Baisser de 5% revient à multiplier par 0,95 et augmenter le nombre d arbres de 3 000 revient à augmenter u

CORRECTION DE L EXERCICE 12 DE LA FICHE ET DE L EXERCICE 129 PAGE167 A FAIRE POUR MARDI 24 MARS

Exercice 12 :

Attention aux unités ! on est en milliers d arbres.

1. 50 000 50 milliers donc u

0

50.

Baisser de 5% revient à multiplier par 0,95 et augmenter le nombre d arbres de 3 000 revient à augmenter u

_n

de 3 puisque l unité est le millier.

Ainsi, pour tout n de , u

n 1

0,95u

n

3.

2.

a.

N 0 U 50

Tant que U

52

n n 1 U0,95U 3 Fin Tant que nn+2018 Afficher n

b. La valeur de n obtenue correspond au rang de l année cherchée.

La ligne nn 2018 sert à déterminer l année.

3.

U 50

Pour i allant de 1 à n U 0,95U+3 Fin Pour Afficher U

a.

i 1 2 3

U 50 50,5 50,975 51,426

b. U

3

51,426. En 2021, il y aura 51 426 arbres dans la forêt.

4. On considère la suite ( ) ^v

ⁿ

définie pour tout entier naturel n par : v

n

u

n

60.

a. Soit n un entier naturel.

v

n 1

u

n 1

60 0,95u

n

3 60 0,95u

n

57 0,95





u

n 57

0,95

0,95 ( ^u

ⁿ

⁶⁰ ) ^0,95v

ⁿ

^.

La suite ( ) ^v

ⁿ

est donc géométrique de raison 0,95 et de 1

^er

terme v

0

u

0

60 50 60 10.

b. Soit n un entier naturel.

( ) ^v

ⁿ

est géométrique donc, pour tout n de , v

n

v

0

q

ⁿ

10 0,95

ⁿ

. v

n

u

n

60 donc u

n

v

n

60 10 0,95

ⁿ

60 60 10 0,95

ⁿ

.

5. 2023 correspond à n 5. u

5

60 10 0,95

⁵

52,262. En 2023, la forêt comptera 52 262 arbres.

6. 50 000 1,1 55 000.

A la calculatrice, on remarque que u

13

55 et u

14

55. C est donc à partir de 2032 que le nombre

d arbres de la forêt aura dépassé de 10% le nombre d arbres de 2018.

Exercice 129 page 166. Un peu plus dur.

1. u

1

1 : il y a un seul disque à déplacer, on le déplace en une fois.

u

2

3 : il y a deux disques à déplacer. On déplace celui du haut (le petit sur la pique du milieu), puis le grand sur la pique de droite (on ne peut pas le mettre sur le plus petit) puis le petit sur le grand.

2. . Pour déplacer une tour de trois étages, il faut déplacer les deux étages « du dessus » vers une tige, en trois déplacements (d après u

2

). Il faut ensuite déplacer la plus grosse pièce, puis il faut

déplacer une deuxième fois, en trois étapes (d après u

2

encore), les deux premiers étages sur la pièce la plus grosse. Au total, cela fait sept déplacements . Ainsi, u

3

7.

3. Soit n . Pour déplacer (n 1) disques, il faut déplacer les n étages du dessus vers une tige, en u

n

étapes. Il faut ensuite déplacer la plus grosse pièce, puis il faut déplacer une deuxième fois, en u

n

étapes, les n premiers étages sur la pièce la plus grosse. Au total, cela fait u

n

1 u

n

2u

n

1 déplacements . Ainsi, u

n 1

2 u

n

1.

4. ( ) ^u

ⁿ

est donc une suite arithmético-géométrique (pour passer d un terme au suivant, on multiplie par 2 et on ajoute 1). Pour répondre aux questions suivantes, on utilise la méthode vue dans l exercice 128 et dans la fiche "méthode pour l étude d une suite arithmético géométrique"

a. Soit n *. On pose v

_n

u

_n

1.

v

_{n 1}

u

_{n 1}

1 on remplace n par n 1 dans la définition de v

_n

v

_{n 1}

2u

_n

1 1 on remplace u

_{n 1}

par sa définition

v

_{n 1}

2u

_n

2 on calcule

v

n 1

2 ( ^u

ⁿ

¹ ) on met en facteur le "nombre devant u

n

" pour retrouver la définition de v

n

v

n 1

2v

n

on remplace u

n

1 par v

n

b. On a, pour tout n de , v

n 1

2v

n

. La suite ( ) ^v

ⁿ

est donc géométrique de raison 2.

On calcule son premier terme : ici ce n est pas v

0

mais v

1

car n 1 (d après le contexte, n est le nombre de disques donc n 0 n aurait pas de sens). Pour calculer v

1

on utilise la définition v

n un

1 et la valeur de u

1

que l on a trouvée dans la première question.

v

1

u

1

1 1 1 2

Donc ( ) ^v

ⁿ

est géométrique de raison 2 et de premier terme v

1

2.

c. ( )

^vn

est géométrique et on ne connaît pas v

0

mais v

1

donc on utilise la formule v

n vp q^{n p}

avec p 1.

Soit n * :

v

n

v

1

q

^{n 1}

2 2

^{n 1}

2

ⁿ

.

Pour exprimer u

n

en fonction de n, on ne peut pas utiliser de formule du cours car ( )

^un

n est ni géométrique ni arithmétique. On utilise donc la formule de l énoncé reliant u

n

et v

n

: v

n un

1.

v

n

u

n

1 donc u

n

v

n

1 et on vient de voir que v

n

2

ⁿ

donc u

n

2

ⁿ

1

5. Avec une tour de 10 disques : il faudra u

₁₀

2

¹⁰

1 1023 déplacements. Chaque déplacement durant 1 seconde, il faudra 1023 secondes, soit 17 minutes et 3 secondes.

1023

60 17,05 donc il y a 17 minutes entières.

17 60 1020 et 1023 1020 3 donc il reste en plus 3 secondes.

Avec une tour de 64 disques, il faudra u

₆₄

2

⁶⁴

1 déplacement donc 2

⁶⁴

1 secondes.

2

⁶⁴

1

60 60 24 365 5,85 10

¹¹

. Il faudra donc environ 585 milliards d années (sans tenir compte

des années bissextiles).