Simulation d’une variable al´eatoire-M´ethode de Monte Carlo TD1-MAPI3 2016-2017

Simulation d’une variable al´eatoire-M´ethode de Monte Carlo

TD1-MAPI3 2016-2017

1 G´ en´ erateurs Pseudo-Al´ eatoires.

Le logiciel Matlab, contraction de Matrix Laboratory, est un interpr´ eteur de commandes. Ce logiciel dispose en particulier de certains outils utiles en probabilit´ es et statistiques comme plusieurs g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires dont rand, associ´ e ` a la uniforme sur l’intervalle [0, 1] et randn associ´ e ` a la loi normale N (0, 1). Avec la commande rng(sum(100 ∗ clock)), le g´ en´ erateur rand est initialis´ e avec une graine dont la valeur d´ epend de l’heure. Lorsque l’on utilise randn, il faut de mˆ eme initialiser son g´ en´ erateur. Les appels successifs ` a rand et randn fournissent des r´ ealisations de suites de variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi U ([0, 1]) et N (0, 1), respectivement.

2 M´ ethode par Inversion.

Soit X une variable al´ eatoire r´ eelle de fonction de r´ epartition F. On appelle inverse g´ en´ eralis´ ee de F , la fonction F ⁻¹ d´ efinie pour tout y ∈]0, 1] par F ⁻¹ (y) = inf{x ∈ R /F (x) ≥ y}.

Lemme 1. Si U est une variable al´ eatoire de loi uniforme U ([0, 1]), alors F ⁻¹ (U ) a mˆ eme loi que X. De plus, si F est continue sur R , alors F (X) suit la loi uniforme U ([0, 1]).

Exercice 1. Utiliser le code Matlab suivant pour g´ en´ erer N r´ ealisations de variables al´ eatoires ind´ ependantes et de loi exponentielle E(λ) et de loi de Cauchy C(c) avec λ, c > 0.

N = input(’Entrez la taille de l’´ echantillon N : ’);

λ = input(’Pr´ eciser la valeur du param` etre λ : ’);

c = input(’Pr´ eciser la valeur du param` etre c : ’);

X = rand(N, 1); Y = − log(X)/l; Z = c ∗ tan(pi ∗ (X − 0.5));

Tracer les moyennes empiriques successives de Y et v´ erifier la loi des grands nombres pour Y. Augmenter le nombre N de r´ ealisations pour affiner la pr´ ecision. Que se passe-t-il sur Z ? Quelle est la loi de la moyenne empirique associ´ ee ` a Z ? Conclure.

3 M´ ethode par Troncature.

Lemme 2. Si X est une variable al´ eatoire ` a valeurs dans Z , de fonction de r´ epartition F et soit G la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire continue Y telle que, pour tout n ∈ Z , G(n + 1) = F (n). Si U est une variable al´ eatoire de loi uniforme U ([0, 1]), alors la partie enti` ere [G ⁻¹ (U)] a mˆ eme loi que X.

Exercice 2. Utiliser le code Matlab suivant pour g´ en´ erer N r´ ealisations de variables al´ eatoires ind´ ependantes et de loi uniforme U ({1, 2, · · · , a}) avec a ∈ N ^∗ ou bien de loi g´ eom´ etrique G(p) avec p = 1 − exp(−λ) et λ > 0.

N = input(’Entrez la taille de l’´ echantillon N : ’);

a = input(’Pr´ eciser la valeur du param` etre a : ’);

if a = round(a)

disp(’La valeur du param` etre a doit etre un entier positif !!’) break

end

l = input(’Pr´ eciser la valeur du param` etre l : ’);

X = rand(N, 1); Y = fix(1 + a ∗ X); Z = fix(− log(X)/l);

Tracer les moyennes empiriques successives de Y et v´ erifier la loi des grands nombres pour Y . Augmenter le

1

nombre N de r´ ealisations pour affiner la pr´ ecision. Effectuer le mˆ eme exercice pour la loi g´ eom´ etrique associ´ ee

` a Z .

4 Lois discr` etes ` a support fini.

Lemme 3. Soit x ₁ , x ₂ , · · · , x _n des nombres r´ eels tous diff´ erents et soit p ₁ , p ₂ , · · · , p _n des nombres r´ eels positifs tels que P n

i=1 p _i = 1. On pose s ₀ = 0 et pour tout 1 ≤ k ≤ n, s _k = P k

i=1 p _i . Soit U est une variable al´ eatoire de loi uniforme U ([0, 1]) et

X =

n

X

k=1

x _k 1 _(s

_≤U≤s

₎ .

Alors, X est une variable al´ eatoire de loi discr` ete P = p 1 δ x

+ p 2 δ x

+ · · · + p n δ x

.

Exercice 3. Cr´ eer un code Matlab permettant de g´ en´ erer un vecteur al´ eatoire X contenant N r´ ealisations ind´ ependantes et de mˆ eme loi Binomiale B(n, p) o` u les valeurs N, n ≥ 1 et 0 < p < 1 sont affect´ ees par l’utilisateur. Pour N assez grand, v´ erifier la loi des grands nombres sur les moyennes empiriques successives de X .

