1.3 Th´ eor` emes Fondamentaux de l’int´ egration

Chapitre 1

Mesure et int´ egrale (Rappel)

1.1 Tribus et mesures

Soit X un ensemble et P(X) l’ensemble des parties deX.

D´efinition 1.1.1 On appelle tribu sur X toute famille τ d’´el´ements de P(X) v´erifiant :

(1) ∅, X ∈τ;

(2) si A ∈τ, alors son compl´emontaire A^c∈τ; (3) si (A_n)_n⊆τ, alors ∪_nA_n ∈τ.

Le couple (X, τ) est appel´eespace mesurable et les parties appartenant

`

a τ sont appel´es ensembles mesurables.

Si τ v´erifie (1), (2) et (3’) : si A, B ∈τ alors A∪B ∈τ, alors τ est dite alg`ebre de Boole.

Remarque 1.1.2 Soit (X, τ) un espace mesurable. De la d´efinition d’une tribu on d´eduit imm´ediatement les propri´et´es suivantes :

1) Si (A_n)_n ⊆τ alors ∩_nA_n ∈τ. En effet ∩_nA_n= (∪_nA^c_n)^c.

2) Si A et B ∈τ alors leur diff´erence A\B ∈τ. En effet A\B =A∩(B^c) 3) La condition (2) de la d´efinition d’une tribu implique que

∅ ∈τ ⇐⇒ X ∈τ.

Exemple 1.1.3 1) Sur un ensemble X non vide, il existe au moins deux tribus, τ0 ={∅, X} et τ1 =P(X). Cette derni`ere est utilis´ee surtout lorsque X est d´enombrable.

2) On dit qu’une tribu τ est plus petite qu’une tribu τ⁰ si tout ´el´ement de τ appartient `a τ⁰. La tribu τ0 = {∅, X} est la plus petite des tribus sur X et τ₁ =P(X) est la plus grande.

1

Si Aest un ensemble de parties deX, il existe une plus petite tribu conte- nant A (c’est l’intersection des tribus contenant A). Cette tribu est dite la tribu engendr´ee par A.

3) Soit X un espace m´etrique (ou, plus g´en´eralement, topologique), on ap- pelle tribu bor´elienne de X, et on notera B(X), la tribu engendr´ee par les ouverts (ou encore les ferm´es) de X, ces ´el´ements sont appel´es ensembles bor´eliens.

Prenons en particulier X = R avec sa topologie usuelle, on sait que tout ouvert de R est r´eunion d´enombrable d’intervalles ouverts. Donc la tribu bor´elienne de R est aussi engendr´ee par les intervalles ouverts.

De mˆeme la tribu bor´elienne de Rⁿ est engendr´ee par les pav´es ouverts (rap- pelons qu’un pav´e est un produit d’intervalles).

D´efinition 1.1.4 Soit (X, τ)un espace mesurable. On appelle mesure sur la tribu τ (on dit aussi ”mesure sur (X, τ)), toute application µ:τ → [0,+∞]

ayant les propri´et´es suivantes : (1) µ(∅) = 0;

(2) si A et B sont deux ensembles mesurables deux `a deux disjoints, alors µ(A∪B) = µ(A) +µ(B);

(3) si(A_n)_n est une suite d’ensembles mesurables deux `a deux disjoints, alors µ(

∞

[

n=1

An) =

∞

X

n=1

µ(An)∈[0,+∞].

- Une mesure µ est dite σ-finie si il existe une suite d’ensembles mesu- rables deux `a deux disjoints (A_n)_n telle que X =∪_nA_n et µ(A_n)<+∞ pour tout n.

- Le nombre µ(A) est appel´e la mesure de l’ensemble mesurable A.

- La mesure µ(X) de X est appel´ee la masse totale de la mesure µ.

- Un espace mesur´e est un triplet (X, τ, µ).

- Si µ(X) est fini, on dit que µ est finie ou born´ee sur X.

-Si µ(X) = 1 alors on dit que µ est une probabilit´e.

Remarque 1.1.5 Dans la D´efinition 1.1.4, on a la condition (3) implique (2). En effet, il suffit de prendre A_n ={∅} pour n ≥3.

Th´eor`eme 1.1.6 (Th´eor`eme du prolongement des mesures)

Soit τ0 une alg`ebre de Boole et µ0 : τ0 → [0,+∞] une application v´erifiant les conditions (1), (2) et (3) de la D´efinition 1.1.4 (bien entendu on suppose que∪A<sub>n</sub> dans (3) appartient `a τ₀). Soitτ la tribu engendr´ee par τ₀. Alors il existe une unique mesure µ:τ → [0,+∞] v´erifiant µ(A) =µ0(A) pour tout A∈τ₀.

1.1. TRIBUS ET MESURES 3 Exemples

(1) Prenons τ =P(X) et soit une suite de points x₁, x₂,· · · de X et une suite de nombres strictement positifs α₁, α₂,· · ·.

Posons pour A∈τ,

µ(A) =X

n

α_nχ_A(x_n).

Alorsµ est une mesure dite atomique.

(2) Cas particulier de l’exemple pr´ec´edent . On suppose queXest d´enombrable, on prend pour x₁, x₂· · · tous les points de X et on pose α_n = 1. La mesure obtenue est ditemesure de comptage :

µ(A) =

Card(A) siAest fini

+∞ sinon

o`u Card(A) d´esigne, le cardinal de A, c’est-`a-dire le nombre d’´el´ements de l’ensembleA.

(3) On prend τ =P(X) et soitx₀ ∈X. Posons pour A∈τ, µ(A) =χ_A(x₀).

Alorsµ est la mesure de Dirac, not´eeδ_x0. (4) Mesure de Lebesgue sur R.

SoitX =Rmuni de sa tribu bor´elienneB: notonsB₀l’ensemble des r´eunions finies d’intervalles de la forme [a, b[ ou ]−∞, b[ ou [a,+∞[.B₀ est une alg`ebre de Boole et soit l’application µ₀ :B₀ →[0,+∞], d´efinie par

µ₀([a, b[) =b−a.

Le Th´eor`eme 1.1.5, montre alors qu’il existe une unique mesureµsur la tribu bor´elienne deRv´erifiant µ([a, b[) =b−a. Cette mesure est diteMesure de Lebesgue sur Ret on la note ”λ”.

Notons que la mesure de Lebesgue est une mesure diffuse (ou sans atomes) i.e. la mesure d’un ensemble r´eduit `a un point est nulle. Par cons´equent, la mesure d’un ensemble d´enombrable est nulle.

(5) Mesure de Lebesgue sur Rⁿ.

Il existe une unique mesure sur la tribu bor´elienne de Rⁿ, dite mesure de Lebesgue sur Rⁿ, telle que la mesure d’un pav´e soit ´egale `a son volume.

1.2 Fonctions Int´ egrables

Soit (Ω, τ, µ) un espace mesur´e.

Une propri´et´e est dite vraieµ−presque partoutouµ−presque surement ouµ−p.p.ouµ−p.s.oup.p.si elle est vraie sur le compl´ement d’un ensemble de mesure nulle.

D´efinitions

• Une fonctionf : Ω→R est ditemesurable si pour tout a ∈R, f⁻¹(]− ∞, a])^def= {x∈Ω;f(x)≤a} est mesurable.

•On d´efinit l’int´egrale d’une fonction ´etag´eePN

i=1aiχAi, ai ∈[0,+∞], Ai ⊆ Ω mesurable et χ_Ai d´esigne la fonction caract´eristique (ou indicatrice) deA_i; par

Z

Ω

Xa_iχ_Aidµ=X

a_iµ(A_i).

