CPP-la pr´epa des INP 2 `eme ann´ee lundi 10 d´ecembre 2012
Examen de Probabilit´es
Exercice 1. (8 points environ) La loi triangulaire est beaucoup utilis´ee en traitement du son. Sa densit´e est donn´ee par,
fX(x) = 1
a2(a− |x|)1[−a,a](x) o`ua est un param`etre r´eel strictement positif.
1) V´erifier que fX est bien une densit´e de probabilit´e et repr´esenter cette densit´e.
2) Calculer son esp´erance et sa variance.
3) CalculerP(2|X| ≥a).
4) On consid`ere icia= 1. Donner la loi de la variable al´eatoire Y =p
|X|.
On pourra commencer par d´eterminer l’ensemble de ses valeurs, sa fonction de r´epartition puis sa densit´e.
Exercice 2. Les deux parties sont ind´ependantes.
On consid`eren”menteurs” I1, I2, . . . In. Le menteur I1 re¸coit une infor- mation sous la forme de ”oui” ou ”non” et la transmet `a I2 et ainsi de suite jusqu’`a In. Chaque menteur transmet ce qu’il a entendu avec probabilt´e p (0< p <1) et transmet l’information contraire avec probabilit´e 1−p. On suppose que chaque menteur ment ou transmet fid`element l’information de mani`ere ind´ependante des autres menteurs.
Pour i = 1, . . . n, on note Ai l’´ev`enement: ”le menteur Ii transmet ce qu’il a entendu” et Bi l’´ev`enement: ”le menteur i transmet l’information initiale.
On notepnla probablit´e que le menteurIn transmette l’information ini- tiale.
Partie A (6 points environ)
1) Que valent P(Bi+1|Bi) et P(Bi+1|Bic)?
2) Calculer pn+1 en fonction de pn.
3) On posevn=pn−12. Montrer quevn+1=cvnavecc∈R`a d´eterminer.
En d´eduire l’expression devn et de pn.
4) Quelle est la limite de pn quand n→+∞?
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Partie B (6 points environ)
On note maintenantYnle nombre de menteurs parmi les menteursI1, . . . , In
qui ont transmis l’information fid`element (c’est-`a-dire celle qu’ils ont enten- due).
5) Quelle est la loi deYn?
6) Que peut-on dire de la quantit´e Ynn quandntend vers +∞?
7) On souhaite d´eterminer une taille d’´echantillon suffisanten0 telle que
`
a partir de n0, on ait P
Yn
n −p
≥0.01
≤0,05.
On utilisera ici le th´eor`eme central limite et on rappelera que p(1−p)≤ 14 et queP(|Z| ≥1,96)'0,05 si Z suit une loi normale N(0,1).
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