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CONTRÔLE N°1 TS.

Vendredi 29 septembre 2017.

2 heures I. Déterminer la limite des suites suivantes en justifiant.

1. ( ) ^{u n} définie sur par u n n ⁵ 4n ³ n ² 5 2. ( ) ^{v n} définie sur par v n

2n ³ 3n ² 1 n ⁴ 3n ² 5 3. ( ) ^{w n} définie sur par w n 3 ( 1) ⁿ

n 2

4. ( ^{m n} ) définie sur par m n 3n 2 3 n 8 II. Pour tout entier naturel n, on pose: u n

1 n 2

1

n 1 et pour tout entier naturel n non nul, on pose S n u 0 u 1 u 2 … u n.

1. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u n .

2. Exprimer S n en fonction de n et déterminer la limite de la suite ( ) ^{S n .}

III. ( ) ^{u n} est la suite définie par u 0 2 et, pour tout n de , u n 1

1

4 u n 5.

1. Calculer u ₁ et u ₂ . La suite ( ) ^u n est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.

On définit la suite ( ) ^{v n} par : pour tout entier naturel n, v n u n

20 3

2. Démontrer que la suite ( ) ^v n est une suite géométrique. Préciser son premier terme et sa raison.

3. Montrer que, pour tout n de , u n

20 3

14 3  

  1 4

n

4. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u n .

5. Exprimer u _{n 1} u _n en fonction de n et en déduire le sens de variation de la suite ( ) ^u n . 6. Pour tout n de , on pose S n u 0 u 1 u 2 … u n . Exprimer S n en fonction de n.

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IV. On considère deux suites ( ) ^{u n et} ( ) ^{v n :}

• la suite ( ) ^{u n} définie par u 0 1 et pour tout entier naturel n : u n 1 2 u n n 3 ;

• la suite ( ) ^{v n} définie, pour tout entier naturel n, par v n 2 ⁿ . Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur. Une copie d’écran est donnée ci- contre.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

Conjecturer les limites des suites ( ) ^{u n et} _ ^{ u} _v ⁿ _ ^

n

. Partie B : Étude de la suite ( ) ^{u n}

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a u n 3 2 ⁿ n 2.

2. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u n .

3. A l aide de la calculatrice, déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Étude de la suite

 

  u n

v n

1. En calculant u n 1

v _{n 1} u n

v _n , montrer que la suite

 

  u n

v n

est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier naturel n 4, on a 0 n 2 ⁿ

1

n . Dét erminer l a lim ite de l a suit e

 

  u _n v n

.

CORRECTION DU CONTRÔLE N°1 TS.

I.

1. ( ) ^{u n} définie sur par u n n ⁵ 4n ³ n ² 5 lim

n

n ⁵ et lim

n

4 n ³ donc on a une FI.

Pour tout n de , u n n ⁵

 

 

1 ⁴

n ² 1 n ³

5 n ⁵ . lim

n

n ⁵ et lim

n  

 

1 ⁴

n ² 1 n ³

5

n ⁵ 1 donc lim

n

u n . 2. ( ) ^{v n} définie sur par v n

2n ³ 3n ² 1 n ⁴ 3n ² 5 On a une FI.

Pour tout n de , v _n n ³

 

  2 ³

n 1 n ³ n ⁴

 

 

1 ³

n ² 5 n ⁴

2 ³ n

1 n ³ n  

 

1 ³

n² 5 n ⁴ lim

n

n et lim

n

1 ³

n² 5

n ⁴ 1 donc lim

n

n(1 ³ n²

5 n ⁴ ) De plus, lim

n

2 ³

n 1 n ³ 2 Ainsi, lim

n

v n 0.

3. ( ) ^{w n} définie sur par w n 3 ( 1) ⁿ n 2 ( 1) ⁿ n a pas de limite en + .

