M ath ematiques ´ - ECS1
25
M atrices et applications lin eaires ´ .
Lyc´eeLaBruyere` 30avenue deParis 78000 Versailles
2016, Polycopié du cours de mathématiques de première année.c
25.1 Objectifs du chapitre
Dans tout ce qui suit,KdésigneRouC.
Matrice d’une application linéaire dans des bases. SiBEetBF sont des bases respectives deEetF, notation MatBF,BE(f).
Matrices lignes et formes linéaires.
Vecteur colonne des coordonnées dans une baseBE. Interprétation matricielle de l’image d’un vecteur par une application linéaire.
Lien du produit matriciel avec la composition des ap- plications linéaires.
MatBG,BE(g◦ f)=MatBG,BF(g)MatBF,BE(f).
Rang d’une matrice. Égalité des rangs d’une application linéaire et de
sa matrice dans des bases.
Une matrice et sa transposée ont même rang. Résultat admis.
Matrice d’un endomorphisme f deEdans la baseB. Notation MatB(f).
Lien entre les isomorphismes deEet les matrices in- versibles.
On pourra démontrer que pour le produit matriciel dansMn(K), l’inverse à gauche est également un inverse à droite.
Polynôme d’endomorphisme, polynôme de matrice carrée. Polynôme annulateur.
Exemples de calcul d’automorphismes réci- proques, d’inverses de matrices et de puissancesk- ème d’une matrice par utilisation d’un polynôme annulateur.
Toute théorie générale sur les polynômes annula- teurs est exclue.
25.2 Représentation matricielle des applications linéaires 25.2.1 Matrice d’une famille de vecteurs
Définition 1. SoitE unK-ev de dimension finien, une baseB =(e1, . . . ,en) deE et une familleF =(f1,f2, . . . ,fp) de vecteurs deE.
Pour tout j∈~1,p, il existe des coefficients uniques (a1j, . . . ,an j) tels que fj=
n
X
i=1
ai jei
On appelle alors matrice de la famille (f1, . . . ,fp) relativement à la baseBla matrice de Mn,p(K) dont le coefficient d’indices (i,j) estai j.
On la note MatB(F).
Remarque1.C’est la matrice dont le j-ème vecteur colonne représente les coordonnées du vecteur fjdans la baseB.
2
25.2 Représentation matricielle des applications linéaires 3
25.2.2 Matrice d’une application linéaire Si A = (ai j)1≤i≤n
1≤j≤p
∈ Mn,p(K) , on appelle j-eme vecteur colonne de A la matrice colonne
a1j
a2j
... an j
Définition 2. SoientE,FdeuxK-ev avec dimE =pet dimF=netu∈ L(E,F).On noteB=(e1, . . . ,ep) une base deEetB0=(f1, . . . ,fn) une base deF.
On appelle matrice de u relativement aux bases B,B0 la matrice de la famille (u(e1), . . . ,u(ep)) et on la note MatB0,B(u) :
MatB0,B(u)=MatB0(u(e1), . . . ,u(ep)).
Pour tout j∈~1,p, il existe des coefficients (ai j)1≤i≤ntels que u(ej)=
n
X
i=1
ai jfi.
La matrice deurelativement aux basesB,B0est la matriceA=(ai j)1≤i≤n 1≤j≤p
.
Siuest un endomorphisme deEetBune base deE. On appelle matrice deurelative- ment à la baseBla matrice MatB,B(u) que l’on note plus simplement MatB(u).
Exemple 1. Soitu:R4→R3l’application linéaire définie par u(x,y,z,t)=(x+2y−z,z+t,2x−3t)
u(1,0,0,0) =(1,0,2) u(0,1,0,0) =(2,0,0) u(0,0,1,0) =(−1,1,0) u(0,0,0,1) =(0,1,−3)
donc la matrice deurelativement aux bases canoniques deR4et deR3est MatC3,C4(u)=
1 2 −1 0 0 0 1 1 2 0 0 −3
Exemple 2. Soitd:R4[X]→R3[X] l’application linéaire définie par d(P)=P0
La matrice dedrelativement aux bases canoniques deR4[X] etR3[X] est
MatC3,C4(u)=
0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4
=In
Exemple 3. SoitEunK-ev de dimension finienetBune base deE. La matrice de l’identité
deEest la matrice diagonale
MatB(IE)=
1 0 · · · 0 0 1 · · · ... ... ... 1 0 0 · · · 0 1
que l’on noteInet qu’on appelle matrice identité de Matn(K)
Exercice1.On définit une applicationΦsurRn[X]par : Φ(P)=(1−X2)P0−XP oùP0désigne la dérivées première et seconde deP.