• Pour une fonctionf : Ω→R⁺∪ {+∞}, Z

Ω

f dµ^def= sup{

Z

Ω

gdµ; 0≤g ≤f, g´etag´ee}.

• Pour une fonction f : Ω → R, On d´ecompose f = f⁺−f⁻, avec f⁺, f⁻ : Ω→R⁺. Alors

Z

Ω

f dµ ^def= Z

Ω

f⁺dµ− Z

Ω

f⁻dµ.

Rappelons que si f⁺ = max{f,0} et f⁻ = max{−f,0} alors

f =f⁺−f⁻ et |f|=f⁺+f⁻. Donc f⁺= ¹₂(|f|+f) et f⁻ = ¹₂(|f| −f).

Alors, Z

Ω

|f|dµ <+∞ ⇐⇒

Z

Ω

f⁺dµ <+∞et Z

Ω

f⁻dµ <+∞.

• Pour une fonctionf : Ω→C, On d´ecomposef =<(f) +i=(f). Et, Z

Ω

f dµ= Z

Ω

<(f)dµ+i Z

Ω

=(f)dµ.

• Une fonction f : Ω → R (ou C) est dite int´egrable si R

Ω|f|dµ < ∞.

L’ensemble des fonctions int´egrables sera not´e L¹(Ω, µ) (voir Chapitre II).

Propri´et´es de l’int´egrale (1) ”R

” est lin´eaire : si f et g sont deux fonctions int´egrables et α, β ∈ C alors

Z

Ω

(αf +βg)dµ=α Z

Ω

f dµ+β Z

Ω

gdµ.

1.2. FONCTIONS INT ´EGRABLES 5 (2) Si f ≤g µ−p.palors R

Ωf dµ ≤R

Ωgdµ.

En particulier si f =g µ−p.palors R

Ωf dµ =R

Ωgdµ.

(3) Si f est int´egrable alors|R

Ωf dµ| ≤R

Ω|f|dµ.

(4) si Ω₀ ⊆Ω et Ω₀ ∈τ alors R

Ω0f dµ =R

Ωχ_Ω0f dµ.

Th´eor`eme 1.2.1 Soit f : Ω → R⁺ une fonction int´egrable. Alors il existe une suite croissante de fonctions positives ´etag´ees (e_n)_n telle que

f(x) = limn→+∞e_n(x) = sup_n→+∞e_n(x), pour tout x∈Ω.

En particulier, E(Ω) l’espace des fonctions mesurables ´etag´ees d´efinie sur Ω est dense dans L¹(Ω, µ).

Retour sur la mesure de Lebesgue (voir Exemples (4) et (5) page 3).

Th´eor`eme 1.2.2 (i) Il existe une mesure unique λ sur la tribu bor´elienne de R telle que, si I est un intervalle d’extr´emit´es a et b (a < b), alors

λ(I) =b−a.

(ii) De plus si A est un ensemble bor´elien de mesure finie, alors pour tout >0 il existe une suite (In)n d’intervalles telle que

A⊂

∞

[

n=1

I_n et

∞

X

n=1

λ(I_n)≤λ(A) +.

(iii) Si f est une fonction int´egrable pour la mesure de Lebesgue, alors il existe une suite (f_n)_n de fonction int´egrables ´etag´ees telle que

n→∞lim Z

R

|f_n−f|dλ= 0.

Une propri´et´e importante de la mesure de Lebesgue : (R,B, λ) est inva- riant par translation, c’est-`a-dire que si A ∈ B et a ∈ R alors A+a ∈ B et

λ(A+a) =λ(A).

Th´eor`eme 1.2.3 Si µ est une mesure sur (R,B) invariante par translation et si pour tout intervalle I born´e µ(I) < ∞ , alors il existe c ∈ R telle que µ=cλ.

Exercice : Soit A un ensemble mesurable. Montrer que (i)λ(A) = inf{λ(U); U ouvert, A⊂U}.

(ii) λ(A) = sup{λ(K); K compact, K ⊂A}.

Int´egrales au sens de Riemann et au sens de Lebesgue :

Rappelons la d´efinition de l’int´egrale au sens de Riemann sur un intervalle [a, b]. D’abord, une fonction u: [a, b]→ R est dite enescalier sur [a, b] si il existe une subdivisiona=x₀ < x₁ <· · ·< x_n=bet des nombresα₀,· · ·αn−1

tels que u(x) = α_i si x∈]x_i, xi+ 1[.

L’int´egrale de u est d´efinie par Z b

a

u(x)dx=

n−1

X

i=0

α_i(x_i+1−x_i).

Soit E₀([a, b]) l’espace des fonctions en escalier. Alors l’int´egrale ainsi d´efinie est une forme lin´eaire sur E0([a, b]).

Si f : [a, b]→R born´ee, on pose I₀(f) = sup

Z b a

u(x)dx; u∈ E₀([a, b]), u≤f

et

J₀(f) = inf Z b

a

v(x)dx; v ∈ E₀([a, b]), v ≥f

.

La fonction f est dite int´egrable au sens de Riemann si I0(f) =J0(f). Dans ce cas,

Z b a

f(x)dx=I₀(f) = J₀(f).

Remarque 1.2.4 Pour qu’une fonction born´ee f soit int´egrable au sens de Riemann il faut et il suffit que pour tout > 0, il existe deux fonctions u, v ∈ E₀([a, b]) telles que

u≤f ≤v, Z b

a

(v−u)dx≤.

Consid`erons maintenant l’espace mesur´e de Lebesgue ([a, b],B, λ) et soit E([a, b]) l’espace des fonctions mesurables ´etag´ees d´efinie sur [a, b].

Pour une fonction f : [a, b]→R born´ee, posons I(f) = sup

Z b a

u(x)dλ(x); u∈ E([a, b]), u≤f

1.2. FONCTIONS INT ´EGRABLES 7 et

J(f) = inf Z b

a

v(x)dλ(x); v ∈ E([a, b]), v ≥f

. Sif est mesurable alorsI(f) =J(f) et

Z

[a,b]

f(x)dλ(x) =I(f) =J(f).

Remarque 1.2.5 Puisque, E₀([a, b])⊆ E([a, b]), I₀(f)≤I(f)≤J(f)≤J₀(f).

Ainsi, si f est int´egrable au sens de Riemann elle est int´egrable au sens de Lebesgue, et les deux d´efinitions d’int´egrale co¨ıncident.

Par contre une fonction f peut ˆetre int´egrable au sens de Lebesgue sans ˆetre int´egrable au sens de Riemann, c’est-`a-dire que I(f) = J(f), mais que I₀(f)< J₀(f). Par exemple la fonction f d´efinie sur [0,1] par

f(x) =

1 six∈Q∩[0,1],

0 sinon

Dans ce cas, on a I₀(f) = 0< J₀(f) = 1 et I(f) = J(f) = 0

Insuffisances de l’int´egrale de Riemann :L’espace des fonctions Riemann- int´egrable n’est pas complet, le ”passage `a la limite” exige des hypoth`eses tr`es fortes...

Voici une d´eclaration de Henri-L´eon Lebesgue (1875-1941), qui illustre la strat´egie de son int´egrale :

Je dois payer une certaine somme ; je fouille dans mes poches et j’en sors des pi`eces et des billets de diff´erentes valeurs. Je les verse `a mon cr´eancier dans l’ordre o`u elles apparaissent jusqu’`a atteindre le total de ma dette. C’est l’int´egrale de Riemann. Mais je peux proc´eder autrement... Ayant sorti tout mon argent, je r´eunis les billets de mˆeme valeur, les pi`eeces semblables et j’effectue le paiement en donnant ensemble les signes mon´etaires de mˆeme valeur. C’est mon int´egrale.

