Exercices du chapitre 2













A_n,n−1 =−_h²2, A_n,n = _h⁴2, An,n+I =− 1

h², b_n = 1 + ²_h.

(2.138)

(2.127)=⇒i=I etj =I













A_n,n−I =−_h²², A_n,n−1 =−_h²², A_n,n = _h⁴2 + ²_h, b_n = 1 + ²_h.

(2.139)

(2.129)=⇒i= 1etj =I













A_n,n−I =−_h²2, A_n,n= _h⁴2 + ²_h, A_n,n+1 =−_h¹2, bn = 1.

(2.140)

2.5 Exercices du chapitre 2

Exercice 2.1 (Diff´erence finie d’ordre 2) Soitu ∈ C³(R). D´eterminer les r´eels a, b, cpour que la diff´erence finie

a u_n+b u_n+1+c u_n+2 h

soit une approximation d’ordre au moins 2 deu^′(xn).

Exercice 2.2 (Diff´erence finie d’ordre 4) Soitu ∈ C⁶(R). D´eterminer les r´eels a, b, c, d, e pour que la diff´erence finie

a u_n−2+b u_n−1+c u_n+d u_n+1+e u_n+2 h²

soit une approximation d’ordre au moins 4 deu^′′(xn).

Exercice 2.3 (Diff´erence finie d’ordre p) Soit u ∈ C^p+1(R). Montrer qu’il existe des r´eels a0,a1,· · ·,aptel que la diff´erence finie

a₀ u_n+a₁ u_n+1+· · ·+a_p u_n+p h

soit une approximation d’ordre au moinspdeu^′(x_n).

Exercice 2.4 (Translations `a droite et diff´erence finie) Soitu∈C^∞(R). On noteU = (u_n)_n∈Z. On noteτ_p l’application

U = (u_n)_n∈Z7−→τ_pU = (u_n+p)_n∈Z (2.141) On d´efinit les op´erateursD_p,p∈Npar r´ecurrence :

D₀ =IetD_p+1U = τ₁−τ₋₁

2h D_pU (2.142)

1. Montrer l’identit´e suivante D_p =

( 1 2h

)p∑p k=0

(−1)^kC_p^k τ_p−2k

2. Montrer que(D_pU)_nest une approximation d’ordre au moins2deu^(p)(x_n).

Exercice 2.5 (Equation de Poisson) On consid`ere un probl`eme de Poisson avec conditions de Dirichlet non-homog`enes :

−u^′′(x) = f(x) pourx∈]0,1[, u(0) =a et u(1) =b.

1. Proposer un sch´ema aux diff´erences finies d’ordre 2 pour approcher la solution de cette

´equation.

2. Comment se traduisent les conditions aux limites non-homog`enes ? Exercice 2.6 (Discr´etisation d’un probl`eme de Laplace ) On consid`ere le

probl`eme suivant

−u^′′(x) = cos(x) pourx∈]0, π[, u(0) = 2 et u^′(π) +u(π) = 3.

1. Montrer que ce probl`eme est bien pos´e. D´eterminer la solution exacte de ce probl`eme.

2. Proposer une discr´etisation de ce probl`eme par diff´erence finies sans et avec points fantˆomes. On donnera les formulations ´elimin´ees correspondantes.

3. Impl´ementer la discr´etisation ´elimin´ee avec point fantˆome sous Matlab.

Exercice 2.7 (Valeurs propres et discr´etisation) On s’int´eresse aux valeurs propres d’une ma-trice tridiagonaleAde taille(N −1)×(N −1)dont le coefficient g´en´erique(a_i,j)est d´efini par :

ai,i = 2/h², ai,j =−1/h²si|i−j|= 1, ai,j = 0sinon.

1. On veut ´etudier les ´el´ements propres de la matrice A. D´emontrer queA est diagonali-sable.

2. On consid`ere une valeur propreλdeAet un vecteur propre associ´ex= (x1,· · · , xN−1).

(a) En posant x₀ = 0et x_N = 0, montrer que lesx_i sont les premiers termes d’une suite r´ecurrente lin´eaire d’ordre 2.

