8 3.2 Th´eor`eme de Rolle

D´erivabilit´e

1 Nombre d´eriv´e, fonction d´eriv´ee 2 1.1 D´efinition de la d´erivabilit´e . . . . 2 1.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables . . . . 4

2 Fonctions de classe C^k 6

2.1 D´efinitions . . . . 6 2.2 Op´erations sur les fonctionsC^k . . . . 6 3 Propri´et´es des fonctions d´erivables 8 3.1 Extremum local . . . . 8 3.2 Th´eor`eme de Rolle . . . . 9 3.3 Egalit´e des accroissements finis et applications . . 10 3.4 In´egalit´e des accroissements finis et applications . . 12 4 Extension aux fonctions `a valeurs dansC 14

Mathieu Mansuy - Professeur de Math´ematiques en sup´erieures PCSI au Lyc´ee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.fr

1 Nombre d´eriv´e, fonction d´eriv´ee

Dans tout le chapitreI d´esignera un intervalle deRnon vide et non r´eduit `a un point

1.1 D´efinition de la d´erivabilit´e

D´efinition.

Soitf :I→Rune fonction. On dit quef est d´erivable enasi son taux d’accroissement ena: τa(f) : I\ {a} → R

x 7→ f(x)−f(a) x−a

admet une limite finie ena. Cette limite, lorsqu’elle existe, est le nombre d´eriv´ee def ena. Il est not´ef⁰(a) ouD(f)(a).

Interpr´etation g´eom´etrique. Fixons a∈I et consid´eronsx∈I, x6=a. On note A(a, f(a)) etM(x, f(x)) un point distinct deA appartenant `a la courbe repr´esentative de f. Le taux d’accroissement est le coefficient directeur de la corde (AM).

Par d´efinition,f est d´erivable enasi et seulement si le coefficient directeur de la droite (AM) admet une limite quandxtend versa.

Dans ce cas, la position limite de la droite (AM) lorsqueM tend versAest la tangente `aCf au pointA. Son coefficient directeur est doncf⁰(a), et son ´equation cart´esienne est:

y=f⁰(a)(x−a) +f(a).

Si τa(f) tend vers ±∞lorsquextend vers a, alorsf n’est pas d´erivable en aet la courbe repr´esentative def admet en (a, f(a)) une tangente verticale.

Exemples. Soitf :x7→xⁿ (n∈N). Si n= 0, poura∈Ret x∈R\{a}, ^f(x)−f(a)_x−a = 0−→

x→a0, doncf est d´erivable en ade d´eriv´ee nulle.

Si n6= 0, poura∈Ret x∈R\{a}, ^f(x)−f(a)_x−a =

n−1

P

k=0

a^kx^n−1−k −→

x→anaⁿ⁻¹, doncf est d´erivable en ade d´eriv´ee naⁿ⁻¹.

Soitf :x7→√

x. Poura∈R^∗+ etx∈R+\{a}, ^f(x)−f(a)_x−a =

√x−√ a (√

x−√ a)(√

x+√

a) =^√_x+^1√_a −→

x→a 1 2√

a. √ est donc d´erivable en a, de d´eriv´ee ₂^√1_a.

La fonction√

n’est pas d´erivable en 0. En effet, pour toutx6= 0, on a :

√x−0

x = 1

√x −→

x→0+∞

D´efinition.

Soitf :I→Rune fonction et a∈I.

On dit que f est d´erivable `a droite oud´erivable `a gaucheen asi x7→ f(x)−f(a)

x−a admet une limite finie `a droite ou `a gauche en a. Si elles existent, on note alors ces limitesf_d⁰(a) etf_g⁰(a), appel´ees d´eriv´ees `a droite ou `a gauche de la fonction f ena.

Soitf :I→Rune fonction eta∈Iqui n’est pas une extr´emit´e. On a l’´equivalence :

f est d´erivable ena ⇔







f est d´erivable `a gauche ena f est d´erivable `a droite ena f_g⁰(a) =f_d⁰(a)

Dans ces conditions, on a :f⁰(a) =f_g⁰(a) =f_d⁰(a).

Propri´et´e 1

Remarque. Si a∈I est l’extr´emit´e sup´erieure de I,f est d´erivable enasi et seulement si f est d´erivable `a gauche ena.

Exemple. On a |x| − |0|

x−0 = |x|

x →

1 si x→0⁺

−1 six→0⁻ . La fonction| |est donc d´erivable `a gauche et `a droite en 0, de d´eriv´ees `a gauche et `a droite ´egales `a−1 et 1. Elle n’est par contre pas d´erivable en 0.

