TOURNER LA PAGE !!!!

CONTROLE N°7 TS2.

Mercredi 23 mars 2016.

2 heures.

I. Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par f( x) (1 x) e

. Le plan est rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.

1. Justifier que f( x) 0 pour x 1.

2. On note (I

) la suite définie pour tout entier naturel n par : I

=  

1

n

f (x )dx . Montrer que la suite ( I

) est croissante.

II. g est la fonction définie sur par g (x ) ( 6x 6)(x ² 2x 1)

. Déterminer la primitive de g sur qui vaut 1 pour x 0.

III. Pour tout n de , f

est la fonction définie sur [0 1] par f

( x) x

e

et C

est la courbe de la fonction f

dans un repère.

( ) ^u

est la suite définie pour tout n de par u

  dx .

On a tracé ci-contre les courbes C

; C

; C

; C

; C

et C

.

1. Calculer u

.

2. A l aide du graphique, conjecturer le signe et le sens de variation de la suite ( ) ^I

. Expliquer.

3. Démontrer vos conjectures. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite ( ) ^I

^?

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IV. Une municipalité a décidé d’installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-dessous en fournit une perspective cavalière.

Les quadrilatères OAD′D, DD′C′C, et OAB′B sont des rectangles.

Le plan de face (OBD) est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).

L’unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD′ = 10, sa longueur OD est de 20 mètres.

Le but du problème est de déterminer l’aire des différentes surfaces à peindre.

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d’une photo par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 20] par

f( x) ( x 1)ln( x 1) 3 x 7

On note f la fonction dérivée de la fonction f et C la courbe représentative de la fonction f dans le repère

(O, I, J).

Partie 1

1. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 20], on a f ( x) ln(x 1) 2.

2. En déduire les variations de f sur l’intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variation.

3. Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.

4. Montrer que la fonction G définie sur l’intervalle [0 ; 20] par G (x ) 1

2 (x 1)²ln(x 1) 1 4 x² 1

2 x est une primitive de la fonction g définie sur [0 ; 20] par g ( x) (x 1)ln(x 1).

5. Déterminer une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].

Partie 2 Bonus.

1. On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d’une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m² par litre. Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.

2. Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

a. La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.

b. L’inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu’en C.

CORRECTION DU CONTROLE N°7 TS2.

I. Soit f une fonction définie pour tout nombre réel x par f( x) (1 x) e

. Le plan est rapporté à un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.

1. Soit x 1, alors 1 x 0 et e

0 donc f(x ) 0.

2. Soit n un entier naturel. I

I

 

1 n 1

f( x)dx  

1

n

f( x)dx

f étant positive sur [1 n 1],  

1 n 1

f (x )dx est l aire du domaine compris entre l axe des abscisses, la courbe de f et les droites d équations x 1e t x n 1.

De même,  

1

n

f (x )dx est l aire du domaine compris entre l axe des abscisses, la courbe de f et les droites d équations x 1e t x n .

Alors I

I

 

1 n 1

f( x)dx  

1

n

f( x)dx est l aire du domaine compris entre l axe des abscisses, la

courbe de f et les droites d équations x n et x n 1 : I

I

 

n n 1

f (x )dx .

f étant positive sur [n n 1] (car n 1 n 1), I

I

0. La suite ( ) ^I

est donc croissante.

II. g est la fonction définie sur par g (x ) ( 6x 6)(x ² 2x 1)

3(2x 2)(x ² 2x 1)

. g est de la forme 3 u u

avec u( x) x ² 2x 1 ; u ( x) 2x 2 et n 4.

Les primitives de g sont les fonctions définies par G( x) 3 1

5 (x ² 2x 1)

k, où k est un réel.

G(0) 1  3

5 1 k 1  k 8

5 .

La primitive de g sur qui vaut 1 pour x 0 est définie par G (x) 3

5 (x ² 2x 1)

8 5 . III. On a tracé ci-contre les courbes C

; C

; C

; C

; C

et C

.

1. u

 

0 1

e

dx

 

  e

0 1

e

e

1 1 e .

2. Les courbes étant toutes au-dessus de l axe des abscisses, la suite ( ) ^I

semble positive.

Les aires des domaines délimités par l axe des abscisses, les courbes des fonctions f

et les droites d équations x 0 et x 1 semblent de plus en plus petite : il semble que la suite ( ) ^I

^soit

décroissante.

3. Soit n un entier naturel.

Pour tout x compris entre 0 et 1, x

e

0 donc I

0.

Pour tout x compris entre 0 et 1 : x

x

et e

0 donc x

e

x

e

donc  

0

1

x

e

dx  

0

1

x

e

dx donc I

I

.

La suite ( ) ^I

est décroissante.

La suite ( ) ^I

est décroissante et minorée par 0 donc elle converge.

IV.

On note I l intervalle [0 20].

Partie 1

1. f est dérivable sur I. f ( x) 1ln( x 1) x 1

x 1 3 ln( x 1) 2.

2. ln(x 1) 2 0  x 1 e

 x e

1 6,4.

Ainsi f est décroissante sur [ ^{0 e}

1 et croissante sur ] [ ^e

^{1 20 .} ]

3. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 est f (0) ln(1) 2 2.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l’inclinaison du module de skateboard au point B.

4. G est dérivable sur I.

G ( x) 2 1( x 1)ln( x 1) (x 1)

x 1 ) 1

2 x 1

2 (on utilise ( ) ^u

et (uv) ) ( x 1)ln( x 1) 1

2 (x 1) 1 2 x 1

2 (x 1)ln( x 1) g (x ) Donc G est une primitive de la fonction g sur I.

5. La fonction F définie sur I par F (x) G (x ) 3

2 x

7 x = 1

2 (x 1)²ln(x 1) 7

4 x²

x est une primitive de f sur I.

Partie 2

Les deux questions de cette partie sont indépendantes.

1. OB f(0) 7 donc l aire du rectangle OBB A est 7 10 70 m².

DC f (20) 21l n(21) 53 donc l aire du rectangle DD C C est 210ln(21) 530 m².

Aire des faces ODC B et D C B A :

 

0

20

f( x)dx F (20) F(0) 441ln (21)

2 5 70 m².

L aire à recouvrir est, en m², : 70 210ln(21) 530 2

 

 

2

570 soit environ 381,98 m ².

381,98

5 76,3. Il faut donc 77 litres de peinture.

2.

a. Hauteur du point le plus bas : f ( ^e

¹ ) ^2,6

Hauteur du point le plus haut : f (20) 10,9 10,9 2,6 8 donc la proposition est vraie.

b. Inclinaison de la piste en B : | ^{f (0)} | | | ^{2 2.}

Inclinaison de la piste en C : | ^{f (20)} | | ^{ln(21) 2} | ^1,04

La proposition est vraie.