TOURNER LA PAGE

CONTROLE N°6 TS1.

Mercredi 15 février 2017.

2 heures.

Soigner la rédaction et la présentation !!!!

I. Construire les tableaux de signes des expressions suivantes.

1. f( x) e

^x²

1.

2. 3xe

^x

3 x

3. e

^2x

5e

^x

6 (Poser X e

^x

)

II. a et b sont deux réels et f est la fonction définie sur par f( x) a be

^x

.

On sait que la courbe de la fonction f dans un repère orthonormal passe par le point A (0 3) et a pour asymptote la droite d équation y 1. Déterminer les valeurs de a et b.

III. g est la fonction définie sur par g (x ) e

^x

x 1 et f est la fonction définie sur par f( x) e

^2x

2xe

^x

6.

1. Construire le tableau de variation de la fonction g sur . On ne demande pas les limites.

2. Déterminer les limites de f( x) en et + . Détailler.

3. Montrer que pour tout réel x, f ( x) 2e

^x

g (x ).

4. Construire le tableau de variation de la fonction f.

5. Donner suivant les valeurs du réel k le nombre de points d intersection de la courbe de f et de la droite d équation y k.

6. Donner suivant les valeurs du réel k le nombre de points d intersection de la courbe de f et de la droite d équation x k.

IV. ABCDEFGH IJ est un prisme droit : les faces latérales sont des rectangles, les plans (HGI ) et (ABC ) sont parallèles.

K est un point du segment [ AB].

1. Déterminer et construire l intersection des plans (FKC ) et (HBC). Justifier.

2. Montrer que la droite (JE) est orthogonale à la droite ( CD ).

3. Déterminer et construire l intersection des plans (DKI ) et (GHI). Justifier.

V. On place dans un four chauffé à 180°C un gâteau à température ambiante (20°C). On admet que la température du gâteau à l’instant t est donnée par la fonction f définie sur + par f( t) 180 ke

^t

où k et sont des réels. t étant en minutes, et f( t) en °C.

1. En utilisant la température initiale du gâteau, déterminer k.

2. On constate qu au bout de 20 minutes, la température du gâteau a doublé (et est donc 40°C). En déduire que ln(0,875)

20 (Rappel : e

^x

y  x ln( y))

Pour la sui te, on adm et que f est définie sur + par f (t) 180 160 e

^0,0067t

. 3. Déterminer la limite de f en + . Interpréter.

4. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

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VI. Construire les tableaux de signes des expressions suivantes.

4. Voir DM. Attention : x² 0 pour tout x de , pas seulement pour x 0 !!!!!

5. 3xe

^x

3 x 3 x ( ^e

^x

1 . On a le tableau de signes : )

x 0 +

e

^x

1 0  e

^x

1  x 0

3x +

e

^x

1 +

3 x ( ^e

^x

¹ ) ^{+ +}

6. On pose X e

^x

e

^2x

5 e

^x

6 0  ( ) ^e

^{x 2}

^{5 e}

^x

^{6 0} _ ^{  X² 5} _{X e} ^X

x

^{6 0}

Résolution de X² 5 X 6 0 : 1 donc le trinôme a deux racines qui sont 2 et 3 et il est positif sauf entre ces racines. On a donc

e

^2x

5 e

^x

6 0 

 

 X 2 ou X 3

X e

^x

 e

^x

2 ou e

^x

3  x ln(2) ou x ln(3). On a donc le tableau de signes :

x ln(2) ln(3) +

e

^2x

5 e

^x

6 +

VII. a et b sont deux réels et f est la fonction définie sur par f( x) a be

^x

. La droite d équation y 1 est asymptote à la courbe de f en + donc lim

x

f (x ) 1.

Or lim

x

e

^x

lim

x

1

e

^x

0 donc lim

x

f (x ) a. Ainsi a 1.

La courbe de f passe par A(0 3) donc f(0) 3, c'est-à-dire a b 3. Or a 1,, donc b 2.

Ainsi f est définie sur par f (x ) 1 2e

^x

.

VIII. g est la fonction définie sur par g (x ) e

^x

x 1 et f est la fonction définie sur par f( x) e

^2x

2xe

^x

6.

7. g est dérivable sur . g (x) e

^x

1.

e

^x

1 0  e

^x

1  x 0 On a donc le tableau de signes et variation : x 0 +

g(0) e

⁰

0 1 1 1 0

e

^x

1 +

g

0 8. lim

x

2 x et lim

X

e

^X

0 donc lim

x

e

^2x

0 lim

x

xe

^x

0 d après le cours

En , on a une forme indéterminée.

