S´ T V P´ Analysenum´eriquefondamentale M 1MMS U P ´

U NIVERSIT _{E DE} ´ P AU

M ASTER 1 MMS

Analyse num´erique fondamentale

S ´ EBASTIEN T ORDEUX ET V ICTOR P ´ ERON

2013/2014

Table des mati`eres

I La m´ethode des diff´erences finies 4

1 Discr´etisation des ´equations diff´erentielles ordinaires d’´evolution 5

1.1 Position du probl`eme et r´eduction d’ordre . . . 5

1.2 Th´eor`eme d’existence et unicit´e . . . 6

1.3 Les sch´emas `a un pas . . . 8

1.4 Etude dea-stabilit´e . . . . 9

1.5 Stabilit´e d’un sch´ema num´erique (cas g´en´eral) . . . 11

1.6 Consistance d’un sch´ema num´erique . . . 11

1.7 Convergence d’un sch´ema num´erique . . . 12

1.8 Exercices du chapitre 1 . . . 13

2 La m´ethode des diff´erences finies pour les probl`emes aux limites statiques 18 2.1 Diff´erences finies en dimension 1 . . . 18

2.2 Quelques exemples de diff´erences finies . . . 19

2.2.1 Diff´erence finie d´ecentr´ee `a droite . . . 19

2.2.2 Diff´erences finies d´ecentr´ees `a gauche . . . 19

2.2.3 Diff´erence finie centr´ee . . . 20

2.2.4 Le sch´ema `a trois points . . . 20

2.3 Discr´etisation des probl`emes de type elliptique en dimension 1 . . . 21

2.3.1 Position du probl`eme . . . 21

2.3.2 Discr´etisation de l’´equation principale . . . 22

2.3.3 Discr´etisation des condition aux limites . . . 22

2.3.4 Formulation vectorielle . . . 23

2.3.5 M´ethode du point fantˆome ou virtuel . . . 25

2.4 Discr´etisation des probl`emes de type elliptique en dimension 2 . . . 26

2.4.1 D´efinition du probl`eme continu . . . 26

2.4.2 Diff´erences finies en dimension 2 . . . 28

2.4.3 Approximation de l’´equation principale . . . 30

2.4.4 Approximation des conditions aux limites . . . 31

2.4.5 Formulation vectorielle . . . 31

2.4.6 Un exemple de probl`eme `a discr´etiser, formulation non ´elimin´ee . . . . 33

2.4.7 Technique du point virtuel ou fantˆome . . . 35

2.4.8 Un exemple de formulation ´elimin´ee avec points virtuels . . . 37

2.5 Exercices du chapitre 2 . . . 41

3 Discr´etisation des probl`emes aux limites d’´evolution 46 3.1 Discr´etisation de l’´equation de r´eaction-advection-diffusion en dimension un

d’espace . . . 46

3.1.1 Semi-discr´etisation en espace . . . 47

3.1.2 Formulation ´elimin´ee . . . 49

3.1.3 Discr´etisation en temps . . . 50

3.2 Discr´etisation de l’´equation des ondes . . . 50

3.2.1 Semi-discr´etisation en espace . . . 51

3.2.2 Formulation ´elimin´ee . . . 52

3.2.3 Sch´ema `a un pas . . . 52

3.2.4 Sch´ema `a deux pas . . . 53

3.3 Analyse de stabilit´e de Von-Neumann . . . 53

3.3.1 La transformation de Fourier . . . 53

3.3.2 Principe de l’analyse de Von Neumann . . . 54

3.3.3 Discr´etisation de l’´equation de diffusion par le sch´ema d’Euler expli- cite . . . 55

3.3.4 Application `a l’´equation de diffusion discr´etis´e par le sch´ema d’Euler implicite . . . 55

3.3.5 Application `a l’´equation des ondes (sch´ema saute-mouton) . . . 56

3.3.6 Application `a l’´equation des ondes discr´etis´ees par une m´ethode des trap`ezes implicites . . . 57

Premi`ere partie

La m´ethode des diff´erences finies

Chapitre 1

Discr´etisation des ´equations diff´erentielles ordinaires d’´evolution

1.1 Position du probl`eme et r´eduction d’ordre

Une ´equation diff´erentielle ordinaire (EDO) est une ´equation diff´erentielle ayant la forme y^(p)(t) =f(t, y(t), y^′(t),· · · , y^(p−1)(t)). (1.1) avec y : R⁺ −→ R une fonction inconnue etf : R⁺ ×R^p −→ R. On dit que (1.1) est une EDO d’ordrep. Dans ce chapitre, nous nous int´eressons plus pr´ecis´ement `a la discr´etisation des probl`emes de Cauchy qui sont des probl`emes aux donn´ees initiales

























Cherchery:R⁺ −→Rde classeC^p tel que y^(p)(t) = f(t, y(t), y^′(t),· · ·, y^(p−1)(t)), ∀t ≥0, y(0) =α₀,

y^′(0) =α₁,

· · ·

y^(p−1)(t) = α_p−1.