5 Loi Normale.

Lemme 4. Soit (X, Y ) un couple al´ eatoire de R ² . Alors, (X, Y ) suit la loi normale N (0, I ₂ ) si et seulement si X = r cos θ et Y = r sin θ o` u r et θ sont deux variables al´ eatoires ind´ ependantes avec r ² de loi exponentielle E(1/2) et θ de loi uniforme U([0, 2π]).

Il d´ ecoule du lemme 4 que, si U et V sont deux variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi uniforme U ([0, 1]), alors X = √

−2 log U cos(2πV ) et Y = √

−2 log U sin(2πV ) sont ind´ ependantes et de loi normale N (0, 1).

Exercice 4. Utiliser l’algorithme de Box-Muller suivant pour g´ en´ erer N r´ ealisations de variables al´ eatoires ind´ ependantes et de loi normale N (m, s ² ) o` u la moyenne m ∈ R et la variance s ² > 0 sont affect´ ees par l’utilisateur. Tracer ´ egalement l’histogramme associ´ e.

N = input(’Entrez la taille de l’´ echantillon N : ’);

m = input(’Pr´ eciser la valeur de la moyenne m : ’);

s ² = input(’Pr´ eciser la valeur de la variance s ² : ’);

X = m ∗ ones(N, 1) + sqrt(s ² ) ∗ sqrt(−2 ∗ log(rand(N, 1))). ∗ cos(2 ∗ pi ∗ rand(N, 1));

histogram(X);hold on

title(’Simulation d’une loi normale’); xlabel(’Valeurs’); ylabel(’Effectifs’);

Exercice 5. Simuler un ´ echantillon de loi gaussienne standard approximative en utilisant le th´ eor` eme de la limite centrale. On essayera plusieurs lois : Bernoulli, uniforme, exponentielle, ...

Exercice 6. Simuler un ´ echantillon de loi gaussienne standard en utilisant la m´ ethode du rejet. On essayera plusieurs lois pour la source: Cauchy, exponentielle double, ...

6 Approximation num´ erique d’une int´ egrale.

On consid` ere une fonction f continue sur un intervalle [a, b] de R et ` a valeurs dans R ⁺ . On se propose d’´ evaluer num´ eriquement l’int´ egrale I d´ efinie par

I = Z b

a

f (x) dx.

A titre d’exemple, on ´ evaluera l’int´ egrale entre 0 et 2π de la fonction f d´ efinie par f (x) = cos(x) exp

− x 5

+ 1.

On peut d’ailleurs calculer la valeur exacte de cette int´ egrale.

2

6.1 M´ ethodes d´ eterministes.

On peut approcher I par une int´ egrale de Riemann, en discr´ etisant l’intervalle [a, b]. On peut alors arbitrairement construire les deux approximations suivantes :

I 1 (n) =

n−1

X

i=1

(x i+1 − x i )f (x i ), I 2 (n) =

n−1

X

i=1

(x i+1 − x i )f (x i+1 ),

o` u x 1 = a et x n = b.

Exercice 5. En choisissant une discr´ etisation r´ eguli` ere, ´ etudier I 1 (n) et I 2 (n) en fonction de n. On peut am´ eliorer l’approximation, en approchant I par la m´ ethode des trap` ezes. Comparer l’approximation I 3 (n) obtenue avec cette m´ ethode ` a I 1 (n) et I 2 (n). Repr´ esenter graphiquement les trois approximations obtenues en fonction de n.

6.2 M´ ethode de Monte-Carlo.

Cette m´ ethode repose sur la loi des grands nombres. On d´ efinit un rectangle R de cot´ es [a, b] × [c, d] tel que c ≤ f (x) ≤ d pour tout a ≤ x ≤ b. On choisit alors al´ eatoirement n points ind´ ependants, avec une distribution uniforme dans le rectangle R.

Exercice 6. Quelle est la probabilit´ e pour qu’un de ces n points soit sous la courbe de f ? En d´ eduire un estimateur ˆ I n de I. Montrer que cet estimateur peut s’´ ecrire comme la moyenne empirique de n variables al´ eatoires ind´ ependantes et ´ equidistribu´ ees. Que nous dit la Loi des Grands Nombres ? Utiliser cette m´ ethode de Monte-Carlo pour ´ evaluer I, en utilisant diff´ erentes tailles d’´ echantillon n. Donner ` a chaque fois un intervalle de confiance ` a 95%.

7 Approximation num´ erique du volume d’un convexe.

On peut bien sˆ ur ´ etendre ces m´ ethodes ` a des situations plus compliqu´ ees, et ´ evaluer, par exemple, le volume d’un convexe de R <sup>d</sup> , o` u d > 2. On se limitera ici au cas o` u d = 3 pour ´ evaluer le volume V d’une sph` ere. Le principe est le mˆ eme : on d´ efinit un cube qui contient la sph` ere, puis on g´ en` ere n points ind´ ependants dans ce cube, avec une distribution uniforme.

Exercice 7. Proposer un estimateur de V . Quelle est sa loi ? Utiliser cette m´ ethode de Monte-Carlo pour

´

evaluer V , avec diff´ erentes valeurs de n. Donner ` a chaque fois un intervalle de confiance ` a 95%.

8 Quantification

Utiliser la m´ ethode de Lloyd pour quantifier la loi exponentielle de param` etre 1 et la loi gaussienne standard.

Utiliser les approximations de ces lois pour ´ evaluer les moments d’ordre 4. Comparer avec une m´ ethode de Monte Carlo Classique.

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