D´efinition.

On dit que f : I → R est d´erivable sur I si elle est d´erivable en chaque point de I. On d´efinit alors la fonction d´eriv´ee def not´eef⁰, par : f⁰: I → R

x 7→ f⁰(x) . D´efinition.

On dit qu’une fonction f d´efinie sur I admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 en a s’il existe (a0, a1)∈R² et une fonction:I→Rtels que :

∀x∈I, f(x) =a₀+ (x−a)a₁+ (x−a)(x) avec lim

x→a(x) = 0.

Soitf :I→Reta∈I.

f est d´erivable en a si et seulement si f admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 en a, et ce d´eveloppement limit´e est alors n´ecessairement :

∀x∈I, f(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a) + (x−a)(x).

Propri´et´e 2

Preuve.

⇒ Supposonsf d´erivable ena. On pose alors:I→R,x7→^f(x)−f(a)_x−a −f⁰(a) six6=a, et(a) = 0. Comme f est d´erivable ena, on a(x)−→

x→a0. Pourx∈I\{a},f(x) =f(a) +f⁰(a)(x−a) + (x−a)(x), et cette

´

egalit´e reste ´evidemment vraie quandx=a.

⇐ Supposons que f admette un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 ena. On a alors:I →Ret (b, c)∈R² tels que (x)−→

x→a0 et tels que pour toutx∈I,f(x) =b+ (x−a)c+ (x−a)(x). En passant `a la limite quand x→ a, on trouve que f(x) −→

x→a b, donc f est continue ena et b =f(a). Pourx ∈I\{a}, on a

f(x)−f(a)

x−a =c+(x)−→

x→ac. Ainsi f est d´erivable enaet c=f⁰(a).

Si f est d´erivable ena, alorsf est continue ena.

Propri´et´e 3

Preuve. Soitf :I→Rune fonction d´erivable ena∈I. On sait quef admet un d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 ena: il existe:I→Rtelle que lim

x→a(x) = 0 et pour toutx∈I, f(x) =f(a) + (x−a)f⁰(a) + (x−a)(x).

En prenant la limite de cette expression quandxtend versa, on obtient : lim

x→af(x) =f(a), doncf est continue

ena.

Remarque. La r´eciproque est fausse: une fonction peut ˆetre continue en un point et non d´erivable en ce point.

Par exemple, les fonctions valeur absolue ou racine carr´ee sont continues en 0 et non d´erivable en 0.

Exercice. Etudier la continuit´´ e et la d´erivabilit´e de la fonctionx7→







|x|^asin 1

x

six6= 0 0 six= 0.

(a >0).

1.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables

Soitf etg:I→Rdeux fonctions d´erivables ena∈I, alors :

(1) Pour tout (λ, µ)∈R², (λf+µg) est d´erivable enaet (λf+µg)⁰(a) =λf⁰(a) +µg⁰(a).

(2) f gest d´erivable enaet (f g)⁰(a) =f⁰(a)g(a) +f(a)g⁰(a).

(3) Sig(a)6= 0, f

g est d´erivable enaet f

g 0

(a) = f⁰(a)g(a)−f(a)g⁰(a)

g(a)² .

Propri´et´e 4

Preuve.

(1) Soitx∈I\{a}. Alors

(λf+µg)(x)−(λf+µg)(a)

x−a =λf(x)−f(a)

x−a +µg(x)−g(a) x−a −→

x→aλf⁰(a) +µg⁰(a) doncλf+µg est d´erivable en ade d´eriv´ee (λf+µg)⁰(a).

(2) Soitx∈I\{a}. Alors

(f g)(x)−(f g)(a)

x−a =f(x)g(x)−f(a)g(x) +f(a)g(x)−f(a)g(a) x−a

=f(x)−f(a)

x−a g(x) +f(a)g(x)−g(a) x−a −→

x→af⁰(a)g(a) +f(a)g⁰(a) avecg(x)−→

x→ag(a) carg d´erivable donc continue en a. Ainsif g est d´erivable ena, de d´eriv´ee f⁰(a)g(a) + f(a)g⁰(a).

