2.3.1 Position du probl`eme
SoitL >0. Nous notons parx7→a(x),x7→b(x),x7→c(x)etx7→f(x)des fonctions de la droite r´eelle de classeC∞aveca(x)> a0 >0. Soientα,β,γetδdes r´eels.
On consid`ere le probl`eme de chercheru∈C∞([0, L])v´erifiant
P u(x) =f(x) ∀x∈[0, L] LGu=αetLDu=β (2.17) avecP,LG etLD des op´erateurs diff´erentiels d´efinis par
P u(x) = a(x)u′′(x) +b(x)u′(x) +c(x)u(x),
LGu = u(0), (condition de Dirichlet)
ou u′(0), (condition de Neumann)
ou u′(0) +γu(0)avecγ ∈R, (condition de Fourier) LDu = u(L), (condition de Dirichlet)
ou u′(L), (condition de Neumann)
ou u′(L) +δu(L)avecδ∈R. (condition de Fourier)
(2.18)
On parle d’´equation principale pour l’´equationP u=f et de conditions `a la limite pourLGu= αetLDu=β.
D´efinition 2.1 On dit queu7→a(x)u′′est la partie principale de l’op´erateurP. D’autre part, on parle d’op´erateur elliptique sia(x)> a0 >0.
Nous allons dans ce chapitre proposer des m´ethodes d’approximation de la solution du pro-bl`eme (2.17).
Theoreme 2.1 Rappelons quea,b,cetfsont des fonctionsC∞. Dans le cas o`ua(x)> a0 >0, le probl`eme(2.17)admet une unique solution (on dit aussi ”est bien pos´e”) ssi on a
(
P v(x) = 0 ∀x∈R LGv = 0 et LDv = 0 )
=⇒v = 0. (2.19) Nous allons dans la suite calculer une approximation de la fonction u `a l’aide de la m´ethode des diff´erences finies. Nous ne pouvons pas calculer (`a l’aide d’un ordinateur) toutes les va-leurs de la fonctionu(les ordinateurs ne peuvent traiter qu’un nombre fini d’op´erations). Nous introduisons donc la grille d´efinie par ses sommetsxn
xn =nhavecn∈[[0, N]]etN h=L. (2.20) On approche ensuite la valeur de la fonctionuenxnparun
un ≃u(xn) (2.21)
Nous avons donc `a d´eterminerN + 1inconnuesun. Afin d’avoir un syst`eme d’´equations bien pos´e nous avons besoin deN + 1 ´equations. Enfin, on note
fn=f(xn), an=a(xn), bn =b(xn), cn =c(xn). (2.22)
2.3.2 Discr´etisation de l’´equation principale
Plac¸ons nous en0< xn< L, ie.1< n < N −1. Nous allons approcher l’´equation
P u(xn) = f(xn) (2.23)
C’est `a dire
a(xn)u′′(xn) +b(xn)u′(xn) +c(xn)u(xn) =f(xn). (2.24) On approche les d´eriv´eesu′etu′′deupar des diff´erences finies. Nous utilisons des diff´erences finies centr´ees pouru′ etu′′(diff´erence finie `a trois points)
an
(un+1−2un+un−1 h2
) +bn
(un+1−un−1 2h
)
+cnun=fn. (2.25) On obtient apr`es avoir rang´e les inconnues par indice croissant
(an h2 − bn
2h )
un−1+
(−2an h2 +cn
) un+
(an h2 + bn
2h )
un+1 =fn. (2.26)
2.3.3 Discr´etisation des condition aux limites
On se place ici enn = 0c’est `a direxn = 0.Remarquons que la grille ne contient pas de points `a gauche dexn. Il n’est donc pas possible de consid´erer une diff´erence finie centr´ee pour approcheru′(0). Nous devons donc utiliser une diff´erence finie d´ecentr´ee `a droite
u′(0)≃ u1−u0
h (2.27)
Nous avons trois types possibles de conditions `a la limite.
– Condition de Dirichlet : u(0) = α. C’est la plus facile `a discr´etiser. Elle s’´ecrit tous simplement
u0 =α. (2.28)
– Condition de Neumann :u′(0) =α.
u1−u0
h =αc’est `a dire − 1
hu0+ 1
hu1 =α. (2.29)
– Condition de Fourier :u′(0) +γu(0) =α.
u1−u0
h +γu0 =αc’est `a dire(γ− 1
h)u0 + 1
hu1 =α (2.30)
On se place enn=N c’est `a direxn=L.Nous ne disposons pas cette fois de points de grille
`a droite dexn. Il nous faut pour approcheru′(L)une diff´erence finie d´ecentr´ee `a gauche u′(L)≃ uN −uN−1
h . (2.31)
Il nous faut encore pouvoir discr´etiser les trois types de condition `a la limite – Condition de Dirichlet :u(L) = β.