— Montrer queΦest une application linéaire deRn[X]dansRn+1[X]et donner sa matrice relativement aux bases canoniques deRn[X]etRn+1[X].
Proposition 1. Soient E,F deuxK-ev avec dim E=p, dim F=n et u,v∈ L(E,F), λ∈ K.On noteBune base de E etB0une base de F. Alors :
(1) MatB0,B(u+v)=MatB0,B(u)+MatB0,B(v) (2) MatB0,B(λu)=λMatB0,B(u)
Proposition 2. Soient E,F deuxK-ev avec dim E=p, dim F=n et u,v∈ L(E,F), λ∈ K.
On noteBune base de E etB0une base de F.
L’application
γ: L(E,F) →Mn,p(K) u 7→MatB0,B(u) est un isomorphisme d’ev.
Corollaire 3. Soient E,F deuxK-ev de dimension finie.
L’ensembleL(E,F)est unK-ev de dimension finie égale à dimE×dim F.
Proposition 4. Soient E,F,G troisK-ev de dimension finie et u∈ L(E,F),v∈ L(F,G) On noteBune base de E, B0une base de F etB00une base de G.
MatB00,B(v◦u)=MatB00,B0(v)MatB0,B(u)
25.2 Représentation matricielle des applications linéaires 5
25.2.3 Produit d’une matrice et d’un vecteur colonne
Proposition 5. Soient E,F deux ev de dimension finie, dim E = p, dim F =n.Bune base de E etB0une base de F et u∈ L(E,F).
On note A=MatB,B0(u).
Soit x∈E et X∈Matn1(K)le vecteur des coordonnées de x dansBalors le vecteur des coordonnées dansB0de u(x)est donné par AX.
Exemple 4. Soitϕ:R4[X]→R4[X] définie parϕ(P)=P(X+1). La matrice deϕdans la base canonique deR4[X] est :
A=
1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1
Pour obtenir les coordonnées deϕ(2X4−X2+3X) dans la base canonique, il suffit d’effectuer le produit
1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1
0 3
−1 0 2
=
4 9 11
8 2
de sorte queϕ(2X4−X2+3X)=4+9X+11X2+8X3+2X4 Application linéaire canoniquement associée à une matrice.
On identifie les vecteurs deKnavec les matrices colonnes deMn1(K)
Définition 3. SoitA∈Mnp(K). On appelle application linéaire canoniquement associée àAl’application :
a:Kp −→ Kn x7−→ Ax
oùAxdésigne le produit de la matriceApar le vecteur colonnex.
Corollaire 6. Soient E unK-ev avec dim E=n et u∈ L(E).On noteBune base de E.
L’application
γ: L(E) →Mn(K) u 7→MatB(u) est un isomorphisme et de plus
∀u∈ L(E), ∀v∈ L(E), MatB(v◦u)=MatB(v)MatB(u)
Exercice2.DansMn(K), effectuer le produitEi jEkl
Exercice3.Soitnun entier naturel tel quen≥3etA∈ Mn(R)définie par :
A=
1 1 1 · · · 1 1 0 · · · 0 1 ... ... ... ... ... 1 0 · · · 0
etϕl’endomorphisme associé àArelativement à la base canonique deRn. Déterminer une base du noyau deϕet une base de l’image deϕ.
25.3 Matrices inversibles et isomorphismes.
Proposition 7. Soient E,F deuxK-ev de même dimension finie n, Bune base de E,B0 une base de F et u∈ L(E,F).
u est un isomorphisme si et seulement siMatB0,B(u)est inversible
Corollaire 8. Soit E un ev de dimension finie n,Bune base de E et u un endomrophisme de E.
u est un automorphisme de E si et seulement siMatB(u)est inversible Dans ce cas,MatB(u−1)=(MatB(u))−1
Exemple 5. Soit f ∈ L(R4[X]) définie par f(P)=P(X+1). Dans la base canonique, f a pour matrice
A=
1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1
Si P ∈ kerf alors P(X+1) = 0 donc en composant avecQ = X −1 on obtient 0 = P(Q) = P(X−1+1) = P(X) donc f est injective. Ainsi f est un endomorphisme injectif en dimension finie, c’est donc un automorphisme deR4[X]. DoncAest inversible etA−1=MatB(f−1). Or f−1est définie par f−1(P)=P(X−1) d’où
A−1=
1 −1 1 −1 1 0 1 −2 3 −4 0 0 1 −3 6 0 0 0 1 −4
0 0 0 0 1
25.4 Rang d’une matrice 7
25.4 Rang d’une matrice
Définition 4. SoitA∈Mnp(K) une matrice.