(1.2)

Ces probl`emes de Cauchy d’ordre p mettant en jeu des fonctions `a valeurs scalaires peuvent prendre la forme d’une EDO vectorielle d’ordre1. En effet, en notant

Y(t) = (y(t), y^′(t),· · · , y^(p−1)(t))^T (1.3) nous avons

Y^′(t) =







 y^′(t) y⁽²⁾(t)

· · · y^(p−1)(t)

y^(p)(t)







=









y^′(t) y⁽²⁾(t)

· · · y^(p−1)(t)

f(t, y(t), y^′(t),· · · , y^(p−1)(t))







 (1.4)

En notantα= (y(0), y^′(0),· · · , y^(p−1)(0))^T etF :R⁺×R^p −→R^p la fonction d´efinie par

F(t,







 u0

u₁

· · · up−2

u_p−1







) =









u1

u₂

· · · up−1

f(t, u₀, u₁,· · · , u_p−1)







, (1.5)

le probl`eme (1.2) s’´ecrit









ChercherY :R⁺ −→R^pde classeC¹tel que Y^′(t) = F(t, Y(t)), ∀t ≥0,

Y(0) =α.

(1.6)

Nous allons apr`es avoir ´etudi´e l’existence et l’unicit´e des EDO vectorielles d’ordre 1, nous allons pr´esenter les sch´emas num´eriques `a un pas, puis en effectuer l’analyse.

1.2 Th´eor`eme d’existence et unicit´e

Theoreme 1.1 (Cauchy-Lipschitz-Picard) Si α ∈ R^p, F : R⁺×R^p −→ R^p est continue et v´erifie

∃L >0 ∀t >0, ∀U, V ∈R^p, ∥F(t, U)−F(t, V)∥ ≤L∥U −V∥ (1.7) alors le probl`eme(1.6)admet une unique solution.

Preuve.SoitL:C⁰([0,+∞[,R^p)−→C⁰([0,+∞[,R^p)l’application d´efinie par LV(t) =α+

∫ _t

0

F(s, V(s))ds (1.8)

Remarquons queY est solution de (1.6) ssiY est point fixe deL.

(i) Pour d´emontrer l’existenced’une solution de (1.6), nous allons d´emontrer, pour toutT ≥0, l’existence et l’unicit´e d’un point fixe deLdans l’espace de Banach

X^T_k ={V ∈C⁰([0, T],R^p) :∥V∥X^T_k <+∞} (1.9) avec

∥V∥X^T_k = sup

t∈[0,T]

∥e^−ktV(t)∥. (1.10)

CommeT est born´e, l’applicationLest continue surX_k^T. Montrons queLest contractante sur X^T_k pourk > L

∥e^−kt(LU(t)− LV(t))∥ = ∥e^−kt

∫ _t

0

F(s, U(s))−F(s, V(s))ds∥ (1.11)

D’apr`es (1.7), il suit l’in´egalit´e

∥e^−kt(LU(t)− LV(t))∥ ≤ Le^−kt

∫ t 0

e^kse^−ks∥U(s)−V(s)∥ds

≤ Le^−kt ( ∫ ^t

0

e^ksds

)∥U−V∥X^T_k

≤ Le^−kt ( ∫ ^t

−∞

e^ksds

)∥U−V∥X^T_k

≤ L

k∥U −V∥X_k^T

(1.12)

On peut passer ausupsurt. Il suit

∥LU− LV∥X^T_k ≤ L

k∥U −V∥X^T_k. (1.13)

Commek > L, l’application L est bien contractante sur X^T_k. On utilise alors le th´eor`eme de point fixe de Picard

∃!Y_T ∈X_k^T : LY_T(t) =Y_T(t) ∀t∈[0, T]. (1.14) Remarquons que pourT^′ > T > 0, Y_T′|[0,T] ∈ X_k^T et LY_T′(t) = Y_T′(t)pour tout t ∈ [0, T].

Par unicit´e, on a l’identit´e suivante

∀T^′ > T >0 Y_T′(t) =Y_T(t) ∀t ∈[0, T] (1.15) Il suit que

∀T ≥t Y_T(t) = Y_t(t). (1.16) Ceci nous permet de d´efinir la fonctionY ∈C⁰([0,+∞[,R^p)d´efinie par

Y : [0,+∞[−→R^p t 7−→Y(t) =Y_t(t). (1.17) qui v´erifie (1.8) et donc (1.6).

(ii) Pour montrer l’unicit´e, nous consid´erons deux solutionsY₁ etY₂ de (1.6). CommeY₁etY₂ sont des points fixes deLon a

Y₁(t)−Y₂(t) =

∫ _t

0

F(s, Y₁(s))−F(s, Y₂(s))ds (1.18) Il suit

∥Y₁(t)−Y₂(t)∥ ≤L

∫ t 0

∥Y₁(s)−Y₂(s)∥ds (1.19) En notantψ(t) = exp(−Lt)∫_t

0∥Y₁(s)−Y₂(s)∥ds, on a l’´equation

ψ^′(t)≤0, ψ(0) = 0 et ψ(t)≥0 =⇒ψ(t) = 0. (1.20) On peut conclure `a l’unicit´eY₁ =Y₂.

b b b b b b

x_n = n = 0

0 1 δt 2δt

2 n−1

(n−1)δt n nδt

n+ 1 (n+ 1)δt

FIGURE1.1 – Une grille uniforme de pasδt

Remarque 1.1 Dans la preuve du th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz-Picard nous avons introduit la forme int´egrale du probl`eme (1.6). L’utilisation de cette formulation est fr´equente. On se souviendra que le probl`eme(1.6)est ´equivalent `a sa forme int´egrale









ChercherY :R⁺−→Rⁿde classeC⁰qui v´erifie Y(t)−Y(t^′) =

∫ _t

t^′

F(s, Y(s))ds Y(0) =α.

