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CONTROLE N°7 TS1.

Mardi 4 avril 2017.

2 heures.

I. Soit f une fonction définie sur l’intervalle [0 1],continue et positive sur cet intervalle, et a un réel On note :

— C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal :

— A 1 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations x 0 et x a d’autre part.

— A 2 l’aire du domaine plan limité par l’axe des abscisses et la courbe C d’une part, les droites d’équations x a et x 1 d’autre part.

Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctions f , une valeur du réel a vérifiant la condition (E) : « les aires A1 et A2 sont égales ».

1. Vérifier que dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réel a et déterminer sa valeur.

a. f est une fonction constante strictement positive.

b. f est définie sur [0 1] par f (x ) x.

2.

a. À l’aide d’intégrales, exprimer, en unités d’aires, les aires A 1 et A 2.

b. On note F une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 1]. Démontrer que si le réel a satisfait la condition (E), alors F( a) F(0) F(1)

2 .

c. La réciproque est-elle vraie ?

II. Soit f la fonction définie sur ]0 [ par f (x) x 2ln(x )

x . On désigne par ( C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal.

1. g est la fonction définie sur ]0 [ par g(x ) x² 2 2ln( x).

Construire le tableau de variation de g (ne pas faire apparaître les limites).

2. Etude de la fonction f.

a. Déterminer les limites de f en 0 et en + .

b. Construire le tableau de variation de la fonction f.

3. est la droite d équation y x.

a. Déterminer lim

x

f(x ) x. Que peut-on en déduire pour (C ) et ? b. Etudier la position relative de ( C) et .

4. Déterminer les coordonnées du point A de ( C) en lequel ( C) admet une tangente T parallèle à . III. On considère les fonctions g et h définies sur par g (x) x

1 x² et h (x ) x ³ 1 x ² . 1. Calculer I 1  

0

1 g( x)dx.

2. Soit I 2  

0

1 h( x)dx. Calculer I 1 I 2 et en déduire I 2 .

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IV. On considère la fonction g définie pour tout réel x de l’intervalle [0;1] par : g( x) 1 e ^x . On remarque que la fonction g est strictement positive sur l’intervalle [0;1]

On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal, et D le domaine délimité d’une part par l’axe des abscisses et la courbe C, et d’autre part par les droites d’équations x 0 et x 1.

Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même aire par une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

1. On note A l’aire du domaine D. Représenter à main levée la courbe C et le domaine D . 2. On admet que g est décroissante sur [0 1]. Sans calcul d intégrale, en utilisant un argument graphique, justifier l’inégalité A ^> 1 1

e .

3. On note S ^a l’aire du domaine  ^a compris entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x 0 et x a (0 < a < 1). Justifier que S ^a 1 a e ^a .

4. Démontrer qu’il existe une unique droite d’équation x a ₀ réalisant un partage du domaine D en deux domaines de même aire par une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

Aide : poser f( x) x e ^x e ¹

2 et construire le tableau de variation de f sur [0 1].

V. Prise d initiative

On considère la suite ( ) ^{u n} définie pour tout n de par u 0 0 et u n 1

1 2 u n

. On obtient avec un tableur les premiers termes de la suite ( ) ^{u n :}

Prouver que la suite ( ) ^{u n} converge.

CORRECTION DU CONTROLE N°7 TS1

I.

1.

a. Si f est une fonction constante strictement positive : f( x) k , où k est un réel, k 0.

A 1 ak et A 2 (1 a) k.

Alors A 1 A 2 ssi a 0,5.

Le seul réel a qui convient est 0,5.

b. f est définie sur [0 1] par f (x ) x.

A 1 a a 2

a² 2 et A 2

1 2

a² 2

1 a² 2 A 1 A 2 ssi a² 1

2 ssi a 2

2 car a 0.

Le seul réel a qui convient est 2 2 . 2.

a. A 1  

0

a f(x )dx et A 2  

a

1 f (x)dx .

b. Si F est une primitive de f sur [0 1], alors A ₁ F( a) F(0) et A ₂ F(1) F( a) Si a satisfait à la condition (E), alors A ₁ A ₂

alors F( a) F (0) F(1) F( a) alors F( a) F(0) F(1)

2 c. Réciproquement, ,si F (a ) F (0) F (1)

2 , alors 2 F (a ) F(0) F(1) alors F (a ) F (0) F(1) F (a ) alors A ₁ A ₂ .

