Probabilit´es et Statistique 2012-2013 Pr´eorientation IC 3`eme ann´ee
Feuille d’exercices 2.
Variables al´eatoires discr`etes
Exercice 1. Compagnie a´erienne
Pour maximiser son profit, une compagnie a´erienne d´ecide de vendre 100 billets pour 97 places. On suppose que chaque passager annule sa r´eservation avec une probabilit´e de 5% et ind´ependamment des autres passagers. On noteX le nombre d’annulations.
1. D´eterminez la loi de la variable al´eatoire X.
2. Calculez le nombre moyen d’annulations.
3. Quelle est la probabilit´e pour que tous les passagers aient une place ?
Exercice 2. Dur´ee de vie
Une entreprise commercialise un composant electronique dont la dur´ee de vie est suppos´ee al´eatoire. Tant qu’il fonctionne, et dans des conditions d’utilisation ’normales’, ce com- posant a une probabilit´e p de tomber en panne chaque ann´ee. Ce comportement est suppos´e ind´ependant d’une ann´ee sur l’autre pendant toute sa dur´ee de vie. De mˆeme, la valeur dep est suppos´ee inchang´ee pendant toute la p´eriode d’utilisation. On noteT l’ann´ee `a laquelle le composant tombe en panne (T = 1 si il tombe en panne au cours de la premi`ere ann´ee, ...).
1. Quelle est la loi deT ? V´erifiez que la somme des probabilit´es vaut 1.
2. Calculer la dur´ee de vie moyenne d’un composant ´electronique.
3. D´eterminer P(T >3), la probabilit´e que le composant fonctionne au moins 3 ans.
4. D´eterminer P(T > 5|T > 2), la probabilit´e que le composant fonctionne plus de 5 ans sachant qu’il est en service depuis 2 ans.
5. Comparer les deux probabilit´es calcul´ees aux questions pr´ec´edentes et commenter la mod´elisation de cette dur´ee de vie.
Exercice 3. Dur´ee de vie, en s´erie
On consid`ere un syst`eme form´e de deux composants ´electroniques mont´es en s´erie, de prob- abilit´es respectives p et p0 de tomber en panne chaque ann´ee, ind´ependamment entre eux et d’une ann´ee `a une autre. Pouri= 1,2 on noteTi l’ann´ee `a laquelle le composantitombe en panne. On appelle T l’ann´ee `a laquelle le syst`eme tombe en panne.
1. ExprimezT en fonction de T1 etT2.
2. Pour toutk∈N∗, calculez la probabilit´e que le syst`eme fonctionne au moins kans.
3. D´eduisez-enP(T =k). Quelle est la loi deT?
Exercice 4. Pontes de tortues
Le nombre d’oeufs pondus par une tortue au cours d’une ponte est mod´elis´ee par une variable al´eatoireX suivant une loi de Poisson de param`etreλ >0. On suppose que chaque oeuf a une probabilit´e p ∈]0,1[ d’arriver `a ´eclosion, ind´ependamment des autres et du nombre d’oeufs pondus. Pour chaquei, on note Yi la variable al´eatoire qui vaut 1 si le i-`eme oeuf est arriv´e
`
a ´eclosion, et 0 sinon. Enfin, on noteY le nombre de b´eb´es tortues issus d’une ponte.
1. Quelle loi suivent les variables al´eatoiresYi? 2. ´EcrireY en fonction desYi et de X.
3. Quelle est la loi conditionnelle deY sachant{X =j}, pour j entier fix´e ? 4. En d´eduire la loi de Y.
Exercice 5. “Somme de Poisson”
SoitX etY deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Poisson de param`etres respectifs µetλ. D´eterminez la loi de la sommeS =X+Y.