(1.21)

1.3 Les sch´emas `a un pas

On introduit une grille uniforme en temps, voir figure 1.1, d´efinie par ses sommetstn =nδt, avecn∈N. On noteY_nl’approximation deY(t_n).

Y_n≃Y(t_n). (1.22)

Un sch´ema `a un pas est une m´ethode num´erique permettant de calculerY<sub>n+1</sub> `a partir deY_n

Y_n+1 =ϕ(t_n, δt, Y_n) (1.23)

avecϕ:R⁺×R⁺×R^p −→R^p.

La plupart des sch´emas est bas´ee sur l’approximation de la forme int´egrale (1.21) ´ecrite pourt =t_n+1 ett^′ =t_net sur une formule d’int´egration num´erique du second membre

Y(t_n+1) =Y(t_n) +

∫ _tn+1

tn

g(t)dt avecg(t) =F(t, Y(t)). (1.24) Le sch´ema d’Euler explicite. On utilise ici une m´ethode des rectangles `a gauche pour calculer l’aire s´eparant le graphe degpourtallant detn `atn+1, voir figure 1.2,

∫ tn+1

tn

g(s)ds≃δt g(t_n) =δt F(t_n, Y(t_n)). (1.25) On en d´eduit le sch´ema d’Euler explicite

Y_n+1 =Y_n+δtF(t_n, Y_n). (1.26)

Le sch´ema d’Euler implicite. On utilise ici une m´ethode des rectangles `a droite

∫ _tn+1

tn

g(s)ds≃δt g(t_n+1) =δt F(t_n+1, Y(t_n+1)). (1.27)

t_n t_n+1 t_n t_n+1 t_n t_n+1

FIGURE 1.2 – Les m´ethodes d’int´egration num´erique : rectangle `a gauche, rectangle `a droite, trap`eze

On aboutit au sch´ema

Y_n+1 =Y_n+δtF(t_n+1, Y_n+1) ⇐⇒ Y_n+1−δtF(t_n+1, Y_n+1) =Y_n. (1.28) Le sch´ema des trap`ezes implicites. La formule d’int´egration est celle des trap`ezes







∫ tn+1

tn

g(s)ds ≃ δt

2 g(tn+1) + δt 2 g(tn)

= δt

2 F(t_n, Y(t_n)) + δt

2 F(t_n+1, Y(t_n+1)).

(1.29)

On aboutit au sch´ema

Y_n+1 =Y_n+δt

2 F(t_n, Y_n) + δt

2 F(t_n+1, Y_n+1). (1.30) C’est `a dire

Y_n+1− δt

2 F(t_n+1, Y_n+1) =Y_n+δt

2 F(t_n, Y_n). (1.31)

Le sch´ema des trap`ezes explicites. Ce sch´ema consiste `a reprendre (1.30) en remplac¸antY_n+1 dans le second membre parYn+1 une approximation calcul´ee `a l’aide d’une m´ethode d’Euler

explicite 





Y_n+1 =Y_n+δt F(t_n, Y_n), Y_n+1 =Y_n+δt

2 F(t_n, Y_n) + δt

2 F(t_n+1, Y_n+1).

(1.32)

Remarque 1.2 On parle de sch´ema explicite lorsque le calcul deY_n+1 `a partir deY_ns’effectue

`a l’aide d’une formule explicite. A contrario, lorsque le calcul deY<sub>n+1</sub> n´ecessite la r´esolution d’un probl`eme on parle de m´ethode implicite.

Bien entendu pour le mˆeme δt, les sch´emas explicites n´ecessiterons beaucoup moins de temps de calcul que les sch´emas implicites.

1.4 Etude de a-stabilit´e

Soita >0un param`etre. L’´etude dea-stabilit´e consiste `a ´etudier les propri´et´es d’un sch´ema num´erique

yn+1 =ϕ(tn, δt, yn)ety0 =α. (1.33)

sur le probl`eme suivant









Chercheryde classeC¹ qui v´erifie y^′(t) +ay(t) = 0 t≥0,

y(0) =α.

(1.34)

dont la solutiony(t) = α exp(−at)est d´ecroissante en valeur absolue.

On dira qu’un sch´ema esta-stable si la suitey_nest d´ecroissante en valeur absolue et instable sinon. Notons qu’iciF(t, y) = F(y) =−ay.

a-stabilit´e du sch´ema d’Euler explicite. Reprenons le sch´ema (1.26) y_n+1 =y_n−aδty_n=

(

1−aδt )

y_n (1.35)

Notons queaδt >0. La suitey_nest une suite g´eom´etrique de raison1−aδt. Pour que le sch´ema soita-stable il faut que cette raison soit inf´erieur 1 en valeur absolue. Il suit que le sch´ema est stable siaδt <2et instable sinon.

a-stabilit´e du sch´ema d’Euler implicite. Reprenons le sch´ema (1.28) (

1 +aδt )

y_n+1 =y_n (1.36)

La raison de la suitey_nest(1+aδt)⁻¹. Cette raison est toujours inf´erieure `a 1 en valeur absolue.