1.3 Th´ eor` emes Fondamentaux de l’int´ egration

1.3.1 Th´ eor` emes de Convergences

Soit f_n : Ω→Rune suite de fonctions int´egrables. La suite (f_n)_nest dite croissante si f_n≤f_n+1, µ-p.p.

Alors on peut d´efinir pour presque toutx∈Ω f(x) = lim

n→+∞f_n(x) = sup

n

f_n(x)∈R∪ {+∞}.

Th´eor`eme 1.3.1 (Convergence monotone (Beppo Levi)) Soit (f<sub>n</sub>)<sub>n</sub> une suite croissante de fonctions int´egrables `a valeurs dans R. On suppose que sup_nR

Ωfndµ <+∞. Alors f(x) = limn→+∞fn(x)∈R existe µ-p.p.

De plus f est int´egrable et Z

Ω

|f_n−f|dµ→0, quand n→+∞.

En particulier Z

Ω

f dµ= lim

n→+∞

Z

Ω

f_ndµ= sup

n

Z

Ω

f_ndµ.

Th´eor`eme 1.3.2 (Lemme de Fatou) Soit (fn)n une suite de fonctions mesurables `a valeurs dans [0,+∞].

Alors f(x) = lim infn→+∞f_n(x)∈R existe µ-p.p., mesurable et on a Z

Ω

f dµ ≤lim inf

n→+∞

Z

Ω

f_ndµ.

En particulier si sup_nR

Ωf_ndµ <+∞ alors f est int´egrable.

Remarque 1.3.3 L’in´egalit´e dans le Th´eor`eme (Lemme de Fatou), peut ˆetre stricte. Comme le montre l’exemple suivant :

Exemple Soit Ω =]0,+∞[ et µ=dx la mesure de Lebesgue.

Soitfn(x) =nexp(−nx). AlorsR+∞

0 fn(x)dx= 1 etlimn→+∞fn(x) = 0 pour tout x >0. Donc

Z +∞

0

n→+∞lim f_n(x)

dx= 0 <1 = Z +∞

0

f_n(x)dx.

Th´eor`eme 1.3.4 (Convergence Domin´ee (Lebesgue)) Soit (f<sub>n</sub>)<sub>n</sub> une suite de fonctions int´egrables `a valeurs dans R (ou C). On suppose que (i) pour presque tout x la suite (f_n(x))_n a une limite f(x),

1.3. TH ´EOR `EMES FONDAMENTAUX DE L’INT ´EGRATION 9 (ii) Il existe une fonction g : Ω → R⁺ int´egrable telle que pour tout n et presque tout x,

|f_n(x)| ≤g(x).

Alors f est int´egrable et R

Ω|f_n−f|dµ→0, quand n →+∞.

En particulier

Z

Ω

f dµ= lim

n→+∞

Z

Ω

f_ndµ.

Remarque 1.3.5 (I) La conclusion du Th´eor`eme pr´ec´edent dit que ”on commute les signes lim et R

”.

(II) Sans l’hypoth`ese (2), dite ”Hypoth`ese de Domination”, le Th´eor`eme de Convergence Domin´ee peut ˆetre faux (voir l’exemple pr´ec´edent ).

Th´eor`eme 1.3.6 (Int´egration terme `a terme d’une s´erie) Soit (fn)n

une suite de fonctions mesurables `a valeurs dans R (ou C). Alors Z

Ω +∞

X

n=1

|f_n|

! dµ=

+∞

X

n=1

Z

Ω

|f_n|dµ∈R⁺∪ {+∞}.

Si les deux membres sont finis, chaque fonction f_n est int´egrable, et la s´erie P+∞

n=1f_n(x) converge presque partout. Sa somme est une fonction int´egrable et on a :

Z

Ω +∞

X

n=1

fn

! dµ=

+∞

X

n=1

Z

Ω

fndµ.

1.3.2 Fonctions d´ efinies par une int´ egrale

Dans ce paragraphe on s’int´eresse `a des fonctions de la forme : F(x) =

Z

Ω

f(x, t)dµ(t)

o`u (Ω, µ) est un espace mesur´e et f(x, t) est une fonction de deux variables, f : D×Ω→R(ouC)

(x, t)7→f(x, t)

o`u D={x∈ R(ouC); la fonction t 7→f(x, t) soit int´egrable}, le domaine de d´efinition de F.

Le but de ce paragraphe est de donner des conditions suffisantes sur f pour ensuite d´eduire des propri´et´es surF, comme la continuit´e, la d´erivabilit´e...

Etude de la continuit´e de F

Th´eor`eme 1.3.7 (Continuit´e) Soit f : D×Ω→R

(x, t)7→f(x, t) une fonction telle que : (1) ∀t ∈Ω, la fonction x7→f(x, t) est continue sur D;

(2) Pour tout compact K ⊂D, ∃ϕ_K : Ω→R⁺ int´egrable sur Ω et telle que

∀x∈K, ∀t ∈Ω, |f(x, t)| ≤ϕ_K(t).

Alors la fonction F(x) =R

Ωf(x, t)dµ(t) est continue sur D.

Remarque 1.3.8 (I) La conclusion du Th´eor`eme pr´ec´edent dit que ”on commute les signes lim et R

”. Autrement dit, on a

∀x0 ∈D, lim

x→x0

Z

Ω

f(x, t)dµ(t) = Z

Ω

x→xlim0

f(x, t)

dµ(t) = Z

Ω

f(x0, t)dµ(t).

(II) Sans l’hypoth`ese (2), dite ”Hypoth`ese de Domination”, le Th´eor`eme 1.3.7 peut ˆetre faux.

ExempleSoit Ω =]0,1], µ=dt la mesure de Lebesgue et f(x, t) = x

x²+t², (x, t)∈R×]0,1].

Alors l’hypoth`ese (1) est v´erifi´ee et on a

∀x∈R^∗, F(x) = Z 1

0

x

x² +t²dt = arctan(1 x).

MaisF(0) = 0 et lim_x→0⁻F(x) = ^−π₂ et lim_x→0⁺F(x) = ^π₂. DoncF n’est pas continue en 0. Par cons´equent l’hypoth`ese (3) n’est pas satisfaite.

Etude de la d´erivabilit´e F

L’exemple suivant montre que sans des hypoth`eses raisonnables, on peut avoir des surprises.

Exemple.Soit f(x, t) = ^sin(xt)_t . Alors ∀x∈R, R+∞

0

sin(xt)

t dt converge.

DoncF(x) est d´efinie sur R.

Pour x >0, faisant le changement de variable u=xt, alors F(x) =

Z +∞

0

sin(xt) t dt =

Z +∞

0

sin(u)

u du = π 2. F(x) est constante et donc ^dF_dx(x) = 0.

Par contre, ^∂f_∂x(x, t) = cos(xt) et R+∞

0

∂f

∂x(x, t)dt=R+∞

0 cos(xt)dt diverge.

Par cons´equent ^dF_dx(x)6=R

I

∂f

∂x(x, t)dt.

1.3. TH ´EOR `EMES FONDAMENTAUX DE L’INT ´EGRATION 11 Th´eor`eme 1.3.9 (D´erivabilit´e) Supposons que

(1) Pour tout presquet ∈Ω la fonction x7→f(x, t) est d´erivable sur D; (2) ∀x∈D, la fonction t7→f(x, t) est int´egrable sur Ω;

(3) pour tout compact K ⊂D, ∃ϕ_K : Ω→ R⁺ int´egrable sur Ω et telle que pour tout t pour lequel x7→f(x, t) est d´erivable et pour tout x∈K,

|∂f

∂x(x, t)| ≤ϕ_K(t).

