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CONTROLE N°1 TS1.

Mercredi 27 septembre 2016.

2 heures I. Déterminer la limite des suites suivantes en justifiant et en utilisant des méthodes et théorèmes vus en classe.

1. ( ) ^{u n} définie sur par u n n ⁴ 3 n ³ 5n ² 8.

2. ( ) ^{v n} définie sur par v n

3 n² 2 n 3 5 n ³ 4n 1 . 3. ( ) ^w n définie sur par w n

2n cos(n ) n 3

II. Pour tout entier naturel n, on pose: u n n n 1 et pour tout entier naturel n non nul, on pose w n

u 0 u 1 u 2 … u n

n 1

.

1. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{u n .}

2. Calculer w n .

III. Une société produit des bactéries pour l’industrie. En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20 % en un jour.

La société met en place le dispositif industriel suivant.

Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1 kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100 g de bactéries sont perdus.

L’entreprise se fixe pour objectif de produire 30 kg de bactéries.

On modélise l’évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite ( ) ^{u n} définie de la façon suivante : u 0 1000 et, pour tout entier naturel n, u n 1 1,2u n −100.

1.

a. Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l’énoncé. On précisera en particulier ce que représente u n .

b. L’entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30 kg. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

c. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Compléter cet algorithme.

2. Montrer par récurrence que, pour tout n de , u n 1000.

3. Exprimer u n 1 u n en fonction de n et en déduire le sens de variation de la suite ( ) ^{u n .}

4. On définit la suite ( ) ^{v n} par : pour tout entier naturel n, v n u n 500.

a. Démontrer que la suite ( ) ^{v n} est une suite géométrique.

b. Exprimer v n , puis u n , en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{u n .}

5. Pour tout n de , on pose S n u 0 u 1 u 2 … u n . Exprimer S n en fonction de n.

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Variables u et n sont des nombres u prend la valeur 1 00 n prend la valeur 0

Traitement Tant que ... faire u prend la valeur ...

n prend la valeur n + 1 Fin Tant que

Sortie Afficher ...

IV. Soit f la fonction définie sur par f( x) x (2−x ). On considère la suite numérique ( ) ^{u n} définie sur par : u ₀ 1

8 et, pour tout n de , u _{n 1} f ( ) ^u n u _n ( ^{2 u} n ) .

1. Dans le repère orthonormal ci-dessous, on a tracé la droite d équation y x et la courbe de la fonction f définie sur par f (x ) x (2 x ). Construire sur l’axe des abscisses les points A 1 , A 2 et A 3

d’abscisses respectives u ₁ , u ₂ et u ₃ .

2. Conjecturer la limite de la suite ( ) ^u n . 3. Pour tout n de , on pose v n 1 u n .

a. Montrer que pour tout entier naturel , v n 1 v n 2 . b. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, v _n

 

  7 8

2

.

c. Déterminer la limite de la suite ( vn ), puis celle de la suite ( un ).

CORRECTION DU CONTROLE N°1 TS1.

I.

1. lim

n

u n lim

n

n ⁴ . 2. lim

n

v n lim

n

^{3 n²}

5 n ³ lim

n

3 5n 0.

3. Pour tout n de , 1 cos(n ) 1

2 n 1 2 n cos(n) 2 n 1 2 n 1

n 3 w _n 2n 1

n 3 car n 3 0 lim

n

2n 1

n 3 lim

n

2n

n 2 Alors, d après le th des gendarmes lim

n

2 n 1

n 3 lim

n

2 n

n 2 lim

n

w n 2

II. Pour tout entier naturel n, on pose: u n n n 1 et w n

u 1 u 2 u 3 … u n

n .

1. Pour tout n de : u n

( ^{n n 1} ) ( ^{n n 1} )

n n 1

n ( n 1)

n n 1

1

n n 1

lim

n

n n 1 donc lim

n

u n 0.

2. w n

0 1 1 2 2 3 3 4 … n n 1

n 1

n 1

n 1 1.

III.

1.

a. u n représenter la masse de bactéries, en grammes, contenue dans la cuve après n jours.

1kg 1000 g donc u ₀ 1000.

Augmenter de 20% revient à multiplier par 1,2 donc u _{n 1} 1,2u _n 100.

b. A la calculatrice, on obtient u ₂₂ 30000 et u ₂₃ 30000. La masse de bactéries dépassera 30kg au bout de 23 jours.

c. On peut également utiliser l’algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente. Compléter cet algorithme.

2. Initialisation : pour n 0 0 : u 0 1000 donc u 0 1000.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que u p 1000. Montrons que u p 1 1000.

u _p 1000 donc 1,2u _p 1200 donc 1,2 up 100 1100 1000 donc u _{p 1} 1000.

Conclusion : pour tout n de , u _n 1000.

3. Soit n un entier naturel.

u n 1 u n 1,2u n 100 u n 0,2u n 100..

u n 1000 donc 0,2u n 200

donc 0,2 u n 100 100 0

On a donc u n 1 u n 0. La suite ( ) ^{u n} est donc croissante.

Variables u et n sont des nombres u prend la valeur 1 00 n prend la valeur 0 Traitement Tant que u<30000 faire

u prend la valeur 1,2u-100 n prend la valeur n + 1 Fin Tant que

Sortie Afficher n

4.

a. Soit n un entier naturel.

v n 1 u n 1 500 1,2 u n 100 500 1,2u n 600 1,2 ( ^{u n 500} ) ^{1,2v n} . La suite ( ) ^{v n est donc}

géométrique de raison 1,2 et de premier terme v 0 u 0 500 500.

b. Pour tout n de , v n v 0 q ⁿ 500 1,2 ⁿ . v n u n 500 donc u n v n 500 500 500 1,2 ⁿ . c. 1,2 1 donc lim

n

1,2 ⁿ donc lim

n

u n

5. S n 500 500 1,2 ⁰ 500 500 1,2 ¹ 500 500 1,2 ² … 500 500 1,2 ⁿ 500( n 1) 500 ( 1 1,2 1,2² … 1,2 ⁿ ) 500( n 1) 500 ( ^{1 1,2 n 1} )

1 1,2 S _n 500( n 1) 500 ( ^{1 1,2 n 1} )

0,2 .

IV.

1.

2. A la calculatrice, on calcule les premiers termes de la suite. Il semble que la suite converge vers 1.

3. Pour tout n de , on pose v n 1 u n . a. Soit n un entier naturel.

v n 1 1 u n 1 1 u n ( ^{2 u n} ) ^{1 2 u n u n 2} ( ^{1 u n} ) ²

Ainsi, v n 1 v n 2 .

b. Initialisation : pour n 0 0 : v 0 1 u 0 1 1 8

7 8 et

 

  7 8

2

 

  7 8

1 7

8 . La propriété est vraie pour n 0 0.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que v _p

 

  7 8

2

. Montrons que v _{p 1}

 

  7 8

2

. v _{p 1} ( ) ^v p

2

 

 

 

  7 8

2

2

 

  7 8

2

2

 

  7 8

2

Conclusion : pour tout n de , v n  

  7 8

2

.

c. 1 7

8 1 donc lim

n

 

  7 8

2

0, c'est-à-dire lim

n

v n 0.

Pour tout n de , v _n 1 u _n donc u _n 1 v _n . Alors lim

n

u _n 1.