Pour tout n de : 1 ( 1) ⁿ 1 donc 1

n 2

( 1) ⁿ n 2

1

n 2 car n 2 0 donc 1

n 2

( 1) ⁿ n 2

1

n 2 car on multiplie par 1 0 donc 3 1

n 2 3 ( 1) n

n 2 3 1

n 2 car on ajoute 3 Pour tout n de , on pose a n 3 1

n 2 et b n 3 1 n 2 On a alors lim

n

a _n lim

n

b _n 3 et a _n w _n b _n pour tout n de . Alors, d après le th des gendarmes, lim

n

w n 3.

4. ( ^{m n} ) définie sur par m n 3n 2 3 n 8 lim

n

3n 2 et lim

n

3n 8 donc on a une FI.

Pour tout n de , m n

( 3 n 2 3n 8 ) ( 3n 2 3 n 8 )

3n 2 3 n 8

(3n 2) (3 n 8)

3n 2 3n 8

6

3n 2 3 n 8

lim

n ( ^{3n 2 3n 8} ) donc lim

n

m _n 0.

II. Pour tout entier naturel n, on pose: u n

1 n 2

1

n 1 et pour tout entier naturel n non nul, on pose S n u 0 u 1 u 2 … u n.

1. lim

n

n 2 lim

n

n 1 donc lim

n

1

n 2 lim

n

1

n 1 0.

Alors, lim

n

u n 0.

Déterminer la limite de la suite ( ) ^{u n .}

2. Pour tout n de : S n u 0 u 1 u 2 … u n

1 0 2

1 0 1

1 1 2

1 1 1

1 2 2

1

2 1 … 1

n 2 1 n 1 1

2 1 1 1

3 1 2 1

4 1

3 … 1

n 2 1 n 1

1

n 2 1 (on simplifie la somme) Démonstration par récurrence que S n

1

n 2 1 : Initialisation : pour n 0 0 : S 0 u 0

1

2 1 1

2 et 1

0 2 1 1

2 1 1

2 donc la propriété est vraie pour n 0 0.

Hérédité : soit p un entier 0 tel que S p

1

p 2 1. Montrons que S p 1

1

p 1 2 1.

S p 1 u 0 u 1 … u p u p 1 S p u p 1 . Or S p

1

p 2 1 (par hypothèse de récurrence) et u p 1

1 p 1 2

1 p 1 1

1 p 3

1 p 2 . Ainsi, S_(p+1)= 1

p 2 1 1

p 3 1 p 2

1

p 3 1 1

p 1 2 1 Conclusion : pour tout n de , S _n 1

n 2 1.

Démonstration avec le symbole (hors programme de terminale) :

S n 

k 0 n

u k 

k 0 n

1 k 2

1

k 1 

k 0 n

1

k 2 

k 0 n

1 k 1



k 0 n 1

1 k 2

1 n 2

1

0 1 

k 1 n

1 k 1



k 1 n

1 k 1

1

n 2 1 

k 1 n

1 k 1

1 n 2 1

lim

n

S _n lim

n

1

n 2 1 0 1 1.

III. ( ) ^{u n} est la suite définie par u 0 2 et, pour tout n de , u n 1

1

4 u n 5.

1. u 1

1

4 2 5 5,5 et u 2 6,375.

u 1 u 0 3,5 et u 2 u 1 0,875  3,5 donc la suite n est pas arithmétique.

u ₁ u 0

2,75 et u ₂ u 1

51

44  2,75 donc la suite n est pas géométrique.

On définit la suite ( ) ^{v n} par : pour tout entier naturel n, v n u n

20

3

2. Soit n un entier naturel.

v n 1 u n 1

20 3

1

4 u n 5 20 3

1 4 u n

5 3

1 4  

  u n 20

3 1 4 v n

( ) ^{v n} est donc une suite géométrique de raison 1

4 et de premier terme v 0 u 0

20

3 2 20

3

14 3 . 3. Pour tout n de , v n

14 3  

  1 4

n

et u n v n

20 3

20 3

14 3  

  1 4

n

4. 1 1

4 1 donc lim

n  

  1 4

n

0 et donc lim

n

u n

20 3 . 5. Soit n un entier naturel.

u _{n 1} u _n 20 3

14 3  

  1 4

( n 1) 20

3 14

3  

  1 4

n 14

3  

  1 4

n 14

3  

  1 4

n 1

14

3  

  1 4

n

 

  1 ¹

4 14

3  

  1 4

n 3

4 7 2  

  1 4

n

Pour tout n de , u n 1 u n

7 2  

  1 4

n

0 donc la suite ( ) ^{u n} est croissante.