Pour tout réel x, f (x) e

^2x

 

  1 ^{2 x}

e

^x

6 e

^2x

lim

x

x

e

^x

lim

x

1 e

^x

x

0 d après le cours

lim

x

e

^2x

donc lim

x

⁶ e

^2x

0

et lim

x

e

^2x

lim

x

 

  1 ^{2 x}

e

^x

6

e

^2x

1

li m

x

f( x) Alors lim

x

f (x) 6.

9. f est dérivable sur . e

^2x

2xe

^x

6

f ( x) 2e

^2x

( ^{2 e}

^x

^2xe

^x

) ^{2 e}

^2x

^2e

^x

^{2 xe}

^x

^2e

^x

( ^e

^x

^{1 x} ) ^2e

^x

^{g (x )}

10. Le minimum de g sur est 0, atteint uniquement pour x 0 (voir question 1). On peut donc construire le tableau de signes et variations suivant :

x 0 +

2e

^x

+ +

g(x ) + +

f (x ) + +

f +

6

11. Si k 6 : l équation f (x ) k n a pas de solution dans donc la courbe de f ne coupe pas la droite d équation y k.

Si k 6 : f est continue et strictement croissante sur avec lim

x

f( x) 6, lim

x

f( x) et k] 6;+ [ donc l équation f(x ) k admet une unique solution dans : la courbe de f et la droite d équation y k ont un unique point d intersection.

12. La fonction f est définie sur , donc quel que soit le réel k, la courbe de f et la droite d équation x k ont un unique point d intersection, de coordonnées (k f ( k)).

IX. Sur la figure au dos de la feuille, ABC DEFGHIJ est un prisme droit : les faces latérales sont des rectangles, les plans (HGI ) et (ABC ) sont parallèles.

K est un point du segment [ AB].

4. Les plans (FKC ) et (HBC ) ne sont pas parallèles donc leur intersection est une droite .

C est un point de (FKC ) et de (HBC) donc C est un point de .

Les droites (FK ) et (GB ) sont coplanaires dans le plan (ABG) et non parallèles donc elles sont sécantes en un point L.

L est un point de (FK ) donc L est un point de (FKC ).

L est un point de (GB ), qui est contenue dans ( HBC) donc L est un point de (HBC ).

L est donc un point de . est donc la droite ( C L).

L

5. (JE) est orthogonale aux deux droites sécantes ( AE) et ( ED) donc (JE ) est orthogonale au plan (AED) qui contient ces deux droites.

(JE ) est donc orthogonale à toutes les droites du plan (AED), et en particulier à la droite ( C D) 6. Les plans (DKI ) et (GHI ) ne sont pas parallèles donc leur intersection est une droite

I est un point de ( DKI ) et de (GHI) donc I est un point de .

Le plan (DK I) coupe le plan ( ABC) selon la droite ( DK ) (DK I ) coupe (GHI ) selon une (ABC) et ( GHI) sont parallèles droite parallèle à ( DK ).

est donc la parallèle à (DK ) passant par I.

X. On place dans un four chauffé à 180°C un gâteau à température ambiante (20°C). On admet que la température en °C du gâteau après t minutes est donnée par la fonction f définie sur [0 [ par

f( t) 180 ke

^t

où k et sont des réels. t étant en minutes, et f( t) en °C.

5. La température initiale du gâteau est 20°C donc f (0) 20.

f(0) 20  180 ke

⁰

20  180 k 20 k 160.

On a donc k 160.

6. f(20) 4 0  180 160e

²⁰

40  e

²⁰

140

160 0,875  20 ln(0,875)  ln(0,875)

20 Ainsi, ln(0,875)

20 .

Pour la suite, on admet que f est définie sur + par f (t ) 180 160e

^0,0067t

. 7. lim

t

0,0067t et lim

T

e

^T

0 donc lim

t

e

^0,0067t

0 et donc lim

t

f( t) 180.

A long terme, la température se rapproche de 180°C.

8. f est dérivable sur [0 [ ( f n est pas défi nie sur ] 0[ car le nombre t de minutes ne peut être négatif)

f ( t) 160 ( 0,0067t )e

^0,0067t

1,072e

^0,0067t

0.

On a donc le tableau de signes et variation : x 0 +

f (x ) +

f 180

20

La température augmente à partir du moment où on enfourne le gâteau, pour tendre vers 180°C, sans

jamais les atteindre.