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CONTROLE N°3 TS3.

Mercredi 3 décembre 2014.

2 heures.

Vous pouvez traiter les exercices dans l ordre de votre choix.

I. f est la fonction définie sur par f (x ) ( 2 x² 1 )

Calculer f (x ).

II. Soit ( ) ^u

la suite définie pour tout n 1 par u

2n 1

3 n 1 . Montrer que la suite ( ) ^u

est majorée par 3 2.

III. On considère la suite numérique  

définie sur par : v

= 1 et pour tout entier naturel n,

2 1

1

n 2 n

v_   v

.

1. Démontrer par récurrence que ; pour tout entier naturel n,

. 2.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

n n n 2 n

v_ v  v  v  

 

.

b. En déduire le sens de variation de la suite  

. 3. Que peut-on déduire des questions précédentes ? 4. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u

.

IV. Un agriculteur doit se rendre du point C de son champ (la zone hachurée représente le champ) à sa ferme F. Il se trouve à 3km de la route qui mène à la ferme, et à 5km de cette dernière.

Il consomme 1 litre de carburant par km parcouru sur la route et 3 litres de carburant par km parcouru à travers champ.

On cherche quelle est la quantité minimale de carburant que peut utiliser l agriculteur.

Soit M le point où le tracteur doit rejoindre la route. Le chemin parcouru par le tracteur est représenté en pointillés sur le schéma.

On pose HM x (en km) et on note f( x) la quantité, en litres, de carburant utilisé.

Vous pouvez utiliser le résultat de la question 2 pour faire la suite de l exercice, même si vous n avez pas réussi à le prouver.

1. Exprimer f(x ) en fonction de x.

2. Montrer que pour tout x de [0 ; 4], f (x ) 8x ² 9

x² 9 ( ^{3x x ² 9} ) ^.

3. Construire le tableau de variation de f sur [0 ; 4]

4. Conclure. Donner une valeur approchée à 10 près.

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V. Soit f la fonction définie sur par f (x ) x

6x

12 x 8 et g la fonction définie sur par

g( x) 6 x² 15x 11. Le but de l exercice est d étudier la position relative des courbes des fonctions f et g dans un repère orthonormal.

Pour tout réel x, on pose d (x ) f (x ) g (x ) x

3 x 3.

1. Construire le tableau de variation de d.

2. Montrer que l équation d (x ) 0 admet une unique solution dans . 3. Déterminer un encadrement d amplitude 10

de .

4. Construire le tableau de signes de d( x).

5. Donner dans le tableau précédent la position relative des courbes de f et g.

VI. Pour chacune des questions suivantes une seule des réponses est correcte.

Indiquer sans justification la réponse correcte.

Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 1 point, l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.

Certains résultats ont pu être arrondis au millième.

Dans une classe, les garçons représentent le quart de l'effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l'a eu du premier coup.

1. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu'il ait eu son permis du premier coup est égale à :

a) 0,433 b) 0,275 c) 0,217 d) 0,033

2. On interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à :

a) 0,100 b) 0,091 c) 0,111 d) 0,25

3. On interroge un élève au hasard. La probabilité que ce soit un garçon ayant eu son permis du 1

coup est égale à :

a) 0,111 b) 0,100 c) 0,250 d) 0,025

4. On interroge successivement 6 élèves au hasard avec remise. La probabilité qu exactement 2 soient des garçons est égale à :

a) 0,063 b) 0,300 c) 0,5 d) 0

CORRECTION DU CONTROLE N°3 TS3.

I. f est dérivable sur .

On pose u (x) 2 x² 1. Alors, pour tout x de , u ( x) 4x Soit U(x ) 2 x² 1 . Alors, pour tout x de , U ( x) 4 x

2 2x ² 1 = 2x 2x ² 1 Pour tout réel x, f ( x) 5 2 x

2 x² 1 ( 2x ² 1 )

10 x ( 2x ² 1 )

. II. Voir fiche d exercices corrigés.

III.

1. Initialisation : Pour n

0 : v

1 et 1 1 0 donc la propriété est vraie pour n

0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que 1 v

0. Montrons que 1 v

0.

