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CONTRÔLE N°2 TES2.

Vendredi 19 octobre 2018.

1h30.

I. Voici le tableau de variations d une fonction f.

x 4 1 1 2 4 5 8 f(x )

3 7

0 0 2 6 3

1. Déterminer le nombre de solutions de l équation f (x ) 1 dans l intervalle [ 4 8]. Justifier.

2. Donner le tableau de signes de f( x).

3. Donner le tableau de signes de f ( x).

II. f est la fonction définie sur par f (x ) 2x ² 3x 2.

1. Construire le tableau de signes de f( x).

2. Calculer f ( x).

3. Construire le tableau de variations de f.

III. Simplifier A 2 ²⁵ 2 ²⁴ .

IV. ( ) ^{u n} est la suite géométrique de premier terme u 0 24 et de raison 4.

1. Pour tout n de , exprimer u _n en fonction de n.

2. Montrer que u ₀ u ₁ u ₂ … u ₃₀ 8 ( ^{4 31 1 .} )

V. ( ) ^{u n} est la suite définie pour tout n de par

 

 u 0 3

u n 1 u n 4 . 1. Quelle est la nature de la suite ( ) ^{u n ?}

2. Pour tout n de , exprimer u n en fonction de n.

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VI. Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite ( ) ^{u n où u n} désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2018 n). En 2018, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

1. Montrer que la situation peut être modélisée par u 0 50 et pour tout entier naturel n par la relation : u n 1 0,95u n 3.

2.

a. Compléter l algorithme ci-dessous pour qu il détermine en quelle année le nombre d arbres dépassera 52 000.

N 0 U ……

Tant que U…….. 52 n …………

U …………

Fin Tant que nn+2018 Afficher n

b. A quoi sert la ligne nn 2018 ? 3. On donne l algorithme ci-dessous : U 50

Pour i allant de 1 à n U 0,95U+3 Fin Pour Afficher U

a. On fait tourner l algorithme avec n 3. Compléter le tableau suivant en utilisant le nombre de colonnes nécessaires. Arrondir au millième. Quel affichage obtient-t-on ?

i

U 50

b. Interpréter le nombre obtenu.

4. On considère la suite ( ) ^v n définie pour tout entier naturel n_ par : v _n u _n 60.

a. Montrer que la suite ( ) ^{v n} est une suite géométrique de raison 0,95. Préciser le premier terme de la suite ( ) ^v n .

b. Déterminer l’expression de v n en fonction de n puis démontrer que pour tout entier naturel n : u n 60 10 0,95 ⁿ .

5. Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2023. On donnera une valeur approchée arrondie à l’unité.

6. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^{u n .}

7. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{u n} . Interpréter.

8. A l aide de la calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’arbres de la forêt

aura dépassé de 10 % le nombre d’arbres de la forêt en 2018.

CORRECTION DU CONTRÔLE N°2 TES2

I.

1. Sur l intervalle [ 4 1], le minimum de f est 2 donc l équation f (x ) 1 n admet pas de solution.

Sur l intervalle [ 1;2], f est continue et strictement décroissante avec f( 1) 3, f (2) 6 et 1  [ 6 3]. Alors l équation f (x) 1 admet une unique solution dans [ 1 2].

De même, l équation f (x ) 1 admet une unique solution dans [2 5].

Sur l intervalle [5 8], le minimum de f est 3 donc l équation f( x) 1 n admet pas de solution.

Ainsi, l équation f (x ) 1 admet deux solutions dans l intervalle [ 4 8].

2. On peut construire le tableau de signes suivant : x −4 1 4 8 f( x)

3. On obtient le signe de f ( x) en utilisant les variations de f. On peut construire le tableau suivant : x 4 1 2 5 8

signe de f ( x)

II. f est la fonction définie sur par f (x ) 2x ² 3x 2.

1. 3² 4 ( 2) 2 25 donc le trinôme a deux racines qui sont x 1

3 25

2 ( 2) 2 et x 2

3 25

2 ( 2)

1

2 et il est du signe de a 2 0 sauf entre ces racines.

On a donc le tableau de signes suivant : x 1

2 2 + signe de f( x)

2. f (x) 4 x 3.

3. f est une fonction affine.

On peut construire le tableau suivant :

x 3/4 +

signe de f ( x) −4 x 3 0 pour x 3/4

f  

  3

4 2

 

  3 4 ² 3

 

  3

4 2 25

8

variations de f 25/8

III. A 2 ²⁵ 2 ²⁴ 2 ²⁴ (2 1) 2 ²⁴ 1 2 ²⁴ . IV.

1. Pour tout n de , u n u 0 q ⁿ 24 4 ⁿ . 2. u 0 u 1 u 2 … u 30 u 0 1 q n 1

1 q 24 1 4 ³¹

1 4 24 1 4 ³¹ 3 24 4 ³¹ 1

3

24 ( ^{4 31 1} )

3 8 ( ^{4 31 1 .} )

V.

1. ( ) ^{u n} est arithmétique de raison 4.

2. Pour tout n de , u _n u ₀ n r 3 4n .

VI.

1. 50 000 50 milliers donc u 0 50.

Baisser de 5% revient à multiplier par 0,95 et augmenter le nombre d arbres de 3 000 revient à augmenter u _n de 3 puisque l unité est le millier.

Ainsi, pour tout n de , u _{n 1} 0,95u _n 3.

2.

a.

N 0 U 50

Tant que U 52 n n 1 U0,95U 3 Fin Tant que nn+2018 Afficher n

b. La valeur de n obtenue correspond au rang de l année cherchée.

La ligne nn 2018 sert à déterminer l année.

3.

U 50

Pour i allant de 1 à n U 0,95U+3 Fin Pour Afficher U

a.

i 1 2 3

U 50 50,5 50,975 51,426

b. U 3 51,426. En 2021, il y a 51 426 arbres dans la forêt.

4. On considère la suite ( ) ^{v n} définie pour tout entier naturel n_ par : v n u n 60.

a. Soit n un entier naturel.

v n 1 u n 1 60 0,95 u n 3 60 0,95 u n 57 0,95

 

  u n

57

0,95 0,95 ( ^{u n 60} ) ^{0,95v n .}

La suite ( ) ^{v n} est donc géométrique de raison 0,95 et de 1 ^er terme v ₀ u ₀ 60 50 60 10.

b. Soit n un entier naturel.

( ) ^{v n} est géométrique donc, pour tout n de , v n v 0 q ⁿ 10 0,95 ⁿ . v n u n 60 donc u n v n 60 10 0,95 ⁿ 60 60 10 0,95 ⁿ .

5. 2023 correspond à n 5. u 5 60 10 0,95 ⁵ 52,262. En 2023, la forêt comptera 52 262 arbres.

6. Soit n un entier naturel.

u n 1 u n 0,95u n 3 u n 3 0,05u n 3 0,05 ( 60 10 0,95 ⁿ ) 3 3 0,5 0,95 ⁿ 0,5 0,95 ⁿ 0 La suite ( ) ^{u n} est donc croissante.

7. 1 0,95 1 donc lim

n

0,95 ⁿ 0 donc lim

n

10 0,95 ⁿ 0 odnc lim

n

u n 60.

A long terme, le nombre d arbres de la forêt se rapprochera de 60 000.

8. 50 000 1,1 55 000.

A la calculatrice, on remarque que u 13 55 et u 14 55. C est donc à partir de 2032 que le nombre

d arbres de la forêt aura dépassé de 10% le nombre d arbres de 2018.