(3) Comme g est d´erivable en a, elle y est continue, g(x) −→

x→a g(a) 6= 0. Il existe r > 0 tel que pour tout x∈V =I∩[a−r, a+r], g(x)6= 0. Pourx∈V\{a}, on a

_f

g

(x)−_f

g

(a)

x−a = f(x)g(a)−f(a)g(x)

g(a)g(x)(x−a) = f(x)g(a)−f(a)g(a) +f(a)g(a)−f(a)g(x) g(a)g(x)(x−a)

= f(x)−f(a)

x−a × g(a)

g(x)g(a)−g(x)−g(a)

x−a × f(a) g(x)g(a) −→

x→a

f⁰(a)g(a)−f(a)g⁰(a) g(a)²

et ^f_g est d´erivable enade d´eriv´ee ^f0(a)g(a)−f(a)g⁰(a) g(a)² .

Soient f :I →Ret g:J →Rtelles que f(I)⊂J. Sif est d´erivable en a∈I et si g est d´erivable enb=f(a), alorsg◦f est d´erivable enaet (g◦f)⁰(a) =f⁰(a)g⁰(f(a)).

Propri´et´e 5

Preuve. Soit donc a∈I, b=f(a)∈J. Il existe ₁:I→R,₂:J →Rtelles que lim

a ₁= lim

b ₂= 0 et

∀x∈I, f(x) =f(a) + (x−a)f⁰(a) + (x−a)1(x),

∀y∈J, g(y) =g(b) + (y−b)g⁰(b) + (y−b)2(y).

Alors pour toutx∈I, on a :

g◦f(x) =g(b) + (f(a) + (x−a)f⁰(a) + (x−a)1(x)−b)g⁰(b) + (f(x)−b)2(f(x))

=g(b) + (x−a)f⁰(a)g⁰(b) +g⁰(b)(x−a)1(x) + (f(x)−b)2(f(x))

| {z }

=:₃(x)

On a lim

a 3 = 0. g◦f admet donc un d´eveloppement limit´e d’ordre 1 ena. Ainsi g◦f est d´erivable en aet

(g◦f)⁰(a) =f⁰(a)×g⁰(f(a)).

Soienta∈I,f :I→J une fonction continue, strictement monotone surI et d´erivable en a. Alors, f⁻¹ est d´erivable enb=f(a) si, et seulement si,f⁰(a)6= 0

et dans ce cas :

f⁻¹0

(b) = 1

f⁰(a)= 1 f⁰(f⁻¹(b)). Propri´et´e 6(D´erivabilit´e de la fonction r´eciproque)

Preuve.

ˆ Supposonsf⁻¹ d´erivable enb. La formule donnant la d´eriv´ee d’une compos´ee, appliqu´ee `af⁻¹◦f donne f⁻¹⁰

(b)f⁰(a) = 1, ce qui imposef⁰(a)6= 0.

ˆ Supposons f⁰(a) 6= 0. Soit y ∈ J\{b}. Puisque f⁻¹ est injective de J dans I et que y 6= b, on a f⁻¹(y)6=f⁻¹(b) doncf⁻¹(y)6=a. Ainsi,

f⁻¹(y)−f⁻¹(b)

y−b = 1

f f⁻¹(y)

−f(a) f⁻¹(y)−a

La fonction f est continue, strictement monotone sur l’intervalle I non vide et non r´eduit `a un point, donc la fonction f<sup>−1</sup> est continue sur l’intervalle J = f(I). Par composition des limites, `a l’aide de la d´erivabilit´e def ena, on a :

f f⁻¹(y)

−f(a) f⁻¹(y)−a −→

y→bf⁰(a), et puisquef⁰(a)6= 0 :

f⁻¹(y)−f⁻¹(b)

y−b −→

y→b

1 f⁰(a).

Exemple. C’est grˆace `a ce th´eor`eme qu’on avait prouv´e que arccos est d´erivable sur ]−1,1[ et pour tout x∈]−1,1[, arccos⁰(x) =− 1

√ 1−x².

2 Fonctions de classe C^k

2.1 D´efinitions

D´efinition.

Soitf :I→Rune fonction d´efinie sur un intervalleI. On d´efinit r´ecursivement les d´eriv´ees successives de f par :

ˆ pourn= 0, f⁽⁰⁾=f ;

ˆ pourn∈N, sif⁽ⁿ⁾ est d´erivable sur I,f⁽ⁿ⁺¹⁾= (f⁽ⁿ⁾)⁰

Si, pourn∈N, la fonctionf⁽ⁿ⁾existe, on dit quef estnfois d´erivable surI, et on appellef⁽ⁿ⁾la d´eriv´ee n^ieme de f sur I. Enfin, on dit quef :I→Rest ind´efiniment d´erivable surI sif estn-fois d´erivable sur I pour toutn∈N.

D´efinition.

