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DEVOIR A LA MAISON N°13. TS2.

Pour le jeudi 5 février 2018.

I. D après bac.

Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L’ouverture du mur

d’enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué de deux vantaux de largeur a telle que 0 a 2.

Dans le modèle choisi, le portail fermé a la forme illustrée par la figure ci-contre. Les côtés[AD] et [BC] sont

perpendiculaires au seuil [CD] du portail. Entre les points A et B, le haut des vantaux a la forme d’une portion de courbe.

Cette portion de courbe est une partie de la représentation graphique de la fonction f définie sur [−2 2] par : f( x) b

8 ( ^e

^e

) ⁹

4 où b 0.

Le repère est choisi de façon que les points A, B, C et D aient pour coordonnées respectives (−a ; f (−a)), (a ; f (a)), (a ; 0) et (−a ; 0) et on note S le sommet de la courbe de f , comme illustré ci-contre.

Partie A

1. Montrer que, pour tout réel x appartenant à l’intervalle [−2 ; 2], f ( x) f (x). Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction f ?

2. On appelle f

la fonction dérivée de la fonction f . Montrer que, pour tout réel x de l’intervalle [−2 ; 2] : f ( x) 1

8 ( ^e

^e

)

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [−2 ; 2] et en déduire les coordonnées du point S en fonction de b.

Partie B

La hauteur du mur est de 1,5 m. On souhaite que le point S soit à 2 m du sol. On cherche alors les valeurs de a et b.

1. Justifier que b =1.

2. Montrer que l’équation f (x) = 1,5 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 2] et en déduire une valeur approchée de a au centième.

Partie C

On conserve les valeurs a =1,8 et b =1.

Pour découper les vantaux, le fabricant prédécoupe des planches. Il a le choix entre deux formes de planches prédécoupées : soit un rectangle OCES, soit un trapèze OCHG comme dans les schémas ci-dessous. Dans la deuxième méthode, la droite (GH) est la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point F d’abscisse 1.

Forme 1 : découpe dans un rectangle Forme 2 : découpe dans un trapèze

La forme 1 est la plus simple, mais visuellement la forme 2 semble plus économique (moins de perte de bois). Évaluer l’économie réalisée en termes de surface de bois en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1.

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O

S E

B

C vantail

O S G

H B

C vantail

A S

B

II. Vers la prépa.

Partie A.

On considère l équation différentielle ( ) ^E

^{: y ay} d inconnue y où a est un réel constant et y une fonction dérivable sur .

1. Soit C un réel et y la fonction définie sur par f( x) Ce

. Montrer que y est solution de ( ) ^E

^.

2. Soit y une solution de ( ) ^E

. Pour tout x de , on pose z (x ) e

y( x).

a. Montrer que z est une fonction constante sur .

b. En déduire qu il existe une constante réelle C telle que pour tout x de , y (x ) Ce

. 3. En utilisant les questions 1 et 2, expliquer l affirmation suivante : "les solutions de l équation différentielle ( ) ^E

sont les fonctions y définies sur par y (x ) Ce

, où C est une constante réelle."

Partie B.

On considère l équation différentielle ( ) ^E

: y ay b d inconnue y où a et b sont des réels constants et y une fonction dérivable sur .

1. Montrer que la fonction constante définie sur par h (x ) b

a est une solution de ( ) ^E

^.

2.

a. Soit f une solution de ( ) ^E

. Montrer que la fonction g définie sur par g (x ) f( x) h( x) est une solution de l équation différentielle ( ) ^E

définie dans la partie A.

b. En utilisant la partie A, montrer (en deux parties) que les solutions de l équation ( ) ^E

^{sont les}

fonctions f définies sur par f( x) Ce

b

a où C est une constante réelle.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°13. TS2

I. D après bac.

Partie A

1. Soit x un réel appartenant à l’intervalle [−2 ; 2].

f ( x) b

8 ( ^e

^e

) ⁹

4 f( x). La courbe représentative de la fonction f est donc symétrique par rapport à l axe des ordonnées.

