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CONTRÔLE N°4 Seconde 6.

Le jeudi 19 décembre 2019.

1 heure CALCULATRICE INTERDITE.

I. Voici la courbe d une fonction f :

1. Compléter (pour les questions d, e et f, il peut ne pas y avoir d antécédent ou n y en avoir qu un.

Dans ce cas, le préciser)

a. L ensemble de définition de f est ………..

b. L image par f de 2 est …………..

c. f (3) ………..

d. Les antécédents par f de 1 sont ……….

e. Les antécédents par f de 2 sont ……….

f. Les antécédents par f de 4 sont ……….

2. Résoudre graphiquement l équation f (x ) 1.

3. Résoudre graphiquement l inéquation f (x ) 2.

4. Résoudre graphiquement l inéquation f (x ) 0.

5. Construire le tableau de signes de f( x).

II. Soient f la fonction définie par f ( x) ( x 1)(x 3) et g la fonction définie par g( x) x² 1.

1. Déterminer l image par f de 4.

2. Le point A(4 6) appartient-il à la courbe de f ? 3. Déterminer f ( 2).

4. Déterminer le ou les antécédents par g de 10.

5. Déterminer le ou les antécédents par g de 9.

6. Déterminer l ordonnée du point de la courbe de f d abscisse 4.

7. Déterminer les coordonnées du ou des points d intersection de la courbe de f et de l axe des abscisses.

8. Déterminer les coordonnées du ou des points d intersection de la courbe de f et de la courbe de g.

III. Traduire les phrases suivantes à l’aide d’égalités de la forme f (…) … : (on peut s’aider de schémas).

1. 3 est l’image par la fonction f de  1

2. La courbe de la fonction f coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisse 2 et 5.

3. Un antécédent de 4 par la fonction f est 3.

4. La courbe de la fonction f passe par le point A(2 3).

IV. Tracer une courbe pouvant représenter une fonction f telle que :

 Son ensemble de définition est [ 5 4].

  4 et 4 ont la même image : 3.

 3 est un antécédent de 2 par f.

 f( 2) 1

 f (x ) −3 a pour unique solution 0

 f (x ) 0 a pour ensemble de solutions ]−5;−1[ ]2;4].

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V. L'unité est le cm. Soit ABCD un carré de côté 5.

E est un point de [ AB] et AEFG et FICH sont des carrés.

On pose AE x et on note A( x) l aire de la partie colorée.

1. Quel est l'ensemble de définition de A ? 2. Montrer que A( x) 2 x² 10x 25.

3. Calculer A (1). Interpréter par une phrase.

4. Tracer sur votre calculatrice la courbe représentative de A en

choisissant x

1 ; x

6 ; y

12 ; y

40. Recopier sur votre copie l allure de la courbe.

VI. Bonus.

1. Soit f la fonction définie par f( x) x 2

x 3 . Donner l ensemble de définition de f.

2. Soit g la fonction définie par f( x) 2 x 8 . Donner l ensemble de définition de f.

CORRECTION DU CONTRÔLE N°5 seconde 6

I.

1.

a. L ensemble de définition de f est [ 4 4].

b. L image par f de 2 est 1 c. f (3) 0

d. Les antécédents par f de 1 sont 3 et 2 e. L antécédent par f de 2 est 4

f. 4 n a pas d antécédent par f.

2. f( x) 1 : Les solutions semblent être 4 et 3,7.

3. f( x) 2 : L ensemble des solutions semble être [ 2,5 0]

4. f (x ) 0 : L ensemble des solutions semble être ] 4 3,5] ]3 4]

5. Voici le tableau de signes de f( x) : x 4 3,5 3 4 f( x)

II. Soient f la fonction définie par f ( x) ( x 1)(x 3) et g la fonction définie par g( x) x² 1.

1. f(4) (4 1) (4 3) 5. L image de 4 par f est 5.

2. f(4) 5 6 donc A n appartient pas à la courbe de f.

3. f( 2) ( 2 1)( 2 3) 1 ( 5) 5.

4. On résout g( x) 10 : g (x ) 10  x² 1 10  x ² 9  x 3 ou x 3. Les antécédents de 10 par f sont 3 et 3.

5. g( x) 9  x² 1 9  x ² 8  x 8 2 2 ou x 8 2 2 . Les antécédents de 9 par f sont 2 2 et 2 2 .

6. f(4) 5 donc l ordonnée du point de la courbe de f d abscisse 4 est 5.

7. On résout f( x) 0. f (x ) 0  (x 1)( x 3) 0  x 1 0 ou x 3 0  x 1 ou x 3.

Les points d intersection de la courbe de f et de l axe des abscisses ont pour coordonnées ( 1 0) et (3 0).

8. On résout f( x) g( x).

f(x ) g (x )  (x 1)( x 3) x² 1  x ² 2x 3 x² 1  2x 4  x 2.

f( 2 ) 5 donc le point d intersection des courbes de f et g est B ( 2 5 ).

III.

1. 3 est l’image par la fonction f de  1 : f ( 1) 3

2. La courbe de la fonction f coupe l’axe des abscisses aux points d’abscisse 2 et 5 : f (2) f (5) 0 3. Un antécédent de 4 par la fonction f est 3 : f (3) 4

4. La courbe de la fonction f passe par le point A(2 3) : f(2) 3 IV. Fait en classe (ex V de la fiche).

V.

1. x AE donc x est compris entre 0 et 5 : l'ensemble de définition de A est [0 5].

2. Soit x un réel de [0 5].

L aire du carré AEFG est x².

On a FI 5 x donc l aire du carré IFCH est (5 x ).

Alors A( x) x² (5 x )² x ² 25 10x x² 2 x ² 10x 25.

3. A(1) 2 1² 10 1 25 17 : si AE 1 cm , l aire de la partie colorée est 17cm².

4. On obtient :

VI. Bonus.

1. On ne peut pas diviser par 0

x 3 0  x 3 donc on ne peut pas calculer l image de 3 par f.

L ensemble de définition de f est donc \{3}.

2. On peut calculer 2x 8 ssi 2 x 8 0.

2x 8 0  2x 8 x 4 On change le sens de l inégalité car on divise par 2 qui est négatif.

L ensemble de définition de g est donc l intervalle ] 4].