algorithmique
[ Algorithme et suite \
Énoncé
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Les variables sont le réelUet les entiers naturelsketN.
Entrée
Saisir le nombre entier naturel non nulN. Traitement
Affecter àUla valeur 0 Pourkallant de 0 àN−1
Affecter àUla valeur 3U−2k+3 Fin pour
Sortie AfficherU Quel est l’affichage en sortie lorsqueN=3 ? Partie B
On considère la suite (un) définie paru0=0 et, pour tout entier natureln, un+1=3un−2n+3.
1. Calculeru1etu2.
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,un>n.
b. En déduire la limite de la suite (un).
3. Démontrer que la suite (un) est croissante.
4. Soit la suite (vn) définie, pour tout entier natureln, parvn=un−n+1.
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique.
b. En déduire que, pour tout entier natureln,un=3n+n−1.
5. Soitpun entier naturel non nul.
a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entiern0tel que, pour toutn>n0,un>10p? On s’intéresse maintenant au plus petit entiern0.
b. Justifier quen063p.
c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entiern0pour la valeurp=3.
d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur depdonnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entiern0tel que, pour toutn>n0, on aitun>10p.
Polynésie juin 2012
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Correction
Partie A
En faisant fonctionner, l’algorithme à la main, on obtient successivement : U0=0
Premier passage dans la boucle :k=0 U1=3×U0−2×k+3=3×0−2×0+3=3 Deuxième passage dans la boucle :k=1 U2=3×U1−2×k+3=3×3−2×1+3=10 Troisième passage dans la boucle :k=2 U3=3×U2−2×k+3=3×10−2×2+3=29
Donc en sortie,Ucontient la valeur 29. L’algorithme affiche donc 29
On peut aussi le programmer sa calculatrice. Sur une TI82, TI83 ou TI84 cela donne : PROMPT N
0→U
FOR(K,0,N-1) 3*U-2K+3→U END
DISP U
Il suffit de lancer le programme, de donner la valeur 3 à N. il affiche alors 29. Si on veut les differentes valeurs de U, il suffit d’ajouter «DISP U » dans la boucle.
Partie B
1. u1etu2ont été calculés dans la partie A
u1=3 et u2=10
2. a. Soitnun entier naturel quelconque, on considère la propriétéun>n,
montrons par récurrence que cette propriété est vraie pour tout entier natureln. Initialisation
u0=0 on a doncu0>0
La propriété est vraie au rang le plus bas Hérédité
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier natureln et sous cette hypothèse montrons que qu’elle est aussi vraie pour l’entier natureln+1 :
un>n d’après l’hypothèse de récurrence 3un>3n
3un−2n+3>n+3
un+1>n+1 carn+3>n+1 La propriété est vraie pour l’entier natureln+1.
Conclusion
La propriété est vraie pourn=0, elle est héréditaire donc d’après le principe de récurrence elle est vraie pour tout entier natureln.
b. On a, pour tout entier natureln,un>n. Or la limite denest+∞donc d’après le théorème de comparaison, la limite de la suite (un) est la limite de la suite (un).
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3. Pour tout entier natureln, on a :
un+1−un=2un−2n+3 Orun>ndonc 2un−2n>0
La différenceun+1−unest donc positive, par conséquent la suite (un) est croissante.
4. a. Pour tout entier natureln, on a :
vn+1=un+1−(n+1)+1
=3un−2n+3−n−1+1
=3un−3n+3
=3(un−n+1)
=3vn
La suite (vn) est donc une suite géométrique de raison 3 et de premier termev0=u0−0+1=1 . b. Pour tout entier natureln, on a : vn=v0×qn=3n
d’autre part,vn=un−n+1 doncun=vn+n−1 et par conséquentun=3n+n−1.
5. Soitpun entier naturel non nul.
a. Dire que la limite deunest+∞signifie que quel que soit le réelA, aussi grand soit-il, tous lesun
seront supérieurs àAà partir d’un certain rangn0.
On peut donc affirmer qu’il existe au moins un entiern0tel que, pour toutn>n0,un>10p b. On a u2p=33p+3p−1 or pourp>0 on a aussi 3p−1>0 doncu2p>33p
mais 33p=27p>10pdoncu2p>10p
et commen0est le plus petit entierntel queun>10pon peut en déduire quen063p.
c. En utilisant la table de la calculatrice, après avoir entré la fonction «Y1=3bX+X−1 » on obtient :
X Y1
6 734
7 2193
On remarque queundépasse 103à partir den=7, l’entiern0vaut donc 7.
d. Algorithme
Saisir un nombre entier naturel non nulp.
Uprend la valeur 0 nprend la valeur 0 Tant queU<10pfaire
nprend la valeurn+1 Uprend la valeur 3n+n−1 Fin tant_que
Affichern
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