (Sn)n∈Nest convergente.R´etant complet, (Sn)n∈Nest une suite de Cauchy donc :

∀ε >0, ∃n₀ ∈N, ∀n, p∈N, n>n₀ ⇒ |S_n+p−S_n|< ε.

Or,

S_n+p−Sn=

n+p

X

k=n+1

uk

donc :

∃n₁∈N,(n₁ =n₀+ 1), ∀n, p∈N, n>n₁ ⇒

n+p

X

k=n

uk

< ε.

Supposons maintenant que P

n>0

un v´erifie la condition ´enonc´ee dans le th´eor`eme. Alors :

∀ε >0, ∃n₀ ∈N, ∀n, p∈N, n>n₀ ⇒ |S_n+p−Sn−1|< ε.

(Sn)_n∈Nest donc une suite de Cauchy dans Rdonc cette suite converge et donc P

n>0

unconverge.2 Cons´equence : Si P

n>0

un converge, alors lim

n→+∞un = 0. En effet, supposons que P

n>0

un converge.

Alors P

n>0

un v´erifie le crit`ere de Cauchy. Appliquons ce crit`ere avecp= 0 :

∀ε >0, ∃n₀ ∈N, ∀n∈N n>n₀ ⇒ |un|< ε.

Donc u_n−−−−−→_n→+∞ 0.

2 Th´ eor` emes de comparaison

Lemme 1 Soit P

n>0

u_n une s´erie `a termes dans R⁺. P

n>0

u_n converge si et seulement si il existe M ∈R⁺ tel que pour tout n∈N, Pⁿ

k=0

u_k6M.

Preuve - La suite (S_n)_n∈N des sommes partielles est croissante. Par cons´equent, elle converge si

et seulement si elle est major´ee. 2

Cons´equence : Si P

n>0

u_n est une s´erie `a termes dansR⁺, alors ou bien P

n>0

u_n converge, ou bien

n

P

k=0

u_k−−−−−→_n→+∞ +∞.

Th´eor`eme 2 Th´eor`eme de majoration Soient P

n>0

un et P

n>0

vn deux s´eries `a termes dans R⁺. Si pour tout entier n, 0 6 un 6 vn, et si P

n>0

vn converge, alors P

n>0

un converge.

Preuve - Soit n∈N.

∀k∈N, 06u_k6v_k donc

n

P

k=0

v_k6

n

P

k=0

v_k. P

n>0

v_n converge donc

n

P

k=0

v_k6

+∞

P

k=0

v_k. Donc pour tout entier n,

n

P

k=0

uk6

+∞

P

k=0

vk. D’apr`es le lemme 1, P

n>0

u_n converge. 2

Cons´equence : Par contraposition, si pour tout entier n, 0 6 u_n 6 v_n et si P

n>0

u_n diverge, alors P

n>0

v_n diverge.

Th´eor`eme 3 Soient P

n>0

u_n et P

n>0

v_n deux s´eries `a termes dans R⁺. Si u_n= O

+∞(vn) et si P

n>0

v_n converge, alors P

n>0

u_n converge.

Preuve - u_n = O

+∞

(v_n) donc il existe K ∈ R et n₀ ∈ N tels que pour tout n > n₀, u_n 6 Kv_n. P

n>0

v_nconverge donc P

n>n0

Kv_nconverge et donc P

n>n0

u_n converge d’apr`es le th´eor`eme 2. D’apr`es la proposition 2, P

n>0

u_n et P

n>n0

u_n sont de mˆeme nature donc P

n>0

u_n converge. 2

Th´eor`eme 4 Th´eor`eme d’´equivalence Soient P

n>0

u_n et P

n>0

v_n deux s´eries `a termes dans R⁺. Si pour tout n∈ N, v_n >0 et si u_n ∼

+∞v_n, alors P

n>0

u_n et P

n>0

v_n sont de mˆeme nature.

Preuve - u_n ∼

+∞v_n, c’est-`a-dire (u_n−v_n) = o

+∞(v_n).

Il existe une suite (εn)n∈Ntelle queu_n−v_n=ε_nv_netε_n−−−−−→_n→+∞ 0 doncu_n= (1 +ε_n)vnest positive

`

a partir d’un certain rang. Donc :

∃n₀ ∈N, ∀n∈N, n>n₀⇒ |un−vn|6vn et doncun62vn

Comme on a aussi (vn−un) = o

+∞(un) :

∃n₁∈N, ∀n∈N, n>n₀ ⇒ |v_n−u_n|6u_n et doncv_n62un

Par cons´equent,u_n= O

+∞(vn) et v_n= O

+∞(un).

