algorithmique
[ Algorithme et suite \
Énoncé
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé³ O,→−
u ,→− v ´
. Pour tout entier natureln, on noteAnle point d’affixezndéfini par :
z0=1 et zn+1= Ã3
4+ p3
4 i
! zn. On définit la suite (rn) parrn= |zn|pour tout entier natureln.
1. ...
2. a. Montrer que la suite (rn) est géométrique de raison p3
2 . b. En déduire l’expression dernen fonction den.
c. ....
3. On considère l’algorithme suivant :
Variables nentier naturel Rréel
P réel strictement positif Entrée Demander la valeur deP Traitement Rprend la valeur 1
nprend la valeur 0 Tant queR>P
nprend la valeurn+1 Rprend la valeur
p3 2 R Fin tant que
Sortie Affichern
a. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pourP=0, 5 ?
b. PourP=0, 01 on obtientn=33. Quel est le rôle de cet algorithme ? 4. ...
Pondichery Avril 2014
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algorithmique
Correction
1. ...
2. a. rn+1= |zn+1| =
¯
¯
¯
¯
¯ Ã3
4+ p3
4 i
! zn
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯ 3 4+
p3 4 i
¯
¯
¯
¯
¯
× |zn| = p3
2 rn
Donc la suite (rn) est géométrique de raison q = p3
2 et de premier terme r0=
|z0| =1.
b. La suite (rn) est géométrique donc, pour toutn,rn=r0×qn, doncrn= Ãp
3 2
!n
. c. ...
3. a. On fait tourner l’algorithme donné dans le texte en prenant pourPla valeur 0, 5 :
n R P R>P
Initialisations 0 1 0, 5 Vrai
Traitement 1 0, 866 0, 5 Vrai
2 0, 75 0, 5 Vrai
3 0,649 5 0, 5 Vrai 4 0,562 5 0, 5 Vrai
5 0, 487 0, 5 Faux
Sortie Afficher 5
La valeur affichée par l’algorithme pourP=0, 5 est 5.
b. Cet algorithme s’arrête dès queR6P et affiche alorsn, c’est-à -dire qu’il affiche la plus petite valeur denpour laquelleRdoncrn=O Anest inférieur ou égal àP. On peut donc dire queO A32>0, 01 et queO A3360, 01.
Vérification à la calculatrice :r32≈0,010 02 etr33≈0,008 68.
4. ...
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