Alors la fonction F(x) =R

Ωf(x, t)dµ(t) est de classe C¹ sur D et on a :

∀x∈D, dF dx(x) =

Z

Ω

∂f

∂x(x, t)dµ(t).

Cette derni`ere ´egalit´e est dite ”Formule de Leibniz”.

Remarque 1.3.10 L’hypoth`ese (3) implique l’int´egrabilit´e de la fonction t 7→ ^∂f_∂x(x, t) pour tout x ∈ D, mais pas forc´ement celle de la fonction t7→f(x, t), comme le montre l’exemple suivant.

Exemple Soit f(x, t) = exp(t) +xexp(−t),

alors f est continue de R×[0,+∞[ et ^∂f_∂x(x, t) = exp(−t).

D’o`u, ∀x∈R, ∀t ∈[0,+∞[, |^∂f_∂x(x, t)| ≤ϕ(t),

o`u ϕ(t) = exp(−t) fonction continue, int´egrable sur [0,+∞[.

Par cons´equent, l’hypoth`ese (3) est v´erifi´ee mais F(x) =R+∞

0 f(x, t)dt, n’est mˆeme pas d´efinie, car

f(x, t) = exp(t)[1 +xexp(−2t)] ∼

+∞exp(t), non int´egrable,∀x∈R.

Corollaire 1.3.11 Soitf :D×Ω→Rune fonction telle que ^∂_∂x^kfk(x, t)existe pour 1≤k≤n (o`u n∈N^∗). Supposons que :

(1) ∀t∈Ω, la fonction x7→ ^∂_∂xⁿn^f(x, t) est continue sur D;

(2) ∀x∈D, les fonctions t7→ ^∂_∂x^kfk(x, t), 0≤k ≤n, sont int´egrables sur Ω; (3⁰) Pour tout compact K ⊂ D,∃ ϕ_K : Ω → R⁺, continue par morceaux, int´egrable sur Ω et telle que

∀x∈K, ∀t ∈Ω, |∂ⁿf

∂xⁿ(x, t)| ≤ϕK(t).

Alors la fonction F(x) =R

Ωf(x, t)dµ(t) est de classe Cⁿ sur D et on a :

∀x∈D, ∀k ∈N,1≤k ≤n, d^kF dx^k(x) =

Z

Ω

∂^kf

∂x^k(x, t)dµ(t).

1.3.3 Int´ egration sur un espace produit

Soenit (Ω₁, τ₁, µ₁) et (Ω₂, τ₂, µ₂) deux espaces mesur´es. On suppose qu’ils sont tous deux σ-finis et soitµ=µ₁⊗µ₂

Th´eor`eme 1.3.12 (Fubini-Tonelli) Soit f : Ω₁ ×Ω₂ → R⁺ une fonction mesurable par rapport la mesure produitµ. On suppose que pour presque tout x∈Ω₁, la fonction y 7→f(x, y) est int´egrable sur Ω₂ et que

R

Ω1

R

Ω2f(x, y)dµ₂(y)

dµ₁(x) < +∞. Alors f est int´egrable par rapport la mesure produit µ et on a

Z

Ω1×Ω₂

f(x, y)dµ(x, y) = Z

Ω1

Z

Ω2

f(x, y)dµ₂(y)

dµ₁(x) =

= Z

Ω2

Z

Ω1

f(x, y)dµ1(x)

dµ2(y).

Th´eor`eme 1.3.13 (Fubini) Soit f : Ω₁ ×Ω₂ →C une fonction int´egrable par rapport la mesure produit µ. Alors

(1) pour presque tout x ∈ Ω₁, la fonction y 7→ f(x, y) est int´egrable sur Ω₂ et la fonction x7→R

Ω2f(x, y)dµ₂(y) est int´egrable sur Ω₁

(2) pour presque tout y ∈ Ω₂, la fonction x 7→ f(x, y) est int´egrable sur Ω₁ et la fonction y7→R

Ω1f(x, y)dµ₁(x) est int´egrable sur Ω₂ (3)

Z

Ω1×Ω2

f(x, y)dµ(x, y) = Z

Ω1

Z

Ω2

f(x, y)dµ₂(y)

dµ₁(x) =

= Z

Ω2

Z

Ω1

f(x, y)dµ1(x)

dµ2(y).

Th´eor`eme 1.3.14 (Changement de variables)

Soit ϕ : Ω⁰ → Ω, t → x = ϕ(t) un C¹-diff´eomorphisme d’un ouvert Ω⁰ sur un ouvert Ω de Rⁿ et soit sa matrice jacobienne D_ϕ(t) =

∂ϕj

∂ti(t)

i,j avec t= (t₁,· · ·, t_n), ϕ(t) = (ϕ₁(t),· · ·, ϕ_n(t)) et ϕ_i : Ω⁰ →R pour i= 1,· · ·n.

Alors

f ∈L¹(Ω) ⇐⇒ (f ◦ϕ)|detD_ϕ| ∈L¹(Ω⁰), et dans ce cas

Z

Ω

f(x)dx= Z

Ω⁰

f(ϕ(t))|detD_ϕ(t)|dt.

1.4. ETUDE DE LA FONCTION GAMMA 13

1.4 Etude de la Fonction Gamma

La fonction Gamma d´efinie par Γ(x) =

Z +∞

0

t^x−1exp(−t)dt, dont le domaine de d´efinition est D=]0,+∞[. En effet, En z´ero : puisque limt→0exp(−t) = 1, exp(−t)t^x−1∼

0 t^x−1 = _t1−x¹ . Donc en z´ero l’int´egrale converge si (1−x)<1, (⇐⇒ x >0) et diverge si x≥0.

A l’infini : On a ∀x∈R, lim_t→+∞t²t^x−1exp(−t) = 0, d’o`u

pour = 1,∃A > 0 tel que ∀t ≥ A, t^x−1exp(−t) ≤ _t¹2, donc, d’apr´es le th´eor`eme de comparaison, l’int´egrale converge `a l’infini et ceci ∀x∈R. En conclusion : R+∞

0 t^x−1exp(−t)dt, converge si et seulement si x > 0.

Donc le domaine de d´efinition de la fonction Gamma est D=]0,+∞[.

D’autre part, par une int´egration par parties on montre que, pour x >0, Γ(x+ 1) =xΓ(x),

en particulier pour x=n ∈N, on trouve Γ(n+ 1) =n!.

Le changement de variablet =u² donne Γ(x) =

Z +∞

0

u^2x−2exp(−u²)2udu= 2 Z +∞

0

u^2x−1exp(−u²)du, d’o`u pour x= ¹₂ on trouve

Γ(1 2) = 2

Z +∞

0

exp(−u²)du=√ π.

En appliquant encore Γ(x+ 1) =xΓ(x), on trouve pourn ∈N, Γ(n+1

2) = (n− 1

2)(n−3 2)· · ·3

2.1 2Γ(1

2) = 1.3.5.· · ·(2n−1) 2ⁿ

√π,

soit

Γ(n+1

2) = (2n)!

2²ⁿn!

√π.

1.4.1 Continuit´ e de la fonction Gamma sur ]0, +∞[

La fonction (x, t)7→f(x, t) =t^x−1exp(−t) est continue sur ]0,+∞[×]0,+∞[.

D’autre part, pourx >0, soit 0< α≤x≤β, alors

∀t ∈]0,1], t^x−1 ≤t^α−1 et donc |f(x, t)| ≤t^α−1exp(−t), et

∀t∈[1,+∞], t^x−1 ≤t^β−1 et donc |f(x, t)| ≤t^β−1exp(−t).