On appelle rang de la matriceAle rang de la famille constituée des vecteurs colonnes deA.
On le note rgA.
Corollaire 9. Une opération élémentaire effectuée sur les colonnes d’une matrice ne modifie pas son rang.
Exemple 6. SoitA=
1 1 3 0 1 2 0 0 0
et (c1,c2,c3) ses vecteurs colonnes. On remarque quec3= c1+2c2et (c1,c2) est une famille libre donc rgA=rg(c1,c2,c3)=rg(c1,c2)=2.
Exercice4.Calculer le rang de la matrice A=
4 5 −7 −7 2 1 −1 3 1 −1 2 1
Proposition 10. Soit A ∈ Mnp(K). Les matrices A ettA ont même rang. On a donc rgA≤inf(n,p)
Corollaire 11. Une opération élémentaire effectuée sur les lignes d’une matrice ne modifie pas son rang.
En notant (e1, . . . ,ep) la base canonique deKpetal’application linéaire canonique- ment associée àA, le rang deAest aussi le rang dea. En effet, les vecteurs colonnes deA sont exactement les coordonnées des vecteurs (a(e1), . . . ,a(ep)) exprimés dans une base de Kn.
Proposition 12. Le rang d’une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie est égal à celui de sa matrice relativement à un couple de base.
Proposition 13. Soit A∈Mn(K). Alors A est inversible si et seulement si rgA=n.
Exercice 5.Soit f un endomorphisme de R3 défini dans la base canonique C = (e1,e2,e3)par
f(e1)=e1−e2+e3, f(e2)=e1+e3, f(e3)=e1+e2+e3
(1) Donner la matriceAde f relativement à la base canonique.
(2) CalculerA2. Quel est le rang deA2? En déduire que f n’est pas bijective.
25.5 Polynômes d’endomorphismes, polynômes de matrices, polynôme annu- lateur.
Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectorielE.
On rappelle que les puissances de f sont définies par récurrence de la manière sui- vante :
f0=IEet pour toutk∈N∗, fk=fk−1◦ f = f ◦ fk−1
Pourk∈N∗, l’endomorphisme fkest donc obtenu en composantkfois f par lui même : fk= f ◦ f◦ · · · ◦ f
| {z }
kfois
Définition 5. SoitP∈K[X] défini parP=a0+a1X+· · ·+anXn =
n
X
k=0
akXk. L’endo- morphismeP(f) est défini par
P(f)=a0IE+a1f +· · ·+anfn=
n
X
k=0
akfk
SiAest une matrice deMn(K), on définit de mêmeP(A) par P(A)=a0In+a1A+· · ·+anAn=
n
X
k=0
akAk
Proposition 14. Soit P et Q deux polynômes deK[X]et f un endomorphisme de E. On a
(PQ)(f)=P(f)◦Q(f)=Q(f)◦P(f)
La même propriété est vérifiée pour les polynômes de matrice : siAest une matrice de Mn(K) alors
(PQ)(A)=P(A)◦Q(A)=Q(A)◦P(A) Définition 6. Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel.
On appelle polynôme annulateur de f tout polynômePdeK[X] tel queP(f) soit l’en- domorphisme nul :P(f)=0.
25.6 Exercices. 9
Exemple 7. Le polynômeX2−Xest un polynôme annulateur de tout projecteur.
Exemple 8. Tout endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel de dimensionnadmetXn pour polynôme annulateur.
Exemple 9. Soit f l’endomorphisme deR2défini par f(x,y)=(y,x).
On vérifie que f2=IR2de sorte queX2−1 est un polynôme annulateur de f. Exemple 10. SoitAune matrice 2×2 :A= a b
c d
! .
Vérifier queX2−(a+c)X+ad−bcest un polynôme annulateur deA.
Exemple 11. SoitAla matriceA=
0 1 0 1 0 0 0 0 1
.
On vérifie facilement queA3 =I3de sorte queX3−1 est un polynôme annulateur deA.
Exemple 12. SoitAla matriceA=
−1 1 1 1 −1 1 1 1 −1
.
Calculer (A+2I3)(A−I3) et en déduire un polynôme annulateur deA.
25.5.1 Applications
Exemple 13. SoitAla matriceA=
−1 1 1 1 −1 1 1 1 −1
.