Le sch´ema d’Euler implicite est inconditionnellement stable.

a-stabilit´e du sch´ema des Trap`ezes implicites. Reprenons le sch´ema (1.30) (

1 + aδt 2

)

y_n+1 = (

1−aδt 2

)

y_n (1.37)

La raison de la suitey_n est ¹_1+aδt/2^−aδt/2. Cette raison est toujours inf´erieure `a 1 en valeur absolue.

Le sch´ema d’Euler implicite est inconditionnellement stable.

a-stabilit´e du sch´ema des Trap`ezes explicites. Reprenons le sch´ema (1.32)





y_n+1 =y_n−aδt y_n = (1−aδt)y_n, y_n+1 =y_n− aδt

2 y_n−aδt

2 y_n+1. (1.38)

Apr`es simplification on a

y_n+1 = (

1−aδt+(aδt)² 2

)

y_n (1.39)

La raison de la suitey_n est1−aδt+ ^(aδt)₂ ² qui est inf´erieur `a 1 en valeur absolue siaδt < 2.

Comme pour le shc´ema d’Euler explicite, le sch´ema esta-stable siaδt <2et instable sinon.

Remarque 1.3 Les sch´emas implicites sont en g´en´eral plus robuste que les sch´emas explicites du point de vue leur stabilit´e. Ils auront moins tendance `a ˆetre sujet `a des ph´enom`enes d’explo- sion num´erique.

1.5 Stabilit´e d’un sch´ema num´erique (cas g´en´eral)

Nous nous int´eressons `a la r´esolution d’une ´equation donn´ee de la forme

Y^′(t) = F(t, Y(t)) pourt ≥0. (1.40) par un sch´ema `a un pas de la forme

Y_n+1 =ϕ(t_n, δt, Y_n). (1.41)

SoitN ∈N. Nous consid´erons deux suites(Y_n¹)_n≥N et(Y_n²)_n≥N d´efinies par le mˆeme sch´ema num´erique et leurs donn´ees initialesY_N¹ etY_N².

{ Y_n+1¹ =ϕ(t_n, δt, Y_n¹)pourn≥N avecY_N¹ donn´e,

Y_n+1² =ϕ(t_n, δt, Y_n²)pourn≥N avecY_N² donn´e. (1.42) On dit que le sch´ema est stable pour l’EDO (1.40) si

∃C >0 : ∀n≥N ∀δt > 0 ∀Y_N¹ ∈R^p etY_N² ∈R^pet

Y_n¹, Y_n²d´efinis par (1.42) ∥Y_n¹−Y_n²∥ ≤C∥Y_N¹ −Y_N²∥ (1.43) Cette propri´et´e traduit le fait qu’`a deux conditions initiales proches correspondent deux ap- proximations num´eriques proches.

Remarque 1.4 En fait la a-stabilit´e n’est rien d’autre que la stabilit´e d’un sch´ema num´erique pour l’´equationy^′(t) +ay(t) = 0

1.6 Consistance d’un sch´ema num´erique

L’erreur de consistance estime l’erreur commise par le sch´ema au tempst_n. Elle est d´efinie par

δ_n=Y(t_n+1)−ϕ(t_n, δt, Y(t_n)). (1.44) avecY(t)la solution du probl`eme

Y^′(t) =F(t, Y(t)) pourt≥0 et Y(0) =α. (1.45) On dit que le sch´ema est consistant et d’ordremsi

∃C > 0 : ∀δt >0 ∀n ≥0 ∥δ_n∥ ≤C (δt)^m+1 (1.46) Passons `a un exemple de calcul d’ordre de consistance d’un sch´ema num´erique. Nous consid´erons

le probl`eme 









Cherchery :R⁺ −→Rde classeC¹ tel que y^′(t) = sin(y(t)) pourt ≥0,

y(0) = α.

(1.47)

Nous approchonsy `a l’aide de la m´ethode d’Euler explicite

y_n+1 =ϕ(t_n, δt, y_n)avecϕ(t_n, δt, y_n) = y_n+δtsin(y_n). (1.48) Remarquons que la solution exacte y est de classe C^∞ puis que |y^′(t)| ≤ 1 et |y^′′(t)| =

|y^′(t) cos(u(t))| ≤1. Calculons maintenant l’erreur de consistance δ_n = y(t_n+1)−ϕ(t_n, δt, y(t_n))

= y(t_n+1)−(

y(t_n) +δt sin(y(t_n)) )

= y(tn+1)−(

y(tn) +δt y^′(tn) )

.

(1.49)

D’apr`es la formule de Taylor avec reste int´egrale δn =

∫ tn+1

tn

(tn+1−t)y^′′(t)dt (1.50) Nous pouvons alors majorer pour conclure

|δ_n| ≤

∫ tn+1

tn

(t−t_n)dt= (t_n+1−t_n)² 2 = δt²

2 . (1.51)

Le sch´ema est donc consistant d’ordre 1.

