TOURNER LA PAGE !!!

DEVOIR A LA MAISON N°17. TS2.

Pour le lundi 23 avril 2018.

SUJET A. PREPARER LE BAC.

Partie A

Soit g la fonction définie et dérivable sur telle que, pour tout réel x, g (x ) 2x

³

x² 1.

1. Étudier les variations de la fonction g.

2. Déterminer les limites de la fonction g en −∞ et en +∞.

3. Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution dans , notée , et que appartient à [−1 ; 0].

4. En déduire le signe de g sur . Partie B

Soit f la fonction définie et dérivable sur telle que, pour tout réel x, f (x ) ( ^{1 x x² x}

³

) ^e

^{2x 1}

On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur R.

1. Démontrer que lim

x

f( x)

2. Démontrer que, pour tout x > 1, 1 < x < x ² < x ³ . 3. En déduire que, pour x > 1, 0 f (x ) 4x

³

e

^{2x 1}

4. Vérifier que, pour tout réel x, 4x

³

e

^{2x 1}

e

2 (2 x)

³

e

^2x

5. On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. En utilisant la question précédente, déterminer la limite de f en +∞ et en donner une interprétation graphique.

6. Déterminer les variations de f sur .

TOURNER LA PAGE !!!

DEVOIR A LA MAISON N°17. TS2.

Pour le lundi 23 avril 2018.

SUJET B. VERS LA PRÉPA.

A RETENIR !!!

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. a te b sont deux réels de I.

1. Montrer le théorème suivant :

Théorème (intégration par parties) : Soit deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I. on suppose que les fonctions u ' et v ' sont continues sur I. Alors pour tous réels a et b de I :

 

a bu( x) v′(x )dx=

 

  u( x) v( x)

a b −  

a bu′(x )v (x )dx . 2. Applications :

a. Calculer I  

0

1

xe

^x

dx .

b. Soit a 0 (réel fixé). Calculer l’intégrale I =

1^a

ln dt t

 . En déduire une primitive de la fonction ln sur ]0 [.

3. Avec des suites…

Le but de l’exercice est d’approcher ln(1 a ) par un polynôme de degré 5 lorsque a appartient à l’intervalle [0 ; + [.

Soit a un réel positif. On note I 0 (a) =

 

0 a

dt

1+t et pour tout k de *, I k (a )

 



0

a

(t a )

^k

(1 t)

^{k 1}

dt . 1. Calculer I 0 (a ) en fonction de a.

2. A l’aide d’une intégration par parties, exprimer I 1 ( a) en fonction de a . 3. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout k de * : I k 1 (a ) (-1) ^{k +1} a ^{k +1}

k +1 I k ( a).

4. Soit P le polynôme défini sur par P (x ) 1

5 x ⁵  1

4 x ⁴ 1

3 x ³  1

2 x² x.

Montrer, en calculant I 2 ( a), I 3 ( a) et I 4 (a ) que I 5 ( a) ln(1+ a)P (a ).

5. Soit J (a)  

0

a

(t −a ) ⁵ dt . Calculer J( a).

6.

a. Montrer que pour tout t de [0 a], (t a )

⁵

(1 t )

⁶

(t a )

⁵

b. Montrer que pour tout a positif, J (a )  I 5 (a )  0.

7. En déduire que pour tout a positif, | ^{ln(1+a )−P (a ) } | ^a

6

6 .

8. Déterminer, en justifiant, un intervalle sur lequel P (a ) est une valeur approchée de ln(1 a ) à 10 ^3 près.

9. En déduire une valeur approchée de ln(1,4).

SUJET B. VERS LA PRÉPA.

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I. a te b sont deux réels de I.

1. Montrer le théorème suivant :

Théorème (intégration par parties) : Soit deux fonctions u et v dérivables sur un intervalle I. on suppose que les fonctions u ' et v ' sont continues sur I. Alors pour tous réels a et b de I :

 

a bu( x) v′(x )dx=

 

  u( x) v( x)

a b −  

a bu′(x )v (x )dx .

u et v sont dérivables sur I donc u v est dérivable sur I et ( uv ) u v u v . uv est donc une primitive de u v u v .

On a alors  

a

b

( u (x ) v(x ) u (x) v ( x))dx

 

  u( x) v( x)

a b

Par linéarité, on en déduit que  

a bu′( x)v (x )dx  

a bu( x) v′( x)dx

 

  u (x )v (x )

a b

puis que  

a bu(x )v ′(x )dx =

 

  u( x) v( x)

a b −  

a bu′( x) v( x)dx 2. Applications :

a. I  

0

1

xe

^x

dx . Pour tout x de [0 1], on pose u( x) x et v (x ) e

^x

. u et v sont dérivables sur [0 1] avec, pour tout x de [0 1], u (x ) 1 et v (x ) e

^x

.