Soit ϕ_α,β(t) =t^α−1exp(−t) +t^β−1exp(−t) = [t^α−1+t^β−1] exp(−t), alors ϕ_α,β :]0,+∞[→R est continue, int´egrable (car limt→+∞t²ϕ_α,β(t) = 0) et on a

∀x∈[α, β], ∀t∈]0,+∞[, |f(x, t)| ≤ϕ_α,β(t).

Les hypoth`eses du Th´eor`eme (continuit´e), sont v´erifi´ees et donc la fonc- tion Gamma est continue sur ]0,+∞[.

1.4.2 D´ erivabilit´ e de la fonction Gamma sur ]0, +∞[

La fonction x7→f(x, t) =t^x−1exp(−t) est d´erivable sur ]0,+∞[ et pour tout t∈]0,+∞[, on a

∂f

∂x(x, t) = t^x−1ln(t) exp(−t).

Plus g´en´eralement, pour k∈N^∗, pour tout t >0, la fonctionx7→f(x, t) est k fois d´erivable et on a

∂^kf

∂x^k(x, t) =t^x−1(ln(t))^kexp(−t).

Soit n ∈ N^∗ alors ∀t ∈]0,+∞[, la fonction x 7→ ^∂_∂xⁿn^f(x, t) est continue sur ]0,+∞[ et∀x∈]0,+∞[,les fonctionst 7→ ^∂_∂x^kfk(x, t), 0≤k ≤nsont continues et int´egrables sur ]0,+∞[.

D’autre part, pour x >0, soit 0< α≤x≤β, alors

∀t∈]0,1], t^x−1 ≤t^α−1 et donc |∂ⁿf

∂xⁿ(x, t)| ≤t^α−1|ln(t)|ⁿexp(−t), et

∀t∈[1,+∞[, t^x−1 ≤t^β−1 et donc |∂ⁿf

∂xⁿ(x, t)| ≤t^β−1|ln(t)|ⁿexp(−t).

1.4. ETUDE DE LA FONCTION GAMMA 15 Soit ϕ_α,β(t) = [t^α−1+t^β−1]|ln(t)|ⁿexp(−t), alors

ϕ_α,β :]0,+∞[→R est continue, int´egrable (car limt→+∞t²ϕ_α,β(t) = 0) et on a

∀x∈[α, β], ∀t ∈]0,+∞[, |∂ⁿf

∂xⁿ(x, t)| ≤ϕ_α,β(t).

Les hypoth`eses du Th´eor`eme (D´erivabilit´e) (Corollaire 1.3.11) , sont v´erifi´ees et donc la fonction Gamma est de classe Cⁿ sur ]0,+∞[ et on a

Γ⁽ⁿ⁾(x) = Z +∞

0

t^x−1(ln(t))ⁿexp(−t)dt.

Commen est arbitraire, la fonction Γ est de classe C^∞ sur ]0,+∞[.

1.4.3 Variations de la fonction Gamma

Puisque , pour x >0, Γ(x+ 1) =xΓ(x), on obtient en particulier, Γ(2) = Γ(1) = 1.

D’apr`es le Th´eor`eme de Rolle,∃α∈[1,2] tel que Γ⁰(α) = 0.

D’autre part, Γ⁽²⁾(x) = R+∞

0 t^x−1(ln(t))²exp(−t)dt > 0.

Donc Γ⁰(x) est strictement croissance.

Donc Γ⁰(x)≤0 pour x∈]0, α] et ≥0 pour x∈[α,+∞[.

En particulier, la fonction Γ est croissante sur [α,+∞[.

Donc pour x≥3, x−1≥2 et Γ(x) = (x−1)Γ(x−1)≥(x−1)Γ(2).

D’o`u pour x≥3, Γ(x))≥(x−1) et

x→+∞lim Γ(x) = +∞.

La continuit´e de la fonction Γ en x= 1, implique que Γ(x) = Γ(x+ 1)

x ∼

0

Γ(1) x = 1

x. D’o`u

lim

x→0⁺Γ(x) = +∞.

Tableau de variations

x Γ⁰(x)

Γ(x)

0 α +∞

− 0 +

+∞

+∞

Γ(α) Γ(α)

+∞

+∞

Direction asymptotique

x→+∞lim Γ(x)

x = lim

x→+∞

x−1

x Γ(x−1) = +∞.

Prolongement de Γ(x) pour x n´egatif Bien que pour x ≤ 0, l’int´egrale R+∞

0 t^x−1exp(−t)dt diverge, grˆace `a la relation Γ(x+ 1) =xΓ(x), on peut poser par convention

∀x∈]−1,0[, Γ(x) = Γ(x+ 1)

x .

En effet le second membre de l’´egalit´e est bien d´efinie, puisque pourx∈]−1,0[, x+ 1>0.

De mˆeme, pour x ∈]−n,−n+ 1[, x+n > 0, de proche en proche, on obtient

Γ(x) = Γ(x+n)

x(x+ 1)(x+ 2)· · ·(x+n−1). Graphe de la fonction Γ

Chapitre 2

Les espaces L ^p

2.1 Fonctions convexes

D´efinition 2.1.1 Une fonction f :I →R o`u I ⊆ R un intervalle, est dite convexe sur I si pour tout x, y ∈I et tout t ∈[0,1],

f((1−t)x+ty)≤(1−t)f(x) +tf(y).

Remarque 2.1.2 (1) G´eom´etriquement, cette in´egalit´e signifie que pour x₁ < x < x₂, les points (x, f(x)) de la courbe de f sont situ´es au-dessous de la droite passant par les points (x₁, f(x₁)) et (x₂, f(x₂)).

(2) Si f est convexe sur un intervalle ouvert, alors elle est continue sur cette intervalle.

Exemple 2.1.3 1) La fonction f(x) = exp(x) est convexe sur R. 2) La fonction f(x) =x^p est convexe sur R⁺.

Th´eor`eme 2.1.4 Soit f : I → R une fonction d´efinie sur I ⊆ R un inter- valle. Les conditions sont ´equivalentes :

(1) f est convexe ;

(2) pour tout x, y ∈I, f(^x+y₂ )≤ ^f(x)+f(y)₂ ;

(3) ∀x₁, x₂,· · ·, x_n ∈I, ∀t₁, t₂,· · ·, t_n ∈[0,1], Pn

i=1t_i = 1 , f(

n

X

i=1

tixi)≤

n

X

i=1

tif(xi);

(4) pour tout α ∈ I fix´e, la fonction hα(x) = ^f(x)−f(α)_x−α , x ∈ I, x 6= α est croissante.

17

Th´eor`eme 2.1.5 (In´egalit´e de Jensen) Soitµune mesure positive sur Ω avec µ(Ω) = 1. Soit f ∈L¹(Ω, µ) avec f(x)∈I pour tout x∈Ω.

Supposons que ϕ est une fonction convexe sur I, alors ϕ

Z

Ω

f dµ

≤ Z

Ω

(ϕ◦f)dµ.

2.2 D´ efinitions et propri´ et´ es des espace L

Soit (Ω, τ, µ) un espace mesur´e, dans ce chapitre, bien que la plus part des r´esultats soient annonc´es dans un cadre g´en´eral, on s’int´eresse parti- culi`erement `a la mesure de Lebesgue dans R ouRⁿ.

Soit 1 ≤ p < +∞ et f : Ω → R ou C, une fonction mesurable, alors la fonction |f|^p est positive et mesurable (comme compos´ee de f avec une fonction continue, t7→t^p). La quantit´e

kfk_p ^def= Z

Ω

|f|^pdµ ¹_p

, est bien d´efinie et appartient `a [0,+∞].