1.7 Convergence d’un sch´ema num´erique

On approche la solution de









ChercherY :R+ −→R^pde classeC¹ tel que Y^′(t) =F(t, Y(t)) pourt≥0,

Y(0) =α.

(1.52)

par un sch´ema num´erique `a un pas

Y_n+1 =ϕ(t_n, δt, Y_n) ∀n∈N. (1.53) On dit que ce sch´ema converge `a l’ordrem pourt ≤ T s’il existe C : R+ −→Rcontinue tel que

∀n ∈N ∀δt >0 ∥Y(tn)−Yn∥ ≤ C(tn)δt^m. (1.54) Theoreme 1.2 (Principe de Lax) Si un sch´ema est stable et consistant d’ordre m alors il converge d’ordrem.

Preuve.Pour toutn≥p, nous notons(Y_n^p)_n≥p la suite d´efinie par

Y_p^p =Y(t_p)et pourn≥p Y_n+1^p =ϕ(t_n, δt, Y_n^p) (1.55) Soitn ∈Ntel quet_n ≤ T. Il nous faut estimere_n =Y_n−Y(t_n)que nous d´ecomposons sous la forme

En=Y_nⁿ−Y_n⁰ =Y_nⁿ−Y_nⁿ⁻¹+Y_nⁿ⁻¹ − · · · −Y_n¹+Y_n¹−Y_n⁰ (1.56)

D’apr`es l’in´egalit´e triangulaire on a

∥E_n∥ ≤ ∥Y_nⁿ−Y_nⁿ⁻¹∥+· · ·+∥Y_n^k−Y_n^k−1∥+· · ·+∥Y_n¹−Y_n⁰∥. (1.57) Remarquons que les suites(Y_n^k)_n≥ket(Y_n^k−1)_n≥kv´erifient toutes deux

Y_n+1^k =ϕ(t_n, δt, Y_n^k)etY_n+1^k−1 =ϕ(t_n, δt, Y_n^k−1) (1.58) et sont initialis´ees par

Y_k^k =Y(t_k) et Y_k^k−1 =ϕ(t_k−1, δt, Y(t_k−1)) (1.59) Comme le sch´ema est stable, on a

∥Y_n^k−Y_n^k−1∥ ≤ C∥Y(t_k)−ϕ(t_k−1, δt, Y(t_k−1))∥ (1.60) D’autre part, comme le sch´ema est d’ordremon a

∥Y_n^k−Y_n^k−1∥ ≤ C (δt)^m+1. (1.61) On obtient en sommantnfois cette in´egalit´e commetn=nδt

∥E_n∥ ≤ C^′ n(δt)^m+1 ≤ C^′ t_n(δt)^m. (1.62)

1.8 Exercices du chapitre 1

Exercice 1.1 (Etude de sch´emas d’Euler) Soita∈R⁺. On consid`ere l’EDO suivante

y^′(t) =−ay(t), t >0 (1.63) avec la condition initialey(0) =y0 ∈R.

1. Montrer que les sch´emas d’Euler explicite et d’Euler implicite sont consistants d’ordre 1. On pourra utiliser le fait que la solutionyest de classeC².

2. Etude de stabilit´e des sch´emas d’Euler implicite et explicite : montrer que le sch´ema d’Euler implicite est inconditionnellement stable puis que le sch´ema explicite est condi- tionnellement stable. Pour ce dernier, on pr´ecisera la condition de stabilit´e.

3. D´emontrer que les deux sch´emas sont convergents d’ordre au moins 1.

4. Cas vectoriel. SoitA ∈ R^n×n une matrice sym´etrique positive. On consid`ere `a pr´esent l’EDO suivante

y^′(t) =−Ay(t), t >0 (1.64) avec la condition initialey(0) =y₀ ∈Rⁿ.

Expliciter les sch´emas d’Euler explicite et implicite associ´es. Etudier la consistance, stabilit´e et convergence de ces sch´emas.

Exercice 1.2 (Etude de stabilit´e et sch´ema du point milieu) Soita >0eth >0. On consid`ere le sch´ema du point milieu









y₀ =α, y_n+¹

2 =y_n+ ^h₂F(t_n, y_n), y_n+1 =y_n+hF(t_n+¹

2, y_n+¹

2),

(1.65)

o`ut_n+¹

2 =t_n+^h₂, pour discr´etiser le probl`eme

{ y^′(t) =F(t, y(t)), t >0 y(0) = α.

D´eterminer sous quelle condition ce sch´ema(1.65)esta-stable siF(t, y) =−ay.

Exercice 1.3 Pour tracer un cercle C de centre (0,0) et de rayon r = 1, on peut tracer la courbe param´etr´ee{(x(t) = cost, y(t) = sint), t ∈[0,2π[}en utilisant un grand nombre de valeurs det.

1. Montrer que l’on obtient le cercleC en consid´erant le syst`eme diff´erentiel suivant













x^′(t) =−y(t), y^′(t) = x(t), x(0) = 1, y(0) = 0.