uN =β. (2.32)
– Condition de Neumann :u′(L) = β.
uN −uN−1
h =αc’est `a dire − 1
huN−1+ 1
huN =β. (2.33)
– Condition de Fourier :u′(L) +δu(L) =β.
uN −uN−1
h +δuN =αc’est `a dire − 1
huN−1+ (δ+ 1
h)uN =β. (2.34)
2.3.4 Formulation vectorielle
Forme non ´elimin´eeLesN + 1valeursu(xn)de la solution de (2.17) ont ´et´e approch´ees par les un. Nous avons discr´etis´e l’´equation principale et les conditions aux limites et obtenu un syst`eme deN+ 1´equations affines reliant cesun. Nous mettons maintenant ces ´equations sous la forme
AU =ℓ (2.35)
avecA∈R(N+1)×(N+1),U ∈RN+1 etℓ ∈RN+1.
– La premi`ere ligne (n=0) de (2.35) contient, suivant la condition `a la limite enx= 0, soit (2.28), soit (2.29), soit (2.30).
– les lignes centrales (n= 1 `aN −1) contiennent (2.26).
– La derni`ere ligne (n = N) de (2.35) contient suivant la condition `a la limite soit soit (2.32), soit (2.33), soit (2.34).
Exemple.Nous allons exhiber la matriceAet le terme sourceℓdu probl`eme suivant
−u′′(x) +u(x) = 1, x∈[0, L], u(0) = 2,
u′(L) = 3.
(2.36)
La discr´etisation sur une grille uniforme prend la forme suivante
u0 = 2,
−un−1−2uh2n+un+1 +un= 1, pourn= 1 `aN −1,
uN−uN−1
h = 3,
(2.37)
ou sous forme ordonn´ee
u0 =,2
−h12un−1+ (h22 + 1)un−h12un+1 = 1, pourn= 1 `aN −1,
−h1uN−1+h1uN = 3.
(2.38)
Nous identifions maintenant avec (2.35) qui s’´ecrit sous sa forme d´evelopp´ee
∑N i=0
An,iui =ℓn, pourn= 0 `aN. (2.39)
On obtient donc
Il ne nous reste plus qu’`a inverser la matriceApour d´eterminer l’approximation num´erique de u.
Forme ´elimin´eeRemarquons que la premi`ere ligne et la derni`ere ligne deAn’ont pas du tout la mˆeme structure que les lignes centrales de cette matrice. Afin de corriger cette propri´et´e, qui peut ˆetre gˆenante lors de l’inversion num´erique nous ´eliminons les inconnuesu0 etuN par de simple op´erations alg´ebriques. Reprenons les deux premi`eres lignes de (2.38)
{ u0 = 2,
De mˆeme `a partir des deux derni`eres lignes de (2.38)
{ −h12uN−2+ (h22 + 1)uN−1− h12uN = 1,
Remarquons qu’apr`es ´elimination la matriceAest sym´etrique.
2.3.5 M´ethode du point fantˆome ou virtuel
Les diff´erences finies, utilis´ees lors de la derni`ere section, ont approch´e `a l’ordre 2 l’´equation principale et seulement `a l’ordre 1 la condition `a la limite. La m´ethode du point fantˆome ou vir-tuel consiste `a prolonger `a toutRla solution du probl`eme (2.17)
P u(x) = f(x) ∀x∈R LGu=αetLDu=β (2.48) puis de la discr´etiser en utilisant une diff´erence finie centr´ee lorsque la condition `a la limite contient une d´eriv´ee. On devra dans ce cas ajouter un point de grille. Pour ˆetre plus concret, reprenons notre exemple.
A gauche, nous devons approcher une condition de Dirichlet. La discr´etisation de u(0) = 2 s’´ecrit
u0 = 2. (2.49)
Cette discr´etisation est exacte. Nous n’avons pas besoin de rajouter un point de grille. A droite afin de pouvoir discr´etiser la condition `a la limite u′(L) = 3 `a l’aide d’une diff´erence finie centr´ee autour de 0 nous introduisons le point de grille
xN+1 =L+h. (2.50)
Nous approchonsu(xN+1)paruN+1. La conditionu′(L) = 3s’´ecrit uN+1−uN−1
2h = 3. (2.51)
Afin de fermer le syst`eme nous devons discr´etiser l’´equation principale enxnpourn= 1 `aN.
−un−1−2un+un+1
h2 +un = 1 pourn = 1 `aN. (2.52)
Dans le cas d’uneformulation non ´elimin´ee avec point virtuelon a
U =
Pour uneformulation ´elimin´ee avec point virtuel, il nous faut ´elimineru0 etuN+1. Pouru0, le calcul a d´ej`a ´et´e effectu´e auparavant. PouruN+1, on a
Il suit apr`es ´elimination
− 1
On peut alors identifier les matrices et les vecteurs
U′ =