D’apr`es le th´eor`eme 3, si P

n>0

v_n converge, alors P

n>0

u_n converge et si P

n>0

u_n converge, alors P

n>0

v_n converge. Par cons´equent P

n>0

u_n et P

n>0

v_n sont de mˆeme nature. 2

3 Comparaison s´ erie-int´ egrale

Th´eor`eme 5 Soient n₀ ∈N et f : [n₀; +∞[→ R⁺ continue par morceaux, d´ecroissante. La s´erie P

n>n0

f(n) converge si et seulement si f est int´egrable sur[n0; +∞[. Dans ce cas, on a :

∀n₀ ∈N, n>n₀,

Z ₊∞ n+1

f(x)dx6

+∞

X

k=n+1

f(k)6 Z ₊∞

n

f(x)dx.

Preuve - Soitk∈N, k>n₀.f est d´ecroissante sur [n0; +∞[ donc sur [k;k+ 1] donc on a :

∀x∈[k;k+ 1], f(k+ 1)6f(x)6f(k).

En int´egrant sur [k;k+ 1] : Z k+1

k

f(k+ 1)dx6 Z k+1

k

f(x)dx6 Z k+1

k

f(k)dx C’est-`a-dire :

f(k+ 1)6 Z _k+1

k

f(x)dx6f(k) Supposons f int´egrable sur [n0; +∞].

Soit N ∈N, N >n₀.

N

X

k=n0+1

f(k)6

N

X

k=n0

Z _k+1

k

f(x)dx C’est-`a-dire :

N

X

k=n0+1

f(k)6

N+1

Z

n0

f(x)dx f ´etant positive, on a pour tout entierN > n₀ :

Z _N+1

n0

f(x)dx6 Z ₊∞

n0

f(x)dx

La suite des sommes partielles associ´ee `a la s´erie `a termes positifs P

n>n0

f(n) est major´ee par f(n₀) +R₊∞

n0 f(x)dx. D’apr`es le lemme 1, il en r´esulte que P

n>n0

f(n) converge.

Supposons maintenant que P

n>n0

f(n) converge. Soit N ∈N, n>n₀.

N

X

n=n0

Z n+1 n

f(x)dx6

N

X

n=n0

f(n)6

+∞

X

n=n0

f(n) Donc :

Z _N+1

n0

f(x)dx6

+∞

X

n=n0

f(n) RN+1

n0 f(x)dx

N∈N N >n0

est une suite croissante (car f est positive) et major´ee. Elle admet donc une limite quand N →+∞. Par cons´equent,f est int´egrable sur [n₀; +∞[.

On suppose maintenant que les conditions du th´eor`eme sont v´erifi´ees.

Soient n, N ∈N, n>n₀ etN > n.

N

X

k=n+1

f(k)6

N

X

k=n+1

Z _k+1

k

f(x)dx

N

X

k=n+1

f(k)6 Z N+1

n+1

f(x)dx

Par conservation des in´egalit´es par passage `a la limite quandN →+∞, on obtient :

+∞

X

k=n+1

f(k)6 Z ₊∞

n+1

f(x)dx.

On a ´egalement l’in´egalit´e suivante :

N

X

k=n+1

Z _k+1

k

f(x)dx6

N

X

k=n+1

f(k) C’est-`a-dire :

Z N n+1

f(x)dx6

N

X

k=n+1

f(k).

Par conservation des in´egalit´es par passage `a la limite quandN →+∞, on obtient : Z +∞

n+1

f(x)dx6

+∞

X

k=n+1

f(k).

2

Th´eor`eme 6 S´eries de Riemann P

n>1 1

n^α converge si et seulement si α >1.

Preuve - Siα60, alors _n¹α ne converge pas vers 0 donc P

n>1 1

n^α diverge.

Siα= 1, notons (Sn)n>1 la suite des sommes partielles associ´ee `a la s´erie P

n>1 1

n^α. Soit n∈N. S_2n−Sn= P²ⁿ

k=n+1 1 k.

Pour tout ktel quen+ 16k62n, _k¹ > _2n¹ . Donc S_2n−S_n>

2n

P

k=n+1 1 2n

S_2n−Sn>n×_2n¹ S_2n−S_n> ¹₂.

(Sn)_n>1 n’est pas une suite de Cauchy donc (Sn)_n>1 ne converge pas, c’est-`a-dire P

n>1 1

n^α diverge.

Si 0< α <1 :

Pour tout entier naturel non nuln,n^α6ndonc _n¹α > ¹_n. P

n>1 1

n^α et P

n>1 1

n sont des s´eries `a termes dansR⁺telles que pour toutn∈N^∗, _n¹α > _n¹. P

n>1 1

n diverge donc P

n>1 1

n^α diverge (cons´equence du th´eor`eme 2).