Pour p= +∞ etf : Ω→R ouC, une fonction mesurable, on pose kfk∞

def= inf{M ≥0; |f| ≤M}

la derni`ere in´egalit´e ”|f| ≤ M” veut dire que ”|f(x)| ≤ M pour µ presque toutx∈Ω (p.p.)”. Alorskfk∞ est bien d´efinie et appartient `a [0,+∞] et on a

kfk∞= inf{ sup

x∈Ω\A

|f(x)|; µ(A) = 0}

Si f est mesurable alors il existe un ensemble mesurable A ⊆ Ω, de mesure nulle, tel que

kfk∞ = sup{|f(x)|; x∈Ω\A}.

En effet, si kfk∞ = +∞ alors n’importe quel ensemble A v´erifiant µ(A) = 0 convient (par exempleA=∅).

Supposons que kfk∞ < +∞, alors, par d´efinition de inf, pour tout n ∈ N^∗, ∃An avec µ(An) = 0 et sup_x∈Ω\An|f(x)| ≤ kfk∞+ _n¹. Posons A =∪An

alors µ(A) = 0 et pour tout n ∈N^∗, on a kfk_∞≤ sup

x∈Ω\A

|f(x)| ≤ sup

x∈Ω\A_n

|f(x)| ≤ kfk_∞+ 1 n, et donckfk∞= sup_x∈Ω\A|f(x)|.

2.2. D ´EFINITIONS ET PROPRI ´ET ´ES DES ESPACE L^P 19 Par cons´equent,

|f(x)| ≤ kfk_∞ µ−p.p. x∈Ω, etkfk_∞ est le plus petit nombre v´erifiant cette in´egalit´e.

D´efinition 2.2.1 Soit (Ω, τ, µ) un espace mesur´e et 1≤p < +∞, on pose L^p(Ω, µ)^def= {f : Ω→C, mesurable telle quekfkp <∞}

et

L^∞(Ω, µ)^def= {f : Ω→C, mesurable telle quekfk∞<∞}.

Une fonction appartement `a L^∞(Ω, µ) est diteessentiellement born´ee.

Remarque 2.2.2 (1) Attention, une fonction essentiellement born´ee n’est pas forc´ement born´ee.

Exemple Soit Ω = R⁺ et µ la mesure de Lebesgue et f : R⁺ → R d´efinie par

f(x) =

exp(−x) si x∈R⁺\Q, x si x∈Q⁺.

Alors f est mesurable. D’autre part, puisque Q⁺ est d´enombrable, sa mesure de Lebesgue est nulle. Donc |f(x)| ≤exp(−x) µ-p.p.

Par cons´equent, kfk∞ ≤ 1. Donc f est essentiellement born´ee (i.e. f ∈ L^∞(R⁺, µ)).

Par contre f n’est pas born´ee. En effet, supposant au contraire, il existe M > 0 tel que |f(x)| ≤ M et soit x = E(M) + 1. Alors x ∈ Q⁺ et donc f(x) = E(M) + 1> M contradiction. Donc f n’est pas born´ee.

(2) On peut remarquer que f ∈ L^p(Ω, µ) pour tout p∈[1,+∞].

(3) Soit Ω⊆Rⁿ un ouvert et µ la mesure de Lebesgue. Si f ∈C(Ω,C) alors kfk∞= sup{|f(x)|; x∈Ω}.

Remarque 2.2.3 (1) Il est facile de v´erifier que pour tout α ∈C, kαfkp =|α|kfkp et kαfk∞ =|α|kfk∞.

(2) Si f, g ∈ L^p(Ω, µ), 1≤p < +∞, alors f +g ∈ L^p(Ω, µ).

En effet, ceci r´esulte de l’in´egalit´e suivante si a, b≥0 alors (a+b)^p ≤2^p−1(a^p +b^p).

(Utiliser la convexit´e de la fonction x7→x^p dans R⁺).

Pour p =∞, le r´esultat se d´eduit de l’in´egalit´e triangulaire du module ( ou de la valeur absolue).

(3) Comme cons´equence de (1) et (2), on a pour tout p∈[1,+∞], L^p(Ω, µ) est un espace vectoriel.

Remarque 2.2.4 Pour 1≤p≤+∞, on a

kfkp = 0 ⇐⇒ |f|^p = 0 µ−p.p. ⇐⇒ |f|= 0 µ−p.p. ⇐⇒ f = 0µ−p.p.

Soit N_µ,p={f ∈ L^p(Ω, µ); f = 0µ−p.p.}.

Alors N_µ,p est sous-espace ferm´e de L^p(Ω, µ).

D’autre part, la relation R d´efinie sur L^p(Ω, µ) par f, g ∈ L^p(Ω, µ); f R g ⇐⇒^def f −g ∈ Nµ,p

est une relation d’´equivalence.

D´efinition 2.2.5 (Espaces L^p)

Soit (Ω, τ, µ) un espace mesur´e et 1≤p≤+∞. On d´efinit L^p(Ω, µ)^def= L^p(Ω, µ)N_µ,p,

l’espace des classes d’´equivalence des fonctions de L^p(Ω, µ) pour la relation R.

Remarque 2.2.6 (1) Pour fˆ ∈ L^p(Ω, µ), on pose kfkˆ _p = kfk_p o`u f est repr´esentant de la classe f. Alorsˆ kfˆk est bien d´efinie carkfk ne d´epend pas du choix de f dans fˆ.

(2) L^p(Ω, µ) est un espace vectoriel.

Remarque 2.2.7 Si, 0 < p < 1, alors la quantit´e kfk_p = R

Ω|f(x)|^pdµ¹_p n’est pas une norme. Donc l’espaceL^p n’est pas un espace norm´e. C’est pour cela qu’on consid`ere toujours p≥1. En effet,

(1) Si Ω = [0,1], µ = λ la mesure de Lebesgue et f = χ_[0,¹

2[ et g = χ_[¹

2,1[, alors

kfk_p =kgk_p = (1

2)^p1 d’o`ukfk_p+kgk_p = 2^1−1p <1 =kf +gk_p. Donc l’in´egalit´e triangulaire n’est pas v´erifi´ee.

(2) L^p(Ω, µ)est un espace vectoriel, muni de la distance d(f, g) =R

Ω|f(x)− g(x)|^pdµ, f, g ∈L^p(Ω, µ), est un espace m´etrique complet.

2.3. IN ´EGALIT ´ES DE H ¨OLDER ET MINKOWSKI 21

2.3 In´ egalit´ es de H¨ older et Minkowski

Dans toute la suite et en l’absence d’ambiguit´e, on confondra fˆ et f.

Les in´egalit´es qui vont suivre jouent un rˆole tr`es important dans l’´etude des espacesL^p. En particulier, elles permettent de montrer quef 7→ kfk_p est une semi-norme sur L^p(Ω, µ) et une norme sur L^p(Ω, µ).

Dans toute la suite, on ´ecrira L^p (reps. L^p) `a la place de L^p(Ω, µ) (resp.

L^p(Ω, µ)).

On dira que p, q ∈]1,+∞[, sont exposants conjugu´es si ils v´erifient la relation

1 p +1

q = 1,

si p= 1 alors q=∞ et si q=∞ alors p= 1; (_∞¹ = 0) Remarquons que si p, q >1 alors

1 p+1

q = 1 ⇐⇒ p= q

q−1 ⇐⇒ q= p

p−1 ⇐⇒ p+q =pq ⇐⇒ p−1 = p q. Lemma 2.3.1 (In´egalit´e de Young) Soit a, b ≥ 0 et p, q ∈]1,+∞[ avec

1

p +¹_q = 1. Alors

ab≤ a^p p + b^q

q.