On a donc, d après l e 1., I

 

  xe

^x

0 1

 

0 1

1e

^x

dx Ainsi, I e

 

  e

^x

0 1

e (e 1) 1.

b. Soit a 0 c. I =

1^a

ln dt t

 . Pour tout x de [1 a], on pose u (x) l n(x ) et v (x ) x. u et v sont dérivables sur [1 a] avec, pour tout x de [1 a], u (x ) 1

x et v (x ) 1.

On a donc, d après l e 1., I

 

  ln( x) x

1 a

 

1

a

x ¹

x dx

aln( a)  

1

a

1dx aln( a)

 

  x

1 a

a ln(a ) a 1

La fonction qui à tout réel a 0 associe I (a )

1^a

ln dt t

 est une primitive de la fonction ln sur

[0 [.

Ainsi, la fonction définie sur ]0 [ par I( x) x ln(x ) x 1 est une primitive de la fonction ln sur ]0 [.

Remarque : les primitives de la fonction ln sur ]0 [ sont les fonctions définies sur ]0 [ par

x xln( x) x C où C est une constante réelle.

3. Avec des suites…

1. I 0 (a) =

 

0

a

dt

1+ t =

 

  ln ( | ^{1+ t} | )

0 a

= ln(1 + a).

2. I ₁ (a) =

 



0

a

t− a

(1+t)² dt =

 



 

− t− a  1+t

0

a



 

0

a

- ¹

1+t dt =  a + I 0 = ln(1 + a)  a.

Avec u(t) = t  a donc u’(t) = 1et v’(t) = 1

(1+t)² et v(t) =  1

1+ t

3. I _k+1 (a) =

 



0

a

( t−a)

^k+1

(1+t)

^k+2

dt =

 



 

− (t− a )

^k+1

 ( k+1)(1+ t)

^k+1 0

a

+   

0

a

(t− a )

^k

(1+t)

^k+1

dt = (-1) ^{k +1} a ^{k +1}

k+1 + I _k (a).

Avec u(t) = (t  a) ^k+1 donc u’(t) = (k + 1)(t  a) ^k et v’(t) = 1

(1+ t)

^k+2

et v(t) =  1 ( k+1)(1+ t)

^k+1

4. Soit P le polynôme défini sur par P(x) = 1

5 x ⁵  1

4 x ⁴ + 1

3 x ³  1

2 x² + x.

I 2 (a) =

 

  (-1)²a²

2 + I 1 (a) = a²

2 + ln(1 + a)  a.

I 3 (a) = (-1)

³

a

³

3 + I 2 (a ) =  a

³

3 + a²

2 + ln(1 + a)  a.

I ₄ (a) = (-1)

⁴

a

⁴

4 + I ₃ (a) = a

⁴

4  a

³

3 + a ²

2 + ln(1 + a)  a.

I ₅ (a) = (-1)

⁵

a

⁵

5 + I ₄ (a) =  a

⁵

5 + a

⁴

4  a

³

3 + a²

2 + ln(1 + a)  a = ln(1 + a)  P(a).

5. J(a) =  

0

a

( t−a ) ⁵ dt =

 



 

 (t −a )

⁶

6

₀

a

=  a

⁶

6 6.

Pour tout t de [0 ; a] : 1 + t  1 donc (1 + t) ⁶  1 et 1

(1+ t)

⁶

 1 (*) De plus (t  a) ⁵  0.

Alors 0  (t −a )

⁵

(1+ t)

⁶

 (t  a) ⁵ (en multipliant les deux membres de l’inégalité (*) par (t  a) ⁵ ) Alors pour tout a  0 : J(a) =  

0

a

(t− a)

⁵

dt 

 



0

a

(t− a )

⁵

(1+ t)

⁶

dt = I 5 (a)  0 7. On a donc, d’après les questions précédentes :  a

⁶

6  ln(1 + a)  P(a)  0 et donc | ^{ln(1+a)− P( a) } | ^a

6

6 .

8. P(a) est une valeur approchée de ln(1 + a) à 10 ^3 près lorsque | ^{ln(1+a)− P( a)  10} | ^{3 .}

Pour 0 a 

⁶

0,006 : a

⁶

6  0,001 et donc | ^{ln(1+a)− P( a)  10} | ^{3 .}

Ainsi lorsque a appartient à l’intervalle [0 ;

⁶

0,006 ], P(a) est une valeur approchée de ln(1 + a) à 10 ^3 près.

Remarque :

⁶

0,006  0,426.

9. ln(1,4) ln(1 0,4) et 0,4

⁶

0,006 donc P(0,4) est une valeur approchée de ln(1,4) à 10

³

près.

P(1,4)= 1

5 0,4 ⁵  1

4 0,4 ⁴ + 1

3 0,4 ³  1

2 0,4²+0,4 0,337.

ln(1,4) 0,337 à 10

³

près.