(1.66)

2. On poseh = ^2π_n. Montrer que la m´ethode d’Euler explicite appliqu´ee `a(1.66)conduit `a calculer les pointsP_kde coordonn´ees(x_k, y_k)^T tels que(x_k+1, y_k+1)^T =A_h(x_k, y_k)^T o`u A_h =

( 1 −h

h 1

) .

3. Montrer queA^T_hAh =AhA^T_h =

( 1 +h² 0 0 1 +h²

) .

4. Montrer quex²_k+1 +y²_k+1 = (1 +h²)(x²_k+y_k²). En d´eduire que les coordonn´ees de P_k v´erifientx²_k+y_k² = (1 +h²)^k. Les pointsP_ksont-ils sur le cercleC?

5. Montrer que la m´ethode d’Euler implicite conduit `a calculer les pointsQkdont les coor- donn´ees v´erifient dans ce casx²_k+y_k² = _(1+h¹2)^k.

6. On peut r´esoudre le probl`eme

{ u^′(t) = f(t, u(t)), t > 0 u(0) =u₀,

avec la m´ethode implicite du trap`eze en posant, pourk ⩾0: uk+1 =uk+h

2(f(tk, uk) +f(tk+1, uk+1)) .

Montrer qu’en l’utilisant pour le probl`eme(1.66), les pointsM_kque l’on calcule ont des coordonn´ees qui v´erifient pour toutk,x²_k+y_k² = 1.

Exercice 1.4 (Etude de stabilit´e et sch´ema d’Euler) On consid`ere le syst`eme diff´erentiel sui-

vant 













u^′(t) = −7u(t) + 3v(t), t >0 v^′(t) = 6u(t)−4v(t), t > 0 u(0) =α,

v(0) =β.

1. Ecrire ce syst`eme sous la formeY<sup>′</sup>(t) =AY(t)o`uY(t) = (u(t), v(t))^T.

2. Calculer la solution exacte de ce syst`eme, apr`es avoir diagonalis´e la matriceA.

3. Donnez la condition de stabilit´e pour la m´ethode d’Euler explicite appliqu´ee `a ce probl`eme.

Exercice 1.5 (M´ethode de Runge-Kutta) Les m´ethodes de Runge-Kutta s’´ecrivent sous la forme suivante :

















ki = f(tn+cih, yn+h

∑q j=1

ai,jkj), 1⩽i⩽q , Φ(tn, yn, h) =

∑q j=1

bjkj ,

yn+1 = yn+hΦ(tn, yn, h),

(1.67)

o`uh >0etA= (a_i,j)est triangulaire inf´erieure stricte.

1. Pour touti,1 ⩽i ⩽ q, on posey_n,i = y_n+h

∑q j=1

a_i,jk_j. Montrer que la m´ethode(1.67) peut s’´ecrire

















y_n,i = y_n+h

∑q j=1

a_i,jf(t_n+c_jh, y_n,j), 1⩽i⩽q , Φ(t_n, y_n, h) =

∑q j=1

b_jf(t_n+c_jh, y_n,j), y_n+1 = y_n+hΦ(t_n, y_n, h).

(1.68)

2. Soit λ > 0 un param`etre r´eel. On applique cette m´ethode sous la forme (1.68) pour discr´etiser le probl`eme {

y^′(t) =−λy(t), t > 0

y(0) =y₀. (1.69)

On pose Y_n = [y_n,1,· · ·, y_n,q]^T, et e = [1,· · · ,1]^T ∈ R^q. Montrer que le vecteur Y_n v´erifie le syst`eme deq ´equations

(I+hλA)Y_n =ey_n. 3. Montrer que la valeur approch´eey_n+1dey(t_n+1)v´erifie

y_n+1 =R(hλ)y_n, o`uR(hλ) = (1−hλb^T(I+hλA)⁻¹e).

4. On suppose que la m´ethode est d’ordrep. Montrer que la fonction de stabilit´eR(x)doit v´erifier

R(x) = 1−x+ x²

2! +· · ·+ (−1)^px^p

p! +O(x^p+1). 5. Montrer en utilisant(1.70)que pourxassez petit, la fonctionRv´erifie

R(x) = 1 +

∑∞ k=1

(−x)^kb^TA^k−1e .

En d´eduire que les conditions suivantes sont n´ecessaires pour que la m´ethode soit d’ordre p:

b^TA^k−1e= 1

k! , 1⩽k ⩽p .

6. On suppose que la m´ethode est explicite. Montrer en utilisant(1.71) que la fonctionR v´erifie

R(x) = 1−x+x²

2! +· · ·+ (−1)^px^p p! +

∑q k=p+1

(−x)^kb^TA^k−1e .

Remarque 1.5 Si pour une norme matricielle donn´ee, ∥B∥ < 1, alors la matrice I −B est inversible, et son inverse est donn´ee par la s´erie g´eom´etrique

(I−B)⁻¹ =

∑∞ k=0

B^k (1.70)

Si la matriceA∈ Mq(R)est strictement triangulaire inf´erieure, alors d`es quej ⩾q, on aura

A^j = 0. (1.71)

Exercice 1.6 (Une m´ethode multipas) Nous avons ´etudi´e en cours uniquement des m´ethodes

`a un pas. Dans ce cas, le calcul de y_n+1 ne fait intervenir que les instants t_net t_n+1. Il existe aussi des m´ethodes qui font intervenir des instants ant´erieurs. Il s’agit desm´ethodes multipas.

