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CONTROLE N°8 TS2.

Mercredi 11 mai 2016.

2 heures.

I. 4 points.

On pose z 1 3 i et z 2 1 i .

1. Ecrire z ₁ et z ₂ sous forme exponentielle.

2. Montrer que z 1

126 est un réel.

3. Ecrire sous forme exponentielle et sous forme algébrique z 1

z ₂ . 4. En déduire la valeur exacte de sin

 

  11

12 puis de sin

 

  11

12 .

II. 6 points

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O ; u ; v ) ; unité graphique 2 cm. On appelle A et B les points du plan d’affixes respectives a 1 et b – 1.

On considère l’application f qui, à tout point M différent du point B, d’affixe z, fait correspondre le point M ′ d’affixe z’ définie par : z’ =

1 1



 z z .

1. Déterminer les points invariants de f c'est-à-dire les points M d affixe z tels que z z . 2.

On admet que, pour tout nombre complexe z différent de 1, ( z ′–1)(z 1) 2.

a. En déduire une relation entre z ' 1 et z  1 , puis entre arg (z ′–1) et arg (z 1), pour tout nombre complexe z différent de – 1.

b. Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles (penser à utiliser A et B).

c. Montrer que si M appartient au cercle (C ) de centre B et de rayon 2 alors M ′ appartient au cercle (C’) de centre A et de rayon 1.

3. Soit D la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par A et la perpendiculaire à l axe des abscisses passant par B.

Soit M un point de .

a. Montrer que ( u AM ) a pour mesure

2 ou 3 2 . b. Que peut-on en déduire pour le point M ?

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III. 10 points

Une usine produit de l’eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à 6,5 mg par litre, on dit que l’eau de cette bouteille est très peu calcaire.

Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.

Partie A

L’eau minérale provient de deux sources, notées « source A » et « source B ».

La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A soit très peu calcaire est 0,17. La probabilité que l’eau d’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B soit très peu calcaire est 0,10.

La source A fournit 70 % de la production quotidienne totale des bouteilles d’eau et la source B le reste de cette production.

On prélève au hasard une bouteille d’eau dans la production totale de la journée. On considère les évènements suivants :

A : « La bouteille d’eau provient de la source A » B : « La bouteille d’eau provient de la source B »

S : « L’eau contenue dans la bouteille d’eau est très peu calcaire ».

1. Déterminer la probabilité de l’évènement A ∩ S .

2. Montrer que la probabilité de l’évènement S vaut 0, 149.

3. Calculer la probabilité que l’eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu’elle est très peu calcaire.

Partie B

On note X la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source A, associe le taux de calcium de l’eau qu’elle contient. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 8 et d’écart-type 1,6.

On note Y la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B, associe le taux de calcium qu’elle contient. On suppose que Y suit la loi normale de moyenne 9 et d’écart-type σ.

1. Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d’une journée de la source A soit compris entre 6, 4 mg et 9, 6 mg.

2. Calculer la probabilité p( X 6,5).

3. Déterminer σ sachant que la probabilité qu’une bouteille prélevée au hasard dans la production d’une journée de la source B contienne de l’eau très peu calcaire est 0,1.

Partie C

Une autre usine utilise de l’eau provenant d’une troisième source, notée « source C ». Le propriétaire de cette usine affirme : "20% de nos bouteilles contiennent de l’eau peu calcaire".

Afin de vérifier cette affirmation, on prélève au hasard 900 bouteilles à la sortie de cette usine. Parmi elles, 159 contiennent de l’eau peu calcaire. Peut-on faire confiance au propriétaire de cette usine ?

Partie D

La durée de vie, notée T, en années, d’une bouteille plastique suit une loi exponentielle de paramètre λ=0,05.

1. Déterminer la durée de vie moyenne d’une bouteille plastique.

2. Déterminer la probabilité qu’une bouteille plastique ait une durée de vie comprise entre 15 et 25 ans.

3. On trouve dans la nature une bouteille plastique ayant déjà 5 ans. Quelle est la probabilité que sa

durée de vie dépasse 11 ans ?