2. f est dérivable sur l intervalle [ 2 2]. Soit x un réel appartenant à l’intervalle [−2 ; 2].

f ( x) b 8

 1

b

e

x

b 1

b

e

x

b

1

8 ( ^e

^e

)

3. ( ^e

^e

) ^{0  e}

^e

^{ x}

b

x

b  x x car b 0  x 0

De même, ( ^e

^e

) ^{0  x 0.}

On peut donc dresser le tableau de variation ci-dessous : x 2 0 2

1 8

( ^e

^e

)

f (x )

f (x ) 9 b

4

f ( 2) f(2) Les coordonnées du point S sont donc





0

4

. Partie B

1. S est à 2m du sol donc 9 b

4 2

donc 9 b 8 donc b 1

2. b 1 donc pour tout x de l intervalle [ 2 2], f (x ) 1

8 ( ^e

^e

) ⁹

4

Sur [0 2], la fonction est continue et strictement décroissante, f (0) 2, f (2) 1,3 et 1,5 [f (2);f (0)]

donc l’équation f (x) = 1,5 admet une unique solution sur l’intervalle [0 ; 2].

f(a ) est la hauteur du portail donc a est la solution de l équation f ( x) 1,5 contenue dans [0 2].

f(1,762) 1,5 et f (1,763) 1,5 donc a 1,76.

Partie C

OC OS 2 1,8 3,6. L aire du rectangle OC ES est 3,6m ².

Cal culons l ai re du t rapèz e OCHG . (GH) a pour équation y f (1)(x 1) f (1)

G a alors pour coordonnées (0 f (1) f (1)) (en remplaçant x par 0 dans l équation ci-dessus) et on a donc OG f(1) f (1) 2,158

H a pour coordonnées (1 0,8f (1) f (1)) (en remplaçant x par 1,8 dans l équation ci-dessus) et on a donc CH 0,8f (1) f (1) 1,629

(2,158 1,269) 1,8

2 3,41. L aire du trapèze OCH G est environ 3,4 m².

3,6 3,4 0,2. En choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1, on économise environ 0,2m² de bois par

vantail, soit 0,4m² pour le portail.

II. Vers la prépa.

Partie A. Étude de ( ) ^E

^{: y a y.}

1. Soit C un réel et y la fonction définie sur par y( x) Ce

.

y est dérivable sur . Pour tout réel x, y (x ) Cae

ay (x ) donc y est solution de ( ) ^E

^.

2. Soit y une solution de ( ) ^E

. Pour tout x de , on pose z (x ) e

y( x).

a. z est dérivable sur . Pour tout réel x, on a z ( x) a e

y (x ) e

y ( x) Or y est une solution de ( ) ^E

donc, pour tout x de , y (x ) a y(x ).

Alors, pour tout x de , z (x) a e

y (x) e

ay ( x) 0 z est donc une fonction constante sur .

b. z est une fonction constante sur donc il existe un réel C tel que, pour tout x de , z( x) C, c'est-à-dire e

y( x) C ou encore y( x) Ce

.

3. D après la question 1, les fonctions y définies sur par y( x) Ce

, où C est une constante réelle sont solutions de ( ) ^E

^.

D après la question 2, les solutions de ( ) ^E

sont des fonctions définies sur par y( x) Ce

, où C est une constante réelle.

On peut donc en conclure que les solutions de l équation différentielle ( ) ^E

sont les fonctions y définies sur par y(x ) Ce

, où C est une constante réelle.

Partie B. Étude de ( ) ^E

^{: y a y b .}

1. Soit h la fonction constante définie sur par h (x ) b a h est dérivable sur et, pour tout réel x, h ( x) 0.

D autre part, pour tout x de , ah (x ) b a



 b

a

b 0

Alors, pour tout x de , h ( x) ah ( x) b. h est donc une solution de ( ) ^E

^.

2.

a. Soit f une solution de ( ) ^E

et soit g définie sur par g ( x) f (x ) h (x ).

f et h sont dérivables sur donc g est dérivable sur .

Pour tout réel x, g ( x) f (x ) h (x ) af ( x) b 0 car f solution de ( ) ^E

et h est la fonction nulle D autre part, pour tout réel x, ag (x ) a (f (x ) h (x)) a





f (x )

a

af (x ) b Alors, pour tout réel x, g (x ) ag ( x).

g est donc une solution de l équation différentielle ( ) ^E

^{: y ay.}

b.

 soit f définie sur par f(

x) Ce

b

a où C est une constante réelle.

f est dérivable sur . Pour tout réel x, f (x ) Cae

. D autre part, pour tout x de , af ( x) b a



 Ce^{(ax) b}

a

b aCe

f ( x).

f est donc solution de ( ) ^E

^.

 Soit f une fonction dérivable sur , solution de

( ) ^E

^.

Soit h la fonction définie sur par h( x) b a . D après la question a, f h est solution de ( ) ^E

.

D après la question 1, il existe un réel C tel que, pour tout x de , f(x ) h( x) Ce

, c'est-à-dire f( x) Ce

h( x) Ce

b

a .



Conclusi on : les solutions de l équation ( ) ^E

sont les fonctions f définies sur par f( x) Ce

b

a où C est une constante réelle.