Problème : Endomorphismes antisymétriques d’un espace euclidien SoitE un espace euclidien de dimension n>2.
Pour x, y∈E, on note (x|y) le produit scalaire dex pary.
Par définition, un endomorphisme f deE est dit antisymétrique si
∀x, y∈E, (f(x)|y) =−(x|f(y)).
On noteA(E) l’ensemble des endomorphismes antisymétriques.
Partie I : Étude d’un exemple Dans cette partie, on suppose que n= 3 et queE est orienté.
SoientB= (i, j, k)une base orthonormale directe de E etu=ai+bj+vk ∈E.
On considère l’application
f : E → E x7→ u∧x . 1. Montrer quef est un endomorphisme symétrique.
2. DonnerIm(f) etKer(f).
3. Former la représentation matricielle de f dans la base B. Quelle est la particularité de cette matrice ?
Partie II : Étude générale
On revient au cas général où E est un espace euclidien de dimensionn>2.
1. Soit f un endomorphisme de E. Montrer que f ∈ A(E) si, et seulement si, la représentation matricielle def dans une base orthonormale est une matrice antisymétrique si, et seulement si,
∀x∈E, (f(x)|x) =−(x|f(x)).
2. (a) Établir que(A(E),+,·) est un espace vectoriel.
(b) Déterminer la dimension de A(E).
3. Soitf ∈ A(E).
(a) Établir que det(f) = (−1)ndet(f). Que dire sin est impair ? (b) Montrer que Im(f)est l’orthogonal de Ker(f).
(c) Montrer que la restriction def àIm(f)induit un endomorphisme antisymétrique de Im(f) qui est injectif.
(d) En déduire que rg(f) est pair.
Partie III : Description des endomorphismes antisymétriques en dimension 2 On suppose que E est de dimension2 et orienté. SoitB une base orthonormale directe deE.
Montrer que f ∈ A(E) si, et seulement si, il existea∈Rtel que MatB(f) =
0 a
−a 0
.
Partie IV : Description des endomorphismes antisymétriques en dimension 3 On se place à nouveau dans le cas où E est orienté de dimension 3.
Dans cette partie, on désire établir que pour tout endomorphisme antisymétrique deE , il existe une base orthonormée directe Bdans laquelle la matrice de f soit de la forme
0 a 0
−a 0 0
0 0 0
aveca∈R.
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1. Vérifier le résultat dans le cas oùf est l’endomorphisme nul.
2. On suppose quef est non nul.
(a) Quel est le rang de f.
(b) Soit B= (i, j, k) une base orthonormale directe adaptée à la décompositionE = Im(f)⊕⊥ Ker(f).
Vérifier que le matrice de f dans la baseB est de la forme voulue.
3. Établir que pour toutf ∈ A(E) , il existe un unique vecteur u∈E tel que
∀x∈E, f(x) =u∧x.
De manière générale, on peut démontrer le résultat suivant : f ∈ A(E)si, et seulement si, il existe une base orthonormée directeBdeE,r∈
0,n
2
,a1, . . . , ar∈ R tels que
MatB(f) =
A(a1)
. ..
A(ar)
On−r
où, pour 16i6r, A(ai) =
0 ai
−ai 0
.
* * * FIN DU SUJET * * *
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