Semaine 8 : Espaces vectoriels normés PC

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Semaine 8 : Espaces vectoriels normés PC

1. Montrer que l'on définit deux normes sur ℝ[X] en posant pour P=a₀a₁Xa₂X²a_nXⁿ :

∥P∥₁=

∑

i=0 n

∣

^ai

∣

et ∥P∥₂=

∑

i=0 n

∣

^ai

∣

²^^1/2

2. Ces deux normes sont-elles équivalentes ?

3. L' application  : ℝ[X] ℝ, P P1 est-elle continue sur ℝ[X],∥.∥₁_{, sur}ℝ[X],∥.∥₂_?

Soit E l'espace des suites complexes u=u_n bornées telles que u₀=0.

On définit N_∞ et N par ∀u∈E, N_∞u=sup_n_∈_ℕ

∣

^un

∣

et Nu=sup_n∈_ℕ

∣

^un1−u_n

∣

. 1. Montrer que N_∞ et N sont des normes sur E.

2. Montrer qu'il existe k0 tel que NkN∞. Quel est le plus petit k possible ?

3. Soit q∈]0 ;1[. En considérant la suite u définie par

{

^un1^u–u⁰⁼⁰_n=qⁿ, prouver que N et N∞ ne sont pas équivalentes.

On définit sur l'espace vectoriel réel E=C⁰[0;1],ℝ les applications N₁ et N₂ par : N₁f=sup_x_∈_[_0,1]∣fx∣ et N₂f=

∫

0 1

e^x∣fx∣dx

1. Démontrer que N₁ et N₂ sont des normes.

2. Soit f_n_n∈_ℕ la suite de fonctions définie par

{

^fⁿ^^f^xⁿ^=1^^x^=0^{– nx}^si^siⁿ¹^0^x^1^x^ⁿ¹

Prouver que N₁_etN₂ ne sont pas équivalentes.

2010©My Maths Space Page 1/3 1

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Semaine 8 : Espaces vectoriels normés PC

Indications et réponses :

1. Les conditions pour être une norme sont aisément remplies.

• ∀ P , ∥P∥₁0

• ∥P∥1=0 ⇔

∑

i=0 n

∣

^ai

∣

⁼⁰ ⇔

∣

^a_i

∣

⁼⁰ , ∀i ⇔ ^a_i⁼⁰ ,∀i ⇔ P=0.

• ∥PQ∥₁₌

∑

i=0 n

∣

^aib_i

∣

^≤

∑

i=0 n

∣

^ai

∣

^

∣

^bi

∣

≤ ∥P∥₁∥Q∥₁

• ∥P∥₁=∣∣∥P∥₁

idem pour ∥.∥₂

2. On a rapidement pour tout P, ∥P∥₂∥P∥₁.

On considère la suite de polynômes P_n définie par P_nX=1XX²Xⁿ

∥

^Pn

∥

1=n1 et

∥

^Pn

∥

2=



n1 d'où

∥

^Pn

∥

1

∥

^Pn

∥

2

=



n1 et donc P ∥P∥1

∥P∥₂ n'est pas bornée. Les deux normes ne sont pas équivalentes.

3. ∣P∣=∣P1∣=

∣ ^∑

i=0 n

a_i

∣

^≤

^∑

i=0 n

∣

^ai

∣

⁼^∥^P^∥1 donc  est bornée sur la boule unité de ℝ[X],∥.∥₁_, l'application linéaire  est continue sur ℝ[X],∥.∥₁.

Pour la suite P_n définie par P_nX=1XX²Xⁿ,

∥

^Pn

∥

2=



^n1^et^Pn1=n1 On pose Q_n= P_n



n1 , il appartient à la boule unité fermée de ℝ[X],∥.∥₂ et  Q_n=



^n1 qui est le terme général d'une suite non bornée.  n'est pas continue sur ℝ[X],∥.∥₂_.

1. ∀u∈E et ∀n∈ℕ,

∣

^un

∣

^^N∞u_doncN∞u=0 ⇒ u=0.

Nu=0 ⇒ ∀n∈ℕ, u_n1=u_n_,u est constante et u₀=0_impliqueu=0 . Les autres axiomes sont aisément vérifiés.

2. ∀u∈E,

∣

^un1– u_n

∣

^

∣

^un1

∣

^

∣

^un

∣

d'où Nu2N_∞u. On considère la suite v_n définie par :

{

^vⁿ^v^=–⁰⁼⁰^1ⁿ^.^N^∞^^v=1^et^N^v=2^{donc si}^k0 est tel que ∀u∈E, NukN∞u, on a k2. En effet k2 n'est pas compatible avec le fait que Nv=2N∞v_.

Le nombre 2 vérifie cette propriété donc c'est le plus petit.

3. ∀n1 , u_n−u₀=

∑

k=0 n –1

u_k1– u_k donc u_n=

∑

k=0 n –1

q^k=1– qⁿ

1– q ^{. On a}Nu=1 et N_∞u= 1

1– q ^{et le} rapport N_∞u

Nu= 1

1– q n'est pas majoré quand le nombre q décrit ]0 ; 1[. N∞ et N ne sont pas équivalentes.

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1. ∀f∈E, N₂f=0 implique que

∫

0 1

e^x∣fx∣dx=0. Or si l'intégrale d'une fonction continue, positive est nulle sur [a;b] c'est que la fonction est identiquement nulle sur [a;b]. x e^x∣fx∣ est continue et positive sur [0;1] donc ∀x∈[0 ; 1], e^x∣fx∣=0 ⇔ ∣fx∣=0 ⇔ fx=0. Ainsi N₂f=0 ⇒ f=0. Les autres axiomes sont aisément vérifiables.

2. ∀n1, f_n est continue sur [0; 1] donc appartient à E ( lim

x1 n

f_nx=0=f



n¹



⁾

∀n1, N₁f_n=1_etN₂f_n=−1ne^1/ⁿ−1. N₁f_n

N₂f_n est non bornée donc N₂ et N₁ ne sont pas équivalentes.

(en effet, −1ne^1/n−1 tend vers 0 lorsque n tend vers ∞)

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