(b) D´eterminer l’´equation caract´eristique associ´ee `a cette suite. Calculer son discrimi-nant∆en fonction deλ.

(c) En d´eduire de la conditionx_N = 0que∆̸= 0. 3. Montrer alors que les valeurs propres deAsont les_h¹2

(2−2 cos(^kπ_N))

pourk= 1,· · ·, N− 1et calculer les vecteurs propres associ´es.

4. En d´eduire en particulier que la matrice sym´etriqueAest d´efinie positive.

5. Calculer len<sup>`eme</sup>plus petit r´eelλ<sub>n</sub>associ´e `a l’´equation diff´erentielle ordinaire

u^′′+λ_nu= 0, u(0) = 0, u(L) = 0. (2.143) Calculerλ^h_nlan^`emevaleur propre de

A=

Exercice 2.8 (Un probl`eme de Neumann) On consid`ere le probl`eme suivant :

−u^′′(x) = f(x), pourx∈]0,1[, u^′(0) = 0 et u^′(1) = 0.

1. Montrer qu’une condition n´ecessaire pour que le probl`eme admette une solution est

∫1 0

f(x)dx= 0

On suppose que cette condition est v´erifi´ee dans la suite de l’exercice.

2. Montrer que la solution du probl`eme est d´etermin´ee `a une constante pr`es.

3. Proposer un sch´ema aux diff´erences finies d’ordre 2. Expliquer comment se traduisent les conditions aux limites.

4. Ecrire le probl`eme discr´etis´e sous forme matricielle AU = F, o`u A est une matrice sym´etrique de tailleN + 2.

5. a- V´erifier que

A

b- En consid´erant le sous-blocAij=2,...,N+2montrer que la matriceAest de rang sup´erieur ou ´egal `aN + 1.

c- En d´eduire la dimension du noyau de l’application lin´eairef_Ade matriceA.

d- Montrer que Im(f_A) = (Ker(f_A))^⊥.

6. D´eduire de la question pr´ec´edente une condition que devra v´erifier le second membreF afin que le syst`eme lin´eaire admette au moins une solution.

7. Proposer un vecteurFeayant cette propri´et´e et qui constitue une approximation deF.

Exercice 2.9 (Un probl`eme de Sturm-Liouville) On consid`ere l’´equation diff´erentielle sui-vante :

(P)





−u^′′(x) +p(x)u^′(x) +q(x)u(x) = f(x), x∈]0,1[

u(0) =α u(1) =β

o`u p, q et f sont trois fonctions donn´ees dans C⁴([0,1]) et α, β sont deux r´eels donn´es. On supposera ´egalement qu’il existe trois constantes positivesp, q, qtelles que,

∀x∈[0,1] |p(x)| ≤p, 0< q ≤q(x)≤q .

On admettra que le probl`eme(P)admet une unique solutionu∈C<sup>6</sup>([0,1]). Le but de cet exer-cice est de construire un sch´ema d’approximation du probl`eme(P)et d’´etablir une estimation d’erreur.

On subdivise l’intervalle [0,1]en n+ 1sous-intervalles[x_i, x_i+1] avecx_i = ihpour i = 0, ..., n+ 1 o`u h = 1/(n+ 1) et on noterau_i l’approximation de la solution enx = x_i. On notera ´egalementpi =p(xi), qi =f(xi)etfi =f(xi),pouri= 0, ..., n+ 1

1. Montrer que la solution du probl`eme(P)v´erifie pour touti= 1, ..., n

−u(x_i−1) + 2u(x_i)−u(x_i+1)

h² +p_iu(x_i+1)−u(x_i−1)

2h +q_iu(x_i) = f_i +h²

12

[2p_iu⁽³⁾(η_i)−u⁽⁴⁾(ξ_i)] , o`uη_i, ξ_i ∈]x_i−1, x_i+1[.

2. En d´eduire le sch´ema d’approximation suivant du probl`eme(P):

(Ph)







−u_i−1+ 2u_i−u_i+1

h² +p_iu_i+1−u_i−1

2h +q_iu_i =f_i, i= 1, ..., n u0 =α

u_n+1 =β

3. Montrer que le sch´ema(P_h)peut s’´ecrire sous forme matricielle (S) Au =b

o`u on a not´e u = (u<sub>1</sub>, ..., u<sub>n</sub>)<sup>T</sup> et tel que la matrice A soit `a diagonale strictement positive. On explicitera la matriceAet le vecteurb.