Th´eor`eme 2.3.2 (In´egalit´e de H¨older) Soit p, q ∈ [1,+∞] deux expo- sants conjugu´es (¹_p + ¹_q = 1). Soit f, g deux fonctions mesurables. Alors

kf gk₁ ≤ kfk_pkgk_q Corollaire 2.3.3 Si f ∈L^p et g ∈L^q alors f g∈L¹

Dans le cas p=q= 2, alors pet q sont exposants conjugu´es et on a Corollaire 2.3.4 (In´egalit´e de Cauchy-Schwartz)

Z

Ω

f gdµ ≤ kfk₂kgk₂

Th´eor`eme 2.3.5 (In´egalit´e de Minkowski)Soitp∈[1,+∞]etf, g deux fonctions mesurables. Alors

kf+gk_p ≤ kfk_p+kgk_p Corollaire 2.3.6 Soit p∈[1,+∞], alors

(1) L’application f 7→ kfkp est une semi-norme sur L^p. (2) L’application f 7→ kfk_p est une norme sur L^p.

2.4 Compl´ etude des espaces L

Le but de ce paragraphe est de d´emontrer que l’espaceL^p est complet et donc un espace de Banach.

D’abord nous donnons un r´esultat sur les s´eries normalement convergente dans L^p

Th´eor`eme 2.4.1 Soit p ∈ [1,+∞[ et (f_n)_n une suite de fonctions de L^p, normalement convergente i.e.

∞

X

n=1

kfnkp <∞.

Alors

(i) la s´erie P∞

n=1f_n converge p.p. et sa somme f(x) = P∞

n=1f_n(x) (d´efinie p.p.) appartient `a L^p;

(ii) on a

Nlim→+∞k

N

X

n=1

fn−fkp = 0.

Th´eor`eme 2.4.2 (Th´eor`eme de Riesz-Fischer) Soit p∈[1,+∞[. Alors L^p est un espace norm´e complet .

Plus pr´ecis´ement, si (fn)n une suite de Cauchy de fonctions de L^p, alors (i) ∃f ∈L^p telle que

n→+∞lim kfn−fkp = 0.

(ii) ∃(f_nk)_k une sous-suite de (f_n)_n telle que

k→+∞lim f_nk(x) = f(x) p.p.

Remarque 2.4.3 Attention, la conclusion (ii) du Th´eor`eme pr´ec´edent dit qu’il s’agit bien de la convergence simple d’une sous-suite mais pas forc´ement la convergence de la suite, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple. Il existe une suite de fonction f_n ∈ L^p([0,1]) avec la mesure de Lebesgue, telle que lim_n→+∞kf_n−fk_p = 0., mais la suite f_n(x) ne converge pour aucun x∈[0,1].

D’abord un r´esultat d’arithm´etique :

(i) ∀n∈N^∗, ∃p_n, q_n∈N uniques tels que n= 2^pn+q_n et q_n <2^pn.

(La preuve de l’existence peut se faire par r´ecurrence, en remarquant que si n, m∈ N, m < n alors m+ 1 ≤ n et pour l’unicit´e, on suppose qu’il existe

2.4. COMPL ´ETUDE DES ESPACES L^P 23 deux d´ecompositions de n et on aboutit `a une contradiction)

(ii) Soit

f_n =χ_[qn 2pn,^qn+1_2pn ], f₁ =χ_[0,1],

f2 =χ_[0,¹

2], f3 =χ_[¹

2,1], f₄ =χ_[0,¹

4], f₅ =χ_[¹

4,¹₂], f₆ =χ_[³

4,1], · · ·

Alors, clairement, p_n →+∞ quand n→+∞ et on a Z 1

0

|f_n(x)|^pdx= Z 1

0

χ_[qn

2pn,^qn+1_2pn ](x)dx=

Z ^qn+1_2pn

qn 2pn

dx= 1

2^pn →0, donc kf_n−0k_p →0 quand n →+∞.

(iii) Soit x ∈ [0,1] alors ∀p ∈ N, ∃q ∈ N tel que x ∈ [₂^qp,^q+1₂p ]. Posons n_p = 2^p+q alors f_np(x) = 1 et f_np+1(x) = 0. Donc il existe deux sous-suites de f_n(x) qui ne converge pas vers la mˆeme limite. Par cons´equent, pour tout x∈[0,1], la suite f_n(x) ne converge pas.

Th´eor`eme 2.4.4 (Th´eor`eme de Riesz-Fischer pour L^∞) L^∞ est un espace norm´e complet.

Th´eor`eme 2.4.5 (Convergence Domin´ee dans L^p)

Soit 1≤p < ∞, (p6=∞) et (f_n)_n⊂L^p une suite de fonctions telles que (1) f_n →f p.p.,

(2) ∃ϕ∈L^p tel que ∀n, |fn| ≤ϕ p.p.

Alors f_n converge vers f dans L^p, i.e.

n→+∞lim kf_n−fk_p = 0.

Remarque 2.4.6 Le th´eor`eme pr´ec´edent est faux pour p=∞.

En effet soit Ω = [0,1], µla mesure de Lebesgue et soit f_n=χ_[0,¹

n], n∈N^∗. Alors f_n ∈L^∞ et

(1) f_n →0 =f p.p.,

(2) ∀n, |f_n| ≤χ_[0,1] =ϕ, ϕ∈L^∞ pourtant

n→+∞lim kf_n−fk∞ = lim

n→+∞kf_nk∞= 16= 0.

Remarque 2.4.7 Soit E un espace norm´e. On d´efinit le dual topologique de E par

E^∗ ={f :E →C, forme lin´eaire continue}.

Dans le cas des espaces L^p, on peut d´emontrer que

(1) pour 1< p <∞, (L^p)^∗ =L^q avec ¹_p + ¹_q = 1 et (L¹)^∗ =L^∞; (2) pour 0< p <1, (L^p)^∗ ={0}.

2.5 Th´ eor` eme de densit´ e dans L

Soit Ω⊆Rⁿ un ouvert etf : Ω→C (ou R)

D´efinition 2.5.1 La fonction f est dite `a support compact si il existe un ensemble K ⊂Ω compact tel que f(x) = 0, ∀x∈Ω\K.

• Nous notons l’ensemble des fonctions continues `a support compact sur Ω par

C_c(Ω) ^def= {f : Ω→C, continue `a support compact}.

• On appelle le support de f dans Ω l’ensemble

Supp_Ω(f)^def= {x∈Ω; f(x)6= 0} ⊆Ω, o`u la barre d´esigne l’adh´erence dans l’ouvert Ω.

Remarque 2.5.2 On a

f ∈C_c(Ω) ⇐⇒ Supp_Ω(f) est compact.

Exemple 2.5.3 fonction `a support compact (1) Soit f :R→R d´efinie par

f(x) =











2x−1 si ¹₂ ≤x≤1, 1 si 1≤x≤2,

−2x+ 5 si 2≤x≤ ⁵₂,

0 ailleurs.

Alors f est continue sur R, Supp_R(f) = [¹₂,⁵₂] et donc f ∈Cc(R) (2) Soit f :R→R d´efinie par

f(x) =

exp(−_1−x¹ 2) si x∈]−1,1[,

0 ailleurs.

Alors f est continue sur R, Supp_R(f) = [−1,1] et donc f ∈C_c(R)

Soit f, g : Ω→C (ou R). Puisque SuppΩ(αf) =

SuppΩ(f) si α6= 0,

∅ si α= 0.

et

Supp_Ω(f +g)⊆Supp_Ω(f)∪Supp_Ω(g), on a le lemme suivant.

