Semaine 21 : Espaces vectoriels euclidiens

PCSI 2 - CPGE Casablanca

Semaine 21 : Espaces vectoriels euclidiens

Mercredi 02 Juin 2004 Exercice 1:

1. Soit~v∈E\ {~0} etλ∈R. On pose pour~x∈E :f(~x) =~x+λ(~x|~v)~v. Déterminerλpour que f ∈ O(E). Reconnaître alors f.

2. Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :

(a) E=R²,(x, x⁰)|(y, y⁰) =axy+bxy⁰+cx⁰y+dx⁰y⁰ (étudier (1, t)|(1, t), t∈R).

(b) E=Rⁿ,(x₁, . . . , x_n)|(y₁, . . . , y_n) =aP

i

x_iy_i+bP

i6=j

x_iy_j On montrera que(P

xi)² ≤nP x²_i

. (c) E=Rn[X],(P |Q) =

n

P

i=0

P(i)Q(i).

Exercice 2:

1. SoitA =















a −b −c −d

b a d −c

c −d a b

d c −b a















∈ M₄(R), avec a, b, c, dnon tous nuls. Démontrer que A est

inversible et calculerA⁻¹.

2. SoientF, G deux sous-espaces deE tels queF ⊥G. On notes_F ets_G les symétries orthogo- nales de basesF etG. Montrer quesF ◦sG=sG◦sF =s_(F⊕G)^⊥.

Exercice 3:

1. SoientF, G deux sous-espaces deE tels queF ⊂G. On notes_F ets_G les symétries orthogo- nales de basesF etG. Montrer quesF ◦sG=sG◦sF =s_F⊕G^⊥.

2. Base de Schmidt : Trouver une base orthonormée deR3[X]pour le produit scalaire : (P |Q) =

Z 1

−1

P(t)Q(t)dt

Exercice 4:

1. Soit E espace vectoriel euclidien et f ∈ L(E) tel que f ◦f^∗ =f^∗◦f et f² =−id. Montrer quef est orthogonal.

2. Base de Schmidt : SoitE =R2[X]muni du produit scalaire :(P |Q) =

4

P

i=0

P(i)Q(i). Chercher une base orthonormée deE.

FIN

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