4. On suppose dans cette question que

h <2/L, (2.145)

o`uL= sup

x∈[0,1]

|p(x)|.

(a) Montrer que la matriceA du syst`eme(S) est `a diagonale strictement dominante (i.e.∀i= 1, ..., n,|aii|>∑

j̸=i

|aij|).

(b) En d´eduire que le syst`eme(S)admet une unique solution.

5. On suppose encore que le pas d’approximationhv´erifie l’hypoth`ese pr´ec´edente (2.145).

(a) Montrer que la solution du probl`eme(P)v´erifie (2 +h²q_i)u(x_i)−

i=0,...,n+1|e_i|. D´emontrer l’estimation d’erreur suivante e≤

Exercice 2.10 (Discr´etisation ´elimin´ee) Proposer une formulation discr´etis´ee avec ´elimination et points fantˆomes du probl`eme suivant



Exercice 2.11 (Discr´etisation en dimension 2 et 3) On consid`ere le probl`eme suivant



1. Proposer une discr´etisation du probl`eme(2.147)lorsqueΩ = [0,1]². 2. Mˆeme question pourΩ = [0,1]³.

Chapitre 3

Discr´etisation des probl`emes aux limites d’´evolution

3.1 Discr´etisation de l’´equation de r´eaction-advection-diffu-sion en dimenr´eaction-advection-diffu-sion un d’espace

Nous consid´erons un probl`eme pos´e sur le domaine

{(x, t)∈[0, L] :x∈[0, L]ett≥0}. (3.1) qui s’´ecrit sous la forme









∂_tu(x, t)−P u(x, t) = f(x, t) pourx∈[0, L]ett≥0 L_Gu=α, L_Du=β,

u(x,0) =u⁰(x) pourx∈[0, L].

(3.2)

avecP,L_G etL_D des op´erateurs diff´erentiels











































P u(x) = a(x)∂_x²u(x) +b(x)∂_xu(x) +c(x)u(x),

L_Gu = u(0, t), (condition de Dirichlet) ou ∂_xu(0, t), (condition de Neumann) ou ∂_xu(0, t) +γu(0, t), (condition de Fourier) ou ∂_xu(0, t) +γu(0, t) +γ^′∂_tu(0, t),

L_Du = u(L, t), (condition de Dirichlet) ou ∂_xu(L, t), (condition de Neumann) ou ∂xu(L, t) +δu(L, t), (condition de Fourier) ou ∂_xu(L, t) +δu(L, t) +δ^′∂_tu(L, t).

(3.3)

On parle d’´equation principale pour la premi`ere ligne de (3.2), de conditions aux limites pour la deuxi`eme ligne et de condition initiales pour la derni`ere ligne.

D’autre part, on parle de

b points virtuels

b points de la grille espace-temps

b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b

b b b b b b b b b b

i=-1 0 1 i−1 i i+ 1 I I+ 1

x_n=−h 0 h (i−1)h ih (i+ 1)h L L+h x t

0 1 n−1 n n+ 1

FIGURE 3.1 – grille espace-temps – terme de diffusion poura(x)∂_x²u(x, t)

– terme d’advection pourb(x)∂_xu(x, t) – terme de r´eaction pourc(x)u(x, t)

Dans la suite, en chacun des points de la grille espace-temps

x_i =ihett_n =nδtaveci∈[[0, I]]etn≥0avecIh=L, (3.4) nous allons d´efinir une approximation num´erique de la solutionu

uⁿ_i ≃u(x_i, t_n) pouri∈[[0, I]]etn≥0. (3.5) Les conditions aux limites contenant le terme ∂_xu(x, t) seront souvent prises en compte en introduisant les points virtuelsuⁿ₋₁ etuⁿ_I+1, voir figure 3.1