Siα >1 :

D’apr`es le th´eor`eme 5, P

n>1 1

n^α converge si et seulement si la fonction f d´efinie sur [1; +∞[ par f(x) = _x¹α est int´egrable sur [1; +∞[. SoitX >1.

Z X 1

1 x^αdx=

x^1−α 1−α

X 1

= 1

1−α 1

X^α−1 −1

−−−−−→_X→

+∞

1 α−1 f est int´egrable sur [1; +∞[ donc P

n>1 1

n^α est convergente. 2

4 Crit` eres de convergence

4.1 R`egle de Cauchy Th´eor`eme 7 Soit P

n>1

un une s´erie `a termes dansR⁺telle qu’il existel∈Rtel que √ⁿ

u_n−−−−−→_n→+∞ l.

– si l <1, alors P

n>1

un converge.

– si l >1, alors P

n>1

un diverge.

Preuve - Supposons l <1.

Soit ε= ¹⁻₂^l.

∃n₀ ∈N, ∀n∈N, n>n₀ ⇒ ⁿ

√u_n−l < ε.

Alors pour tout n>n₀ :

√n

u_n< l+ε

√n

u_n< 1 +l 2 un<

1 +l 2

n

. P

n>1

un et P

n>1 1+l

2

n

sont deux s´eries `a termes dans R⁺ telles que pourn>n₀,un6 ^1+l₂ n

. P

n>n0

1+l 2

n

converge car 0< ^1+l₂ <1 donc P

n>n0

un converge d’apr`es le th´eor`eme 2 (et donc P

n>1

un

converge).

Supposons l >1.

Soit ε= ^l−₂¹.

∃n₀ ∈N, ∀n∈N, n>n₀⇒ ⁿ

√u_n−l < ε Alors pour tout n>n₀ :

−ε < √ⁿ

u_n−l < ε l−ε < √ⁿ

u_n l+ 1

2 < √ⁿ u_n l+ 1

2 n

< un. P

n>1

u_n et P

n>1 1+l

2

n

sont deux s´eries `a termes dans R⁺ telles que pour toutn>n₀, ^l+1₂ n

< u_n. P

n>n0

1+l 2

n

diverge car ^1+l₂ >1 donc P

n>n0

u_ndiverge d’apr`es le th´eor`eme 2 (et donc P

n>1

u_ndiverge).

Exemple : P

n>0

n+1 2n+5

n

converge car ⁿ r

n+1 2n+5

n

= _2n+5ⁿ⁺¹ −−−−−→_n→+∞ ¹₂. 2

4.2 R`egle n<sup>α</sup>u<sub>n</sub> Th´eor`eme 8 Soit P

n>0

u_n une s´erie `a termes dans R⁺. S’il existe α > 1 tel que n^αu_n −−−−−→_n→

+∞ 0, alors P

n>0

u_n converge.

Preuve - Soit εtel que 0< ε <1.n^αun−−−−−→_n→+∞ 0 donc il existen₀ ∈N^∗ tel que pour toutn∈N, n>n₀⇒ |n^αu_n|< ε, c’est-`a-dire u_n< _n¹α.

P

n>1

u_n et P

n>1 1

n^α sont deux s´eries `a termes dans R⁺ et 0 6 u_n 6 _n¹α. P

n>1 1

n^α converge (s´erie de Riemann avecα >1) donc P

n>1

un converge d’apr`es le th´eor`eme 2. 2

4.3 S´eries de Bertrand

Proposition 3 P

n>2 1

n^α(lnn)^β, avec α, β∈Rconverge si et seulement si α >1 ou (α= 1 etβ >1).

Preuve - Siα >1 : Soit γ = ^1+α₂ .

n^γ× 1

n^α(lnn)^β = 1

n^α−12 (lnn)^β −−−−−→_n→+∞ 0.

γ >1 donc P

n>2 1

n^α(lnn)^β converge d’apr`es le th´eor`eme 8.

Siα <1 :

n× 1

n^α(lnn)^β = n^1−α

(lnn)^β −−−−−→_n→

+∞ +∞.

∃n₀ ∈N, ∀n∈N, n>n₀⇒ 1

n^α(lnn)^β > 1 n. P

n>2 1

n^α(lnn)^β et P

n>2 1

n sont deux s´eries `a termes dans R⁺ telles que pour n>n₀, _nα(lnn)^{1 β} > _n¹. P

n>n0

1

n diverge donc P

n>n0

1

n^α(lnn)^β diverge (d’apr`es le th´eor`eme 2) et donc P

n>2 1

n^α(lnn)^β diverge.