On s’int´eresse au probl`eme de Cauchy suivant

{ y^′(t) = f(t, y(t)), t >0

y(0) =y₀. (1.72)

On choisit un pas h > 0, on d´efinit les instantst_n (t_n+1 = t_n+h), n ⩾ 0, et on note f_n = f(t_n, y_n). Les m´ethodes multipas (`ak+1pas) lin´eaires associ´ees au probl`eme(1.72)s’´ecrivent sous la forme suivante

y_n+1+α₀y_n+· · ·+α_ky_n−k =h(β₋₁f_n+1+β₀f_n+· · ·+β_kf_n−k). (1.73) Ces m´ethodes sont dites lin´eaires car la formule(1.73)est lin´eaire par rapport `af.

Dans cet exercice, on s’int´eresse `a un sch´ema `a2pas d´efini par

yn+1+α0yn+α1yn−1 =hβfn+1 . (1.74)

1. Le sch´ema(1.74)est-il implicite ou explicite ?

La formule(1.74)peut ˆetre utilis´ee pourn ⩾1, le calcul dey₁se faisant par exemple en utilisant la m´ethode d’Euler implicite. Pour cette m´ethode, l’erreur locale de consistance est donn´ee par

τ_n=y(t_n+1)−α₀y(t_n)−α₁y(t_n−1)−hβf(t_n+1, y(t_n+1)). Par d´efinition, la m´ethode est d’ordrepsiτ_n=O(h^p+1).

2. On suppose que la solutiony est de classeC³ et : y(t_n) ̸= 0, y^′(t_n) ̸= 0ety^′′(t_n) ̸= 0.

D´eterminer les coefficientsα0,α1etβde sorte que la m´ethode(1.74)soit d’ordre2.

3. En d´eduire que la m´ethode s’´ecrira y_n+1+ 4

3y_n− 1

3y_n−1 = 2h 3 f_n+1 .

4. On ´etudie par la suite la stabilit´e de cette m´ethode en l’appliquant au probl`eme { y^′(t) =−λy(t), t > 0

y(0) =y₀, (1.75)

o`uλ >0est un param`etre r´eel. V´erifier que lesy_nsatisfont la relation y_n+1(1 + 2λh

3 ) + 4

3y_n− 1

3y_n−1 = 0.

5. Montrer qu’il exister₁, r₂ ∈Rtels que lesy_nsatisfonty_n=a₁rⁿ₁ +a₂rⁿ₂.

6. Conclure quant `a la convergence de la m´ethode(1.74)d’ordre2appliqu´ee au probl`eme (1.75).

Chapitre 2

La m´ethode des diff´erences finies pour les probl`emes aux limites statiques

2.1 Diff´erences finies en dimension 1

La plupart des fonctions ne peuvent pas ˆetre repr´esent´ees par des formules analytiques. Il est donc impossible de calculer leurs d´eriv´ees, mˆeme avec un code de calcul formel. La m´ethode des diff´erences finies propose un moyen de calculer une approximation num´erique des valeurs des d´eriv´ees d’une fonction.

On se place sur le segment [0, L] que l’on discr´etise `a l’aide de la grille d´efinie par ses sommets

x_n =nh avecn∈[[0, N]]etN h=L. (2.1) On dit quehest le pas de la grille. L’´ecarthentrex_netx_n+1 ´etant constant, on parle de grille uniforme. On consid`ere une fonction r´eguli`ereu: [0, L]−→Ret on noteunla valeur deuen x_n

u_n=u(x_n). (2.2)

Une diff´erence finie `a p points est une combinaison lin´eaire dep u_n. Elles ont pour vocation d’approcher les d´eriv´ees deuau pointx_n.

SoitDuune diff´erence finie. On dit queDuapprocheu^(l)(xn)`a l’ordreqsi il existeC >0 eth₀ >0

∀h∈[0, h₀] ∥Du−u^(l)(x_n)∥ ≤Ch^q. (2.3)

b b b b b b b b

x_n = n = 0

0 1 h 2h

2 n−1

(n−1)h n nh

n+ 1 (n+ 1)h

N−1 N L FIGURE 2.1 – Une grille uniforme de pash

2.2 Quelques exemples de diff´erences finies

2.2.1 Diff´erence finie d´ecentr´ee `a droite

A partir de la d´efinition de la d´eriv´ee u^′(x) = lim

h→0

u(x+h)−u(x)

h , (2.4)

on introduit pour approcheru^′(x_n)la diff´erence finie d´ecentr´ee `a droite u_n+1−u_n

h . (2.5)

Calculons l’ordre en h de cette approximation Comme [0, L] est compact, notons que la fonctionu∈ C^∞([0, L])ainsi que ses d´eriv´ees sont born´ees en valeur absolue. On note∥v∥∞

le maximum de|v(x)|. Pour toutx∈[0, L]on a

|u(x)| ≤ ∥u∥_∞, |u^′(x)| ≤ ∥u^′∥_∞, |u^′′(x)| ≤ ∥u^′′∥_∞. (2.6) Nous allons utiliser le d´eveloppement de Taylor pour d´eterminer l’ordre de la diff´erence finie.