On consid`ere une fonctionf :I→RsurI. On dit que :

ˆ f : I →R est de classe Cⁿ sur I si f est n-fois d´erivable surI, et f⁽ⁿ⁾ est continue surI. On note Cⁿ(I,R) l’ensemble des fonctions deIdansRde classeCⁿ.

ˆ On dit quef :I→Rest de classeC^∞surI sif estCⁿ surI pour toutn∈N. On note Cⁿ(I,R) ouCⁿ(I) les fonctions de classesCⁿ deIdansR.

Remarques.

ˆ C⁰(I) est l’ensemble des fonctions continues sur I, et C^∞(I) est l’ensemble des fonctions ind´efiniment d´erivables surI

ˆ f est de classeCⁿ si et seulement sif⁰ est de classeCⁿ⁻¹.

ˆ On a la suite d’inclusions strictes : C^∞(I) · · · Cⁿ(I) · · · C¹(I) C⁰(I).

Remarque. Une fonction d´erivable n’est pas n´ecessairement de classe C¹.

Une fonction de classeC¹ est d´erivable, mais la r´eciproque est fausse comme le montre l’exemple de la fonction f :x7→x²cos1

x six6= 0, 0 six= 0. En effet,f est d´erivable sur R^∗comme produit et compos´ee de fonctions qui le sont, et pourx6= 0,

f(x)−f(0)

x−0 =f(x)

x =xcos1 x −→

x→00.

Doncf est d´erivable en 0, de d´eriv´ee nulle.

Maisf⁰ n’est pas continue en 0 puisque f⁰(x) = 2xcos¹_x−sin_x¹ n’admet pas de limite quand x→0 : en effet, (xn)n∈N =

1 2π(n+1)

n∈N et (yn)n∈N =

1

π 2+2πn

n∈N convergent vers 0 alors que f(xn) = _π(n+1)¹ −→

n→+∞ 0 et f(yn) = 1 −→

n→+∞1.

Exemples. On v´erifie par r´ecurrence les r´esultats suivants :

ˆ Toute fonction polynomiale est de classe C^∞.

ˆ cos est C^∞ surRet pourn∈Netx∈R, cos⁽ⁿ⁾(x) = cos(x+n^π₂).

sin estC^∞surRet pourn∈Netx∈R, sin⁽ⁿ⁾(x) = sin(x+n^π₂).

ˆ Pour α∈R,f :x7→x^α estC^∞surR^∗+ et pourn∈Net x∈R^∗+,f⁽ⁿ⁾(x) =α(α−1). . .(α−n+ 1)x^α−n.

2.2 Op´erations sur les fonctions C^k

Soient n ∈ N, (f, g) ∈ (Cⁿ(I,R))² et (λ, µ) ∈ R². Alors λf +µg ∈ Cⁿ(I,R) et (λf +µg)⁽ⁿ⁾ = λf⁽ⁿ⁾+µg⁽ⁿ⁾.

Propri´et´e 7

Preuve. On montre par r´ecurrence sur n∈Nla propri´et´eP(n) : Si f et g sont Cⁿ, alorsλf +µg est Cⁿ et (λf+µg)⁽ⁿ⁾=λf⁽ⁿ⁾+µg⁽ⁿ⁾.

Pourn= 0, on a vu dans le chapitre pr´ec´edent queP(0) est vraie.

Soitn∈Ntel queP(n) est vraie. Supposonsf etg de classeCⁿ⁺¹. Alorsf et g sontCⁿ, donc par hypoth`ese de r´ecurrence,λf+µg estCⁿ et (λf+µg)⁽ⁿ⁾=λf⁽ⁿ⁾+µg⁽ⁿ⁾. Commef⁽ⁿ⁾et g⁽ⁿ⁾ sontC¹ (carf etg Cⁿ⁺¹), (λf+µg)⁽ⁿ⁾ est d´erivable (comme combinaison lin´eaire de fonctions qui le sont) de d´eriv´ee (λf+µg)⁽ⁿ⁺¹⁾= λf⁽ⁿ⁺¹⁾+µg⁽ⁿ⁺¹⁾ continue. Ainsiλf+µg estCⁿ⁺¹ et on aP(n+ 1).

Conclusion : ∀n∈N,P(n) est vraie.