2.5. TH ´EOR `EME DE DENSIT ´E DANSL^P 25 Lemma 2.5.4 C_c(Ω) est un espace vectoriel.

Lemma 2.5.5 Soit Ω un ouvert de Rⁿ et λ la mesure de Lebesgue, alors (1) C_c(Ω) ⊂L^p(Ω) pour tout p∈[1,+∞],

de plus si p=∞ et f ∈C_c(Ω) alors kfk∞= sup{|f(x)|; x∈Ω}.

(2) Si f, g ∈C_c(Ω) alors

f =g p.p. ⇐⇒ f =g.

(3) C_c(Ω) est un sous espace vectoriel de L^p pour tout p∈[1,+∞].

Preuve(1) Si f ∈C_c(Ω) alors f est continue sur un compact. Donc elle est born´ee et on a kfk_∞= sup{|f(x)|; x∈Ω}<∞. Donc f ∈L^∞.

Soit 1 ≤p < +∞ et f continue `a support compact, K. Puisque λ(K) <∞ (la mesure de Lebesgue d’un compact est finie), on a

kfk_p = Z

Ω

|f|^pdλ ¹_p

= Z

K

|f|^pdλ ¹_p

≤(kfk^p_∞λ(K))^p1 =kfk∞λ(K)^1p <∞.

Donc f ∈L^p.

(2) Pour d´emontrer (2), il suffit de montrer que f(x) = 0 p.p. ⇒ f = 0.

Soit V ={x∈Ω, f(x)6= 0}. Alors λ(V) = 0 (puisque f(x) = 0 p.p).

D’autre part, puisquef est continue,V est un ouvert dans Ω, donc un ouvert de Rⁿ. Or, la mesure de Lebesgue d’un ouvert est > 0 (car tout ouvert contient un pav´e non vide). Par cons´equent V =∅et f = 0.

Th´eor`eme 2.5.6 (Densit´e de C_c dans L^p) Soit 1 ≤ p < ∞, (p 6= ∞), alors C_c(Ω) est dense dans L^p(Ω) pour la norme k.k_p, i.e.

∀f ∈L^p(Ω),∃(f_n)_n ⊂C_c(Ω) tel que lim

n→+∞kf_n−fk_p = 0.

Remarque 2.5.7 C_c(Ω) n’est pas dense dansL^∞(Ω).

Par Exemple : si a < b alors C([a, b]) n’est pas dense dans L^∞([a, b]). En effet, si a < c < b et f =χ_[a,c] alors ∀g ∈C([a, b]), on a

kf −gk∞≥ 1 2. Il suffit de remarquer que

kf−gk∞≥max{|g(c)|;|1−g(c)|} ≥ 1 2.

Remarque 2.5.8 Si Ω est compact, alors C_c(Ω) =C(Ω) l’espace des fonc- tions continues.

Corollaire 2.5.9 Supposons queΩest compact. Soit 1≤p <∞, (p6=∞), alors C(Ω) est dense dans L^p(Ω) pour la norme k.k_p, i.e.

∀f ∈L^p(Ω),∃(fn)n⊂C(Ω) tel que lim

n→+∞kfn−fkp = 0.

2.6 Exercices

Exercice 2.6.1 Soit (Ω, µ) un espace mesur´e fini (µ(Ω) <∞).

(1) Montrer que L^q(Ω)⊂L^p(Ω pour tout 1≤p < q ≤+∞

(2) Montrer que l’injection L^q(Ω),→L^p(Ω est continue i.e.

∃C >0 tel que kfk_p ≤Ckfk_q pour tout f ∈L^q(Ω)

Solution Si f est mesurable alors |f| ≤ kfk∞ µ−p.p. Donc |f(x)|^p ≤ kfk^p_∞ µ−p.p. D’o`u, pour q =∞ et f ∈L^q(Ω), on a

kfk_p ≤ kfk_∞ Z

Ω

dµ ¹_p

= (µ(Ω))^1pkfk_∞<+∞, puisque µ(Ω) <+∞.

Par cons´equentf ∈L^p etL^q(Ω)⊂L^p(Ω.

Supposons que q < +∞ et posons r = _q−p^q alors ¹q p

+¹_r = 1. Si f ∈ L^q, par l’in´egalit´e de H¨older, on obtient

Z

Ω

|f|^pdµ≤ Z

Ω

|f|^pqp

^p_q Z

Ω

dµ ¹_r

d’o`u kfkp ≤ kfkq(µ(Ω))^1p−1q <+∞

Par cons´equentf ∈L^p etL^q(Ω)⊂L^p(Ω

(2) D’apr`es (1), si on poseC = (µ(Ω))^1p siq=∞etC = (µ(Ω))^1p−1q siq <∞, alors kfk_p ≤Ckfk_q pour tout f ∈L^q(Ω). Donc l’injection est continue.

Remarque : La constante C est la meilleure possible, pour le d´emontrer, il suffit de prendref =χ_Ω. Autrement dit, la norme d’op´erateur de l’injection est ´egale `a C.

Exercice 2.6.2 Soit (Ω, µ) un espace mesur´e et p, q ∈ [1,+∞]. Soit f ∈ L^p(Ω), g ∈L^q(Ω) et r tel que ¹_r = ¹_p + ¹_q.

Montrer que

kf gk_r ≤ kfk_pkgk_q

2.6. EXERCICES 27 SolutionSupposons quep, q ∈[1,+∞[. Alors ¹_r = ¹_p+¹_q implique 1 = ¹p

r

+¹q r

. Par H¨older, k(f g)^rk₁ ≤ kf^rk^p

rkg^rk^q

r. D’o`u kf gk_r = (k(f g)^rk₁)^1r ≤

kf^rk^p

r

¹_r kg^rk^q

r

¹_r

=kfk_pkgk_q

Dans le cas p = +∞ et q < ∞, r = q ou dans le cas p = q = ∞, utiliser l’in´egalit´e |f(x)| ≤ kfk∞µ−p.p. pour conclure.

Exercice 2.6.3 (I) Soit a, b≥0 et 0< t <1.

(i) Montrer que

a^tb^1−t≤ta+ (1−t)b.

(ii) Montrer qu’il y a ´egalit´e si et seulement si a=b.

(II) Le cas d’´egalit´e dans l’in´egalit´e de H¨older.

Soit (Ω, µ) un espace mesur´e.

(i) Soit p= 1, q =∞ et f ∈L¹(Ω), g∈L^∞(Ω).

Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour l’´egalit´e kf gk₁ =kfk₁kgk∞.

(ii) Soit p, q ∈]1,+∞[, ¹_p +¹_q = 1. Soit f ∈L^p(Ω), g ∈L^q(Ω). Montrer que kf gk₁ =kfk_pkgk_q ⇐⇒ ∃C₁, C₂ ≥0, C₁|f|^p =C₂|g|^q p.p..

Solution (I)−(i)

Si a = 0 ou b = 0 il n’y a rien `a d´emontrer. Supposons que a, b > 0. Soit h_t(x) = 1−t+tx −x^t, x > 0. Alors h⁰_t(x) = t−tx^t−1 = t(1−x^t−1) et h⁰_t(x) = 0 ⇐⇒ x= 1. Et, x= 1 est un minimum.

D’o`u 0 =h_t(1) ≤1−t+tx−x^t, pour toutx >0.

Pour x= ^a_b, on trouve 0≤1−t+ta

b − a^t

b^t d’o`u 0≤(1−t)b+ta− a^t b^tb.

Et donc,

a^tb^1−t≤ta+ (1−t)b.

(I)−(ii)

Sia =b l’´egalit´e est facile `a v´erifier.

Inversement, supposons a^tb^1−t=ta+ (1−t)b vraie∀a, b > 0. Alors (a

b)^tb=ta+ (1−t)b d’o`u (a

b)^t=ta

b + (1−t).