Commeu_n+1 =u(x_n+1) = u(x_n+h)on a

u_n+1 = u(x_n) +hu^′(x_n) + ^h₂²u^′′(x_n) + ^h₆³r(h), un = u(xn).

(2.7) avec|r(h)| ≤ ∥u⁽³⁾∥∞. En soustrayant il suit

u_n+1−u_n

h =u^′(x_n) + h

2u^′′(x_n) + h²

6 r(h). (2.8)

On conclut donc que d`es queu<sup>′′</sup>(x<sub>n</sub>)̸= 0, la diff´erence finie d´ecentr´ee `a droite ^un+1_h^−un est une approximation d’ordre 1 deu^′(xn). Cette approximation est au moins d’ordre 2 siu^′′(xn) = 0;

2.2.2 Diff´erences finies d´ecentr´ees `a gauche

L’id´ee est tr`es similaire. On approcheu^′(x_n)par u_n−u_n−1

h . (2.9)

Calcul de l’ordre.Commeun−1 =u(xn−1) = u(xn−h), un d´eveloppement de Taylor nous fournit

u_n = u(x_n),

un−1 = u(xn)−hu^′(xn) + ^h₂²u^′′(xn) + ^h₆³r(h), (2.10) avec |r(h)| ≤ ∥u⁽³⁾∥_∞. En formant la diff´erence finie nous montrons que ^un−_h^un−1 est une approximation d’ordre1deu^′(xn)siu^′′(xn)̸= 0.

u_n−u_n−1

h =u^′(x_n)− h

2u^′′(x_n) + h²

6 r(h). (2.11)

2.2.3 Diff´erence finie centr´ee

Afin d’am´eliorer l’approximation deu^′(x_n), nous d´efinissons une diff´erence finie b´en´eficiant de plus de sym´etrie que les deux pr´ec´edentes

u_n+1−u_n−1

2h . (2.12)

Calcul de l’ordre On ´ecrit le d´eveloppement de Taylor `a un ordre suffisant afin de faire ap- paraˆıtre l’ordre optimal de la diff´erence finie

u_n+1 =u(x_n) +hu^′(x_n) + h²

2u^′′(x_n) + h³

3!u⁽³⁾(x_n) + h⁴

4!u⁽⁴⁾(x_n) + h⁵ 5!r(h), un−1 =u(xn)−hu^′(xn) + h²

2 u^′′(xn)− h³

3!u⁽³⁾(xn) + h⁴

4!u⁽⁴⁾(xn) + h⁵ 5!r(h),

avec la fonction g´en´eriquerv´erifiant|r(h)| ≤ ∥u⁽⁵⁾∥∞. En formant la diff´erence finie puis en simplifiant on a

un+1−un−1

2h =u^′(xn) + h²

3!u⁽³⁾(xn) + h⁴

5!r(h). (2.13)

On a obtenu que la diff´erence finie est d’ordre2siu⁽³⁾(xn)̸= 0et d’ordre au moins 4 sinon.

2.2.4 Le sch´ema `a trois points

On approche iciu^′′(x_n)par la diff´erence finie

u_n+1−2u_n+u_n−1

h² (2.14)

Cette diff´erence finie s’obtient `a l’aide d’un raisonnement formel qui consiste `a emboˆıter deux diff´erences finies

u^′′(x_n) ≃ 1 h

(

u^′(x_n+h/2)−u^′(x_n−h/2) )

≃ 1 h

(u(x_n+h)−u(x_n)

h − u(x_n)−u(x_n−h) h

)

≃ u_n+1−2u_n+u_n−1 h²

(2.15)

Calcul de l’ordre de cette diff´erence finie On utilise encore une fois le d´eveloppement de Taylor de la fonctionuautour du pointx_n

u_n+1=u(x_n) +hu^′(x_n) + h²

2 u^′′(x_n) + h³

3!u⁽³⁾(x_n) + h⁴

4!u⁽⁴⁾(x_n) + h⁵

5!u⁽⁵⁾(x_n) + h⁶ 6!r(h), u_n=u(x_n),

u_n−1 =u(x_n)−hu^′(x_n) + h²

2 u^′′(x_n)−h³

3!u⁽³⁾(x_n) + h⁴

4!u⁽⁴⁾(x_n)− h⁵

5!u⁽⁵⁾(x_n) + h⁶ 6!r(h), avec la fonction g´en´eriquerv´erifiant|r(h)| ≤ ∥u⁽⁶⁾∥∞.

u_n+1−2u_n+u_n+1

h² =u^′′(x_n) + 2h²

4! u⁽⁴⁾(x_n) + 2h⁴

6!r(h) (2.16)

La diff´erence finie `a trois points est une approximation d’ordre 2 de u^′′(x_n)si u⁽⁴⁾(x_n) ̸= 0.

Elle est au moins d’ordre 4 siu⁽⁴⁾(xn) = 0.