6. Pour tout n de , on pose S n u 0 u 1 u 2 … u n . Exprimer S n en fonction de n.

Soit n un entier naturel.

S n u 0 u 1 u 2 … u n v 0

20 3 v 1

20 3 v 2

20

3 … v n

20 3 v 0 v 1 v 2 … v n (n 1) 20

3 v 0

1  

  1 4

n 1

1 ¹ 4

(n 1) 20

3 car ( ) ^{v n} est géométrique de raison 1 4 . 14

3 4 3  

  1  

  1 4

n 1 20(n 1)

3

56 9  

  1  

  1 4

n 1 20( n 1)

3

V. On considère deux suites ( ) ^u n et ( ) ^v n :

• la suite ( ) ^{u n} définie par u 0 1 et pour tout entier naturel n u n 1 2u n n 3 ;

• la suite ( ) ^{v n} définie, pour tout entier naturel n, par v n 2 ⁿ . Partie A : Conjectures

1. En B3, on a entré 2*B 2 A 2 3 En C3, on a entré 2^A3 ou 2*C2 2. On peut conjecturer que lim

n

u _n et lim

n

u n

v _n 3.

Partie B : Étude de la suite ( ) ^{u n}

1. Initialisation : pour n 0 0, u 0 1 et 3 2 ⁰ 0 2 1 donc u 0 3 2 ⁰ 0 2 : la propriété est vraie pour n 0 0.

Hérédité : soit p un entier 0 tel que u p 3 2 ^p p 2. Montrons que u p 1 3 2 ^{p 1} p 1 2.

On a u p 1 2u p p 3

2 ( ^{3 2 p p 2} ) ^p 3 d après l hypothèse de récurrence 3 2 ^{p 1} 2p 4 p 3

3 2 ^{p 1} p 1 3 2 ^{p 1} p 1 2

Conclusion : pour tout entier naturel n, on a u n 3 2 ⁿ n 2.

2. 2 1 donc lim

n

2 ⁿ et lim

n

n 2 . Ainsi, lim

n

u _n .

3. D après la calculatrice, le premier terme de la suite supérieur à 1 million est le terme de rang 19 : u 19 10 ⁶

Partie C : Étude de la suite

 

  u n

v n

1. Soit n un entier naturel.

u n

v _n

3 2 ⁿ n 2

2 ⁿ 3 n 2

2 ⁿ u _{n 1}

v n 1

u _n v n  

 

3 ^{n 1 2}

2 ^{n 1}  

 

3 ^{n 2}

2 ⁿ 3 n 1

2 ^{n 1} 3 n 2 2 ⁿ

n 1 2( n 2)

2 ^{n 1} car 2 ^{n 1} 2 2 ⁿ u _{n 1}

v n 1

u _n v n

3 n 2 ^{n 1} u n 1

v _{n 1} u n

v _n 0 ssi 3 n 0 ssi n 3 La suite

 

  u n

v n

est donc décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier naturel n 4, on a 0 n 2 ⁿ

1 n . Soit n un entier naturel.

u n

v n

3 2 ⁿ n 2

2 ⁿ 3 n 2

2 ⁿ 3 n

2 ⁿ 2 2 ⁿ Alors 3 2

2 ⁿ u n

v n

3 1

n 2 2 ⁿ Pour tout n de , on pose a n 3 2

2 ⁿ et b n 3 1 n

2 2 ⁿ 2 1 donc lim

n

2 ⁿ et donc lim

n

2

2 ⁿ D autre part, lim

n

1 n 0.

On a ainsi lim

n

a n lim

n

b n 3 et, pour tout n de , a n

u n

v n

b n

Alors, d après le th des gendarmes, lim

n

u n

v n

3.