3.1.1 Semi-discr´etisation en espace

Nous discr´etisons nos fonction dans la variable d’espace tout en conservant le caract`ere continu du temps. Nous introduisons les fonctionsu_i(t)qui approchentu(x_i, t).

u_i(t)≃u(x_i, t) pour touti (3.6)

Les ui(t) ne seront jamais calcul´es en pratique mais sont des interm´ediaires pour d´eriver les sch´emas num´eriques

Nous allons pour d´efinir lesu_i(t)remplacer les d´erives partielles en espace par des diff´eren-ces finies qu’on choisira le plus souvent centr´ees. Rappelons que les diff´erendiff´eren-ces finies centr´ees

sont donn´ees par 

Exemple 1.On va illustrer la semi-discr´etisation en espace sur le probl`eme

 avec un point fantˆome `a droite afin d’approcher de mani`ere pr´ecise ∂_xu(L, t). On commence par approcher l’´equation

∂tu(xi, t)−∂_x²u(xi, t) = 1 ∀i∈[[1, I]] ∀t ≥0 (3.9) On obtient le sch´ema

∂tui(t)− u_i+1(t)−2u_i(t) +u_i−1(t)

h² = 1 ∀i∈[[1, I]] ∀t≥0. (3.10) Pour la condition `a la limite `a gauche on a

u₀(t) = 0. (3.11)

Pour la condition `a la limite `a droite on a

u_I+1(t)−u_I−1(t)

2h +u_I(t) = 0. (3.12)

Exemple 2.On va illustrer la semi-discr´etisation en espace sur le probl`eme

 afin d’approcher de mani`ere pr´ecise∂_xu(π, t). On obtient le sch´ema



3.1.2 Formulation ´elimin´ee

L’id´ee ici est de transformer le syst`eme d’´equations afin de faire apparaˆıtre un probl`eme aux donn´ees initiales en ´eliminant toutes les variables associ´ees `a aucune d´eriv´ee en temps.

On aboutit alors `a un syst`eme d’EDO coupl´ees pouvant se mettre sous la forme d’une EDO vectorielle avecU(t) = (u_i(t))_i

{ U^′(t) +AU(t) = F(t), ∀t ≥0,

U_i(0) = u⁰(x_i). (3.15)

Reprenons les deux exemples pr´ec´edents.

Exemple 1.Nous ´eliminons maintenant u₀(t) = 0 etu_I+1(t) = u_I−1(t)−2hu_I(t). On peut alors r´e´ecrire (3.10) sous la forme d’un syst`eme d’EDO



avecF(t) = (0, t, t,· · · , t, t+ _2h¹ −1)^T ∈R^I+1etA∈R^(I+1)×(I+1)donn´es par

A=

















1 0 0 · · · · · · · · · 0

−_h¹2 −_2h¹ _h²2 −_h¹2 +_2h¹ 0 · · · · · · 0 0 −_h¹2 − _2h¹ _h²2 −_h¹2 + _2h¹ 0 · · · 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 0 · · · 0 −_h¹2 − _2h¹ _h²2 −_h¹2 + _2h¹ 0 0 · · · · · · 0 −_h¹² − _2h¹ _h²² −_h¹² + _2h¹

0 · · · · · · · · · 0 −_h²2

2 h²

















(3.21)

3.1.3 Discr´etisation en temps

Afin d’aboutir au sch´ema utilis´e en pratique, on discr´etise l’EDO (3.15) `a l’aide d’un sch´ema num´erique. Pour les sch´emas pr´esent´es au chapitre 1, ceci s’´ecrit avecFⁿ=F(tⁿ).

– Euler explicite.

Uⁿ⁺¹ =Uⁿ−δtAUⁿ+δtFⁿ ∀n∈N. (3.22) – Euler implicite. (

I +δtA )

Uⁿ⁺¹ =Uⁿ+δtFⁿ⁺¹ ∀n∈N. (3.23) – Trap`ezes implicites. On parle aussi de sch´ema de Cranck-Nicholson

(

I+δtA 2

)

Uⁿ⁺¹ = (

I− δtA 2

)

Uⁿ+δtFⁿ⁺¹+Fⁿ

2 ∀n∈N. (3.24)

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