La réciproque est donc vraie.

II.

1. g est dérivable sur +*. g ( x) 2x 2 x

2(x² 1) x

2(x 1)( x 1) x On a donc le tableau de variations suivant :

x 0 1 + 2( x 1)

x 1 x g ( x)

g

3 2.

a. lim

x 0

x 0 ; lim

x 0

2ln( x ) donc lim

x 0

2ln( x)

x et lim

x 0

x 0 donc lim

x 0

f ( x) . lim

x

ln( x )

x 0 d après le cours et lim

x

x donc lim

x

f (x ) .

b. f est dérivable sur +*. f ( x) 1 2

x x 2ln(x) x ²

x² 2 2ln( x) x ²

g (x ) x² . Le minimum de g sur +* est g (1) 3 donc g ( x) 0 pour tout x 0.

On a donc le tableau de variations suivant :

x 0 + g(x )

x f (x)

f +

3.

a. lim

x

f( x) x lim

x

2ln( x)

x 0 d après le cours. La droite est asymptote à ( C ) en + . b. On cherche le signe de f( x) x 2ln( x )

x .

x 0 1 + 2ln(x)

x f(x)-x

positions de (C) et ( C) en dessous de Δ (C ) au dessus de Δ 4. Soit A(a f ( a)) le point cherché.

T parallèle à ssi f (a ) 1 ssi g(a )

a² 1

ssi a² 2 2ln( a) a² ssi ln(a ) 1

ssi a e Et f (e) e 2ln( e )

e e 2

e Ainsi A

 

  e e ²

e III.

1. I 1

 

0

1 x

1 x ² dx

 

0 1 1

2 2x 1 x² dx

 

  1

2 ln(1 x²)

0 1

car 1 x ² 0 sur [0 1].

I ₁ 1

2 ln(2) 1

2 ln(1) ln(2) 2 . 2. I 1 I 2

 

0

1 x x ³

1 x² dx

 

0 1

 

  x( 1 x ²)

1 x ² dx  

0 1 xdx

 

  x²

2 ₀

1 1

2 . Alors I ₂ 1

2 I ₁ 1 ln(2) 2 . IV.

1.

2. f(0) 2 1 e ¹ et g est décroissante sur [0 1] donc A > aire du rectangle OABC avec O(0 0), A (1 0) ; B(1 g(1)), c'est-à-dire B ( ^{1 1 e 1} ) ^{et C} ( ^{0 1 e 1} ) ^.

donc A > 1 ( ^{1 e 1} ) , c'est-à-dire A > 1 1 e . 3. S _a  

0

a 1 e ^{( x) dx}

 

  x e ^x

0 a

a e ^a 0 e ⁰ a e ^a 1.

4. On cherche s il existe une valeur de a dans [0 1] telle que S _a 1

2 S ₁ , c'est-à-dire a e ^a 1 1

2 ( ^{1 e 1 1 .} )

a e ^a 1 1

2 ( ^{1 e 1 1  a} ) ^{e a e 1}

2 0  f (a ) 0 où f est la fonction définie sur [0 1] par f(x ) x e ^x e ¹

2 .

f est dérivable sur [0 1]. f (x) 1 e ^x 0 donc f est strictement croissante sur [0 1].

f est continue et strictement croissante sur [0 1] avec f(0) e ¹

2 1 0,8 et f(1) 1 e ¹

2 0,8.

0 est compris entre f (0) et f(1) donc l équation f( a) 0 admet une unique solution a 0 dans [0 1].

Il existe donc une unique droite d’équation x a 0 réalisant un partage du domaine D en deux domaines de même aire par une droite parallèle à l’axe des ordonnées.

V.

Il semble que, pour tout n de , u n

n

n 1 . Prouvons-le par récurrence sur n : Initialisation : pour n 0 : u ₀ 0 et 0

0 1 0 donc la propriété est vraie pour n 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que u p

p

p 1 . Montrons que u p 1

p 1 p 2 . u p 1

1 2 u p

1

2 ^p

p 1

1 2p 2 p

p 1

p 1 p 2

Conclusion : pour tout n de , u n

n n 1 . Alors lim

n

u n lim

n

n

n 1 : la suite ( ) ^{u n} converge vers 1.