Siα= 1 :

Soit f la fonction d´efinie sur ]1; +∞[ `a valeurs dans R d´efinie par f(x) = _x(lnx)¹ β. f est d´erivable sur ]1; +∞[ et pour toutx >1 :

f^′(x) =−(lnx)^β−1

x²(lnx)^2β(lnx+β).

Pour x > e^−β, lnx >−β, c’est-`a-dire (lnx+β)>0.

Donc pourx > e^−β,f^′(x)<0 et f est d´ecroissante sur [e^−β; +∞[. f est ´egalement positive sur cet intervalle.

Soit n₀ ∈ N, n₀ > max(2, e^−β. D’apr`es le th´eor`eme 5, P

n>n0

f(n) converge si et seulement si f est int´egrable sur [n₀; +∞[.

Siβ = 1, pourN > n₀ : Z N

n0−1

1

x(lnx)^βdx= [ln lnx]^N_n0−1= ln lnN −ln ln(n₀−1)−−−−−→

N→+∞ +∞. f n’est pas int´egrable sur [n₀; +∞[ donc P

n>n0

f(n) diverge (et donc P

n>2

f(n) diverge).

Siβ 6= 1, pourN > n₀ : Z N n0

1

xlnxdx=

(lnx)^1−β 1−β

^N

n0

= (lnN)^1−β

1−β −(ln(n₀))^1−β 1−β . Cette derni`ere quantit´e a pour limite +∞ si β <1 et dans ce cas P

n>2 1

n(lnn)^β diverge.

Siβ >1, pour N > n₀ : Z N

n0

1

x(lnx)^βdx=

(lnx)^1−β 1−β

^N

n0

= (lnN)^1−β

1−β −(lnn₀)^1−β

1−β −−−−−→

N→+∞ −(lnn₀)^1−β 1−β f est int´egrable sur [n₀; +∞[ donc P

n>n0

1

n(lnn)^β converge et donc il en est de mˆeme pour la s´erie P

n>2 1

n(lnn)^β 2

4.4 R`egle de d’Alembert Th´eor`eme 9 Soit P

n>0

u_nune s´erie `a termes dansR⁺telle qu’il existel∈Rtel que ^un+1_u

n −−−−−→_n→+∞ l.

– si l <1, alors P

n>0

u_n converge.

– si l >1, alors P

n>0

u_n diverge.

Preuve - Sil <1, posons ε= ^1−l₂ .

∃n₀ ∈N, ∀n∈N, n>n₀ ⇒

u_n+1 un −l

< ε.

Alors pour tout entier n>n₀ :

u_n+1

u_n < l+ε u_n+1

u_n < 1 +l 2 Pour N > n₀ :

N−1

Y

n=n0

u_n+1 un

<

N−1

Y

n=n0

1 +l 2

uN

un0 < un0ξ^N−n0, o`u ξ= ^1+l₂

u_N < u_n0 ξⁿ⁰ ×ξ^N Donc P

n>n0

u_n et P

n>n0

un0

ξⁿ⁰ξⁿ sont deux s´eries `a termes dans R⁺ et P

n>n0

ξⁿ converge (s´erie g´eom´e- trique de raison ξ v´erifiant 0< ξ <1) donc P

n>n0

u_n converge (dapr`es le th´eor`eme 2), et donc P

n>0

u_n converge.

Sil >1, posons ε= ¹⁻₂^l.

∃n₀ ∈N, ∀n∈N, n>n₀ ⇒

u_n+1 u_n −l

< ε.

Alors pour tout entier n>n₀,l−ε < ^u_uⁿ⁺¹

n , c’est-`a-dire ^l+1₂ < ^u_uⁿ⁺¹

n . Pour N > n₀,

N−1

Q

n=n0

un+1

un >

N−1

Q

n=n0

1+l 2

uN > ^u_ξnⁿ0⁰ ×ξ^N, o`uξ = ^1+l₂ >1.

P

n>n0

ξⁿ diverge (s´erie g´eom´etrique de raisonξ >1) donc P

n>n0

u_n diverge (d’apr`es le th´eor`eme 2), et donc P

n>0

u_n diverge. 2

Exemple : Convergence de la s´erie P

n>1 n!

nⁿ

Notonsun= _n^n!n.

P

n>1

u_n est une s´erie `a termes r´eels positifs.

un+1

un = _(n+1)^(n+1)!n+1 × _n^n!n

=

n n+1

n

= 1 +_n¹−n

= exp −nln 1 + _n¹

−−−−−→_n→

+∞ e⁻¹

e⁻¹<1 donc P

n>1

u_n converge d’apr`es le th´eor`eme 9.