Considérons u ◦ h pour un h quelconque dans G : u + ◦ h = 1

MPSI B Corrigé du DM 9 29 juin 2019

Exercice 1

1. L'application u ⁺ est linéaire comme combinaison de composées d'applications linéaires.

Considérons u ◦ h pour un h quelconque dans G : u ⁺ ◦ h = 1

m X

g∈G

g ⁻¹ ◦ u ◦ g ◦ h = 1

m h ◦ X

g∈G

(g ◦ h) ⁻¹ u ◦ (g ◦ h).

Pour h xé, g ⁰ = g ◦ h décrit le groupe G lorsque g décrit G donc u ⁺ ◦ h = 1

m h ◦ X

g

∈G

g ⁰⁻¹ ◦ u ◦ g ⁰ = h ◦ u ⁺ .

2. Comme u ⁺ commute avec tout élément g de G , u ⁺⁺ = 1

m X

g∈G

g ⁻¹ ◦ u ⁺ ◦ g = 1 m

X

g∈G

g ⁻¹ ◦ g ◦ u ⁺ = u ⁺ .

3. a. L'application p est un projecteur sur F qui est stable par les éléments de G donc :

∀x ∈ F, p ⁺ (x) = 1 m

X

g∈G

g ⁻¹ ◦ p(g(x)

|{z}

∈F

) = 1 m

X

g∈G

g ⁻¹ ◦ g(x) = x

donc F est inclus dans l'image de p ⁺ .

D'autre part, pour tout x de E , p(g(x)) ∈ F donc g ⁻¹ ◦ p ◦ g(x) ∈ F par stabilité puis p ⁺ (x) ∈ F par linéarité. On en déduit que F est l'image de p ⁺ .

b. Soit g et h quelconques dans G et y quelconque dans E . Alors p(y) ∈ F ⇒ g ◦ h ⁻¹ ◦ p(y) ∈ F (stabilité de F )

⇒ p ◦ g ◦ h ⁻¹ ◦ p(y) = g ◦ h ⁻¹ ◦ p(y) ⇒ p ◦ g ◦ h ⁻¹ ◦ p = g ◦ h ⁻¹ ◦ p (à cause du ∀y)

⇒ g ⁻¹ ◦ p ◦ g ◦ h ⁻¹ ◦ p ◦ h = g ⁻¹ ◦ g ◦ h ⁻¹ ◦ p ◦ h = h ⁻¹ ◦ p ◦ h.

c. Pour montrer que p ⁺ est un projecteur, on forme p ⁺ ◦ p ⁺ . p ⁺ ◦ p ⁺ = 1

m ² X

(g,h)∈G

g ⁻¹ ◦ p ◦ g ◦ h ⁻¹ ◦ p ◦ h

= 1 m ²

X

(g,h)∈G

h ⁻¹ ◦ p ◦ h = 1 m

X

g∈G

p ⁺ = p ⁺ .

d. Pour tout x ∈ ker p ⁺ , p ⁺ ◦ g(x) = g ◦ p ⁺ (x) = 0 donc g(x) ∈ ker p ⁺ . D'où ker p ⁺ est stable par G .

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