Soientn∈N, f,g:I→Rde classeCⁿ surI. Alorsf g est de classeCⁿ surI et on a : (f g)⁽ⁿ⁾=

n

X

k=0

n k

f^(k)g^(n−k). Propri´et´e 8(Formule de Leibniz)

Preuve. On montre par r´ecurrence surn∈Nla propri´et´eP(n) : Si f etg sontCⁿ surI , alorsf gest Cⁿ sur I et (f g)ⁿ =

n

P

k=0 n k

f^(k)g^(n−k).

Si f et g sont continues sur I, alors f g est continue sur I et

0

P

k=0 0 k

f^(k)g^(0−k) = ⁰₀

f⁽⁰⁾g⁽⁰⁾ =f g = (f g)⁽⁰⁾, donc on aP(0).

Soitn∈Ntel queP(n) vraie.

Supposons f et g de classe Cⁿ⁺¹. Alors f et g sont Cⁿ, donc par hypoth`ese de r´ecurrence f g est Cⁿ et (f g)⁽ⁿ⁾=

n

P

k=0 n k

f^(k)g^(n−k). Pourk∈[|0, n|], f^(k) estC^n+1−k doncC¹ donc d´erivable et g^(n−k) est C^k+1 donc C¹donc d´erivable. Ainsi (f g)⁽ⁿ⁾est d´erivable comme produits et combinaison lin´eaire de fonctions qui le sont.

On a alors :

(f g)⁽ⁿ⁺¹⁾= ((f g)⁽ⁿ⁾)⁰=

n

X

k=0

n k

(f^(k+1)g^(n−k)+f^(k)g^(n+1−k)) =

n

X

k=0

n k

f^(k+1)g^(n−k)+

n

X

k=0

n k

f^(k)g^(n+1−k)

=

n+1

X

k=1

n k−1

f^(k)g^(n−k+1)+

n

X

k=0

n k

f^(k)g^(n+1−k) par changement d’indice

= n

n

f⁽ⁿ⁺¹⁾g⁽⁰⁾+ n

0

f⁽⁰⁾g⁽ⁿ⁺¹⁾+

n

X

k=1

n k−1

+

n k

f^(k)g^(n+1−k)

=f⁽ⁿ⁺¹⁾g+f g⁽ⁿ⁺¹⁾+

n

X

k=1

n+ 1 k

f^(k)g^(n+1−k) par la relation de Pascal

=

n+1

X

k=0

n+ 1 k

f^(k)g^(n+1−k)

et pour k ∈ [|0, n+ 1|], f^(k) est C^n+1−k donc continue, g^(n+1−k) est C^k donc continue. Ainsi (f g)⁽ⁿ⁺¹⁾ est continue comme produits et combinaison lin´eaire de fonctions qui le sont. Ainsif g estCⁿ⁺¹ et on aP(n+ 1).

On conclut par principe de r´ecurrence.

Exercice. Posons f(x) = xⁿ(1 +x)ⁿ. En calculant de deux fa¸cons diff´erentes le terme dominant de f⁽ⁿ⁾, simplifier

n

X

k=0

n k

2

.

Par la formule de Leibniz, on obtient que le coefficient du terme de plus haut degr´e estn!

n

X

k=0

n k

2

. Or le terme de plus haut degr´e dansf(x) estx²ⁿ, et donc le coefficient de ce terme dansf⁽ⁿ⁾(x) est (2n)!

n! . Ainsi on obtient la formule :

n

X

k=0

n k

²

= (2n)!

(n!)².

Soientf et g:I→Rde classeCⁿ. Sig ne s’annule pas, alors ^f_g estCⁿ surI.

Propri´et´e 9

Soientf :I→Retg:J→Rdeux fonctionsCⁿ surItelles quef(I)⊂J. Alors (g◦f) est de classe Cⁿ surI.

Propri´et´e 10

Soitf :I →J bijective, de classeCⁿ surI et telle quef⁰ ne s’annule pas. Alorsf⁻¹ est de classe Cⁿ surJ.

Propri´et´e 11

Exemples.

ˆ La fonction arctan est C^∞ surR.

ˆ Les fonctions arcsin et arccos sont C^∞ sur ]−1,1[.

3 Propri´et´es des fonctions d´erivables

3.1 Extremum local

D´efinition.

Soitf :I→Rune fonction.

ˆ On dit quef admet une maximum local ena, s’il existe un r´eelη >0 tel que la fonctionf|I∩[a−η,a+η]

admette un maximum ena, i.e :

∀x∈I∩[a−η, a+η], f(x)≤f(a)

ˆ On dit que f admet une minimum local en a, s’il existe un r´eel η > 0 (eta) tel que la fonction f|I∩[a−η,a+η] admette un minimum en a, i.e :

∀x∈I∩[a−η, a+η], f(a)≤f(x)

ˆ On dit quef admet un extremum local ena, sif admet un maximum ou un minimum local ena.

x y

f(x)

a

b f admet ici des extrema locaux (et

non globaux) enaet b.