1 v

0 donc 1 v

2

0 car la fonction carrée est décroissante sur [ 1 0].

donc 1 2

1

2 v

0 (on change le sens des inégalités car 1 2 0)

donc 1 1

2 v

0

Conclusion : pour tout n de , 1 v

0.

2.

a. Soit n un entier naturel.

v

v

1 2 v

2

v

v

 

 

v

1

b. On a montré que, pour tout n de , 1 v

0 Ainsi, 1

2 ( 1) 1 1

2 v

1, c'est-à-dire 1 2

1

2 v

1 et donc 1

2 v

1 > 0.

D autre part, v

0 donc v

0.

Ainsi, v

 

 

2

v

1 0, c est-à-dire v

v

0.

La suite ( ) ^v

est donc croissante.

3. La suite ( ) ^v

est croissante et majorée donc elle converge vers un réel L.

4. On a :

 v

f ( ) ^v

avec f la fonction définie par f ( x) 1 2 x².

 La fonction f est continue sur car c est une fonction polynôme.

 La suite ( ) ^v

converge vers un réel L.

Alors, f (L ) L.

f (L ) L 1

2 L² L L

 

 

2

L 1 0 L 0 ou L 2.

La suite ( ) ^v

converge vers 0 ou vers 2.

Pour tout entier n, 1 v

0 donc la suite ( ) ^v

ne converge par vers 0.

Alors la suite ( ) ^v

converge vers 2.

IV.

D après le th de Pythagore dans le triangle CHM : CM ² x² 3² x² 9 donc CM x² 9 . D autre part C F² CH² HF ², c'est-à-dire 5² 3² HF ² et donc HF 4. Ainsi, FM 4 x . On a alors f (x ) 4 x 3 x² 9 .

1. f est dérivable sur [0 ; 4]. Pour tout x de l intervalle [0 ; 4], on a

f ( x) 1 3 2 x

2 x² 9 = 1 3x

x² 9 = x² 9 3x

x² 9 = ( 3 x x² 9 ) ( 3 x x² 9 )

x² 9 ( 3x x² 9 )

9x ² x² 9 x² 9 ( 3x x ² 9 )

8x² 9

x² 9 ( ^{3 x x² 9} )

2. Le dénominateur de f ( x) étant positif, f (x ) est du signe de 8x² 9.

8 x² 9 0 x² 9

8 x

8

3 2

4 ou x 3 2

4 . Le trinôme 8 x² 9 est positif sauf entre ses racines.

On a donc le tableau suivant, sur [0 ; 4] : x 0 3 2

4 4

8 x² 9 − +

x² 9 + +

3 x x ² 9 + +

f ( x) − +

f (x ) 13 15 12,49

3. Pour consommer le moins d essence possible, l agriculteur doit rejoindre la route à environ 1,06 km de H. Il consommera alors environ 12,49 litres d essence.

V. à

1. d( x) x

6x² 12x 8 (6 x² 15x 11) x

6x² 12x 8 6 x² 15x 11 x

3x 3.

d est dérivable sur . Pour tout réel x, d ( x) 3 x² 3 3(x 1 )( x 1).

On a alors le tableau :

x 1 1 +

3( x+1 ) − + +

x 1 +

f (x ) + +

f (x ) 1 + 5

lim

x

d( x) lim

x

x

et lim

x

d (x ) lim

x

x

2. Sur l intervalle ] 1], le maximum de f est 1 < 0 donc l équation d (x ) 0 n admet pas de solution.

Sur l intervalle [1 ; + [ : d est continue et strictement croissante avec d(1) 5 et lim

x

d (x ) + donc l équation d (x ) 0 admet une unique solution dans cet intervalle.

Ainsi, l équation d(x ) 0 admet une unique solution dans . 3. A la calculatrice, on obtient 2,1 2,11.

4. 5.

x +

d( x) f (x ) g (x ) − +

Positi on C

en dessous de C

C

au dessus de C

VI. On construit un arbre pour répondre aux questions.

1. Réponse b : 0,275.

2. Réponse b : 0,091 3. Réponse d : 0,025

4. Réponse b : 0,300 (loi binomiale de paramètres 6 et 0,25)