PCSI 2 - CPGE Casablanca
Semaine 22 : Espaces vectoriels euclidiens
Mercredi 09 Juin 2004 Exercice 1:
1. SoitA∈ Mn(R). On supposetA=AetA2= 0. Montrer queA= 0.
2. Propriétés du produit vectoriel : Soient~u, ~v, ~w, ~tquatre vecteurs d'un ev euclidien orienté de dimension 3. Démontrer :
(~u∧~v)|(w~∧~t) = (~u|w)(~~ v|~t)−(~u|~t)(~v|w)~ (~u∧~v)∧(w~∧~t) =−[~u, ~v, ~w]~t+ [~u, ~v, ~t]w~ Où[~u, ~v, ~t] = det(~u, ~v, ~t) appelé produit mixte.
Exercice 2:
1. I+a(XtY −YtX) inversible : SoientX, Y ∈ Mn,1(R)indépendantes,a∈RetM la matrice n×n telle quemij =xiyj−xjyi. A quelle condition I+aM est-elle inversible ?
2. Soit~v∈E\ {~0} etλ∈R. On pose pour~x∈E :f(~x) =~x+λ(~x|~v)~v. Déterminerλpour que f ∈ O(E). Reconnaître alors f.
Exercice 3:
Inégalité de Ptolémée : SoitE un espace euclidien.
1. Pour~x∈E\{~0}, on posef(~x) = k~x~xk2. Montrer que :∀~x, ~y∈E\{~0},kf(~x)−f(~y)k= k~k~xx−~k k~yykk. 2. Soient~a,~b, ~c, ~d∈E. Montrer que k~a−~ck k~b−d~k ≤ k~a−~bk k~c−d~k+k~b−~ck k~a−d~k.
Indication : se ramener au cas~a=~0 et utiliser l'applicationf.
Exercice 4:
Inversion : Soit E un ev euclidien. On pose pour ~x6=~0 :i(~x) = ~x k~xk2. 1. Montrer queiest une involution (i2=idE) et conserve les angles de vecteurs.
2. Vérier que :∀~x, ~y∈E\ {~0},ki(~x)−i(~y)k= k~x−~yk k~xk k~yk. 3. Déterminer l'image pari:
(a) d'un hyperplan ane ne passant pas par~0. (b) d'une sphère passant par~0.
(c) d'une sphère ne passant pas par~0.
FIN
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