Soitf :I →Rune fonction d´erivable. Sif admet un extremum local en un pointa int´erieure `a I (i.e. a∈I etan’est pas une extr´emit´e deI), alorsf⁰(a).

Propri´et´e 12(Condition n´ecessaire d’extr´emum)

Preuve. Quitte `a changerf en −f, on suppose que f admet en aun maximum local. Il existe alors η >0 tel que ∀x∈ [a−η, a+η]∩I, f(x)≤f(a). Comme a n’est pas une extr´emit´e deI, il existe ν >0 tel que [a−ν, a+ν]⊂I. Posonsδ= min(η, ν)>0. Ainsi, pour toutx∈[a−δ, a+δ], f(x)≤f(a).

Pour tout x∈[a−δ, a[, ^f(x)−f(a)_x−a ≥0 (carf(x)−f(a)≤0 et x−a <0), donc en passant `a la limite quand x→a⁻ (commef est d´erivable ena),f⁰(a) =f_g⁰(a)≥0.

De mˆeme, pour tout x∈]a, a+δ], ^f(x)−f(a)_x−a ≤0 (carf(x)−f(a)≤0 etx−a >0), donc en passant `a la limite quandx→a⁺,f⁰(a) =f_d⁰(a)≤0.

Ainsi,f⁰(a) = 0.

Remarques.

ˆ La condition f⁰(a) = 0 n’implique pas qu’il y ait un extremum local ena.

Par exemple, la fonction f :x∈R7→x³ satisfaitf⁰(0) = 0, maisf n’admet pas d’extremum local en 0.

ˆ L’hypoth`eseaint´erieur `aIest essentielle : par exemple, la fonctionf :x∈[0,1]7→[0,1] est d´erivable sur [0,1] et a son minimum en 0 et son maximum en 1, maisf⁰(0) =f⁰(1) = 16= 0.

I Pour d´eterminer les extrema d’une fonction f, on proc`edera comme suit :

ˆ on ´etudie les extrema en les points int´erieurs `aI : on r´esout l’´equation f<sup>0</sup>(x) = 0, puis on v´erifie si les points obtenus correspondent ou non `a des extrema locaux (avec le tableau de variations def par exemple).

ˆ on ´etudie si les extr´emit´es deI (si elles appartiennent `aI) correspondent ou non `a des extrema locaux de f.

Exemple. Etudier les extrema de´ f :x∈[0,1]7→(x(x−1)²)^1/3. f est d´efinie sur [0,1] et d´erivable sur ]0,1[. Pourx∈]0,1[,

f⁰(x) = 1

3(x(x−1)²)^−2/3((x−1)²+ 2x(x−1)) = 1

3(x−1)(3x−1)(x(x−1)²)^−2/3.

On af⁰(x) = 0 si et seulement six=¹₃. Donc sif admet un extremum sur l’intervalle ]0,1[, c’est n´ecessairement enx= 1/3.

On sait que f est continue sur le segment [0,1], elle y est donc born´ee et atteint ses bornes. On a de plus f(0) =f(1) = 0 et pourx∈]0,1[,f(x)>0. Donc f admet son minimum en 0 et en 1 et admet un maximum en un point de ]0,1[, qui est n´ecessairement ¹₃.

3.2 Th´eor`eme de Rolle

Soientaetbdeux r´eels aveca < bet f : [a, b]→Rcontinue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ et telle que f(a) =f(b). Alors il existec∈]a, b[ tel quef⁰(c) = 0.

Th´eor`eme 13(Th´eor`eme de Rolle)

Preuve. f est continue sur le segment [a, b] donc est born´ee et atteint ses bornes : on a (c, d)∈[a, b]² tel que

∀x∈[a, b], f(c)≤f(x)≤f(d).

ˆ Si c∈ {a, b} etd∈ {a, b}. Commef(a) =f(b),f(c) =f(d) et pour toutx∈[a, b],f(c)≤f(x)≤f(d) = f(c) doncf(x) =f(c). f est alors constante, et en toutc∈]a, b[, on af⁰(c) = 0.

ˆ Sinonc∈]a, b[ oud∈]a, b[,f admet en ce point un extremum local, et y est d´erivable, donc sa d´eriv´ee s’y annule d’apr`es la proposition pr´ec´edente.