A l’aide du polynôme annulateur deAcalculé précédemment montrer queAest inversible et donner son inverse.
Exemple 14. SoitAla matrice 1 −1 2 4
!
En utilisant un polynôme annulateur deA, calculerAnpour tout entier natureln.
Déterminer l’expression deunetvnen fonction denpour les suites (un) et (vn) définies par u0 =2,v0=1 et pour toutn∈N
(un+1 =un−vn
vn+1 =2un+4vn
25.6 Exercices.
Exercice 6. La couleur de la lumière peut être représentée par un vecteur (r,v,b) ∈ R3 (rouge,vert,bleue). L’oeil humain et le cerveau transforment le signal (r,v,b) en un signal (i,l,s) (intensité, grandes ondes, ondes courtes) tel que
i= r+v+b l= r−3v s=b−r+g
2
Cette transformation est représentée par une application linéaire f :R3→R3. (1) Déterminer la matrice de f dans la base canonique deR3.
(2) Une paire de lunettes de soleil filtre toute la lumière bleue mais laisse passer toute la lumière rouge et verte. Ecrire la matrice dans la base canonique deR3de l’appli- cation linéairegcorrespondant à la transformation subie par la lumière lorsqu’elle passe par les lunettes.
(3) Ecrire la matrice de l’application linéaire dans la base canonique deR3correspon- dant à la transformation que subit le signal reçu par l’oeil lorsque la lumière passe par les lunettes de soleil.
Exercice7. Soit f l’endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canoniqueC3= (i,j,k) estA=
a b c b c a c a b
.On posee1=i+j+k,e2= j,e3 =k.
(1) Montrer queB=(e1,e2,e3) est une base deR3. (2) Quelle est la matrice de f dans cette nouvelle baseB.
Exercice8. SoitEunR-ev de dimension 2 etnun entier plus grand que 3. On considère un endomorphisme f deEpour lequel il existe des vecteursu1,u2, . . . ,untels que
∀i∈~1,n−1, f(ui)=ui+1, et f(un)=u1
c’est à dire f(u1) =u2, f(u2) =u3, . . . ,f(un)=u1.On suppose de plus que pour tout i∈~2,n, ui,u1
(1) Montrer que les vecteursu1,u2, . . . ,unsont deux à deux distincts.
(2) Montrer, en raisonnant par l’absurde, que la famille (u1,u2) est libre.
(3) En déduire que fn=IE.
(4) On supposen = 4 et on note M = 0 a 1 b
!
la matrice de f dans la base (u1,u2).
CalculerM4et montrer queb=0 eta=−1.
(5) Montrer queu1+u2+u3+u4=0.
Exercice 9. Soit la matrice n×n A =
0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 1 0 ... ... ... ... 0 1 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0
Montrer que Aest inversible et
trouver son inverse.
Exercice10. SoitEunR-espace vectoriel de dimension 3 dont une base est notéeB= (e1,e2,e3) etϕl’endomorphisme deEdéfini par
ϕ(e1)=−e1−e2+2e3, ϕ(e2)=−e1, ϕ(e3)=−e1+e3
On noteM=MatB(ϕ) la matrice deϕdansB.
25.6 Exercices. 11
(1) DéterminerM. CalculerM2. Montrer queM3=−I3et en déduire queMest inver- sible et déterminerM−1.
(2) On pose f1=e1+e2−e3, f2=e1−e2, f3=e1−2e3.Montrer queF =(f1,f2,f3) est une base deEet déterminer la matriceM0deϕdans la baseF.
(3) Montrer que (I3,M,M2) est une famille libre deM3(R)
(4) On poseF =Vect(I3,M,M2). Montrer queFest unR-espace vectoriel de dimen- sion 3.
(5) SoitA∈F, A=aI3+bM+cM2aveca,b,créels. Montrer queAest inversible si et seulement sia3−b3+c3+3abc,0. Montrer alors queA−1 ∈F.
Exercice11.Déterminertpour que la matriceA=
t 1 1 1 1 t 1 1 1 1 t 1 1 1 1 t
soit de rang3.
Exercice12. SoitAetBdes matrices deMn(C) telles queAB=0. Montrer : rgA+rgB≤ n.
Exercice13. SoitAune matricen×ntelle queA2=In. Montrer que rg(A−In)+rg(A+ In)=n.
Etude d’un système de suites récurrentes couplées.
Exercice14. On noteC=(e1,e2,e3,e4) la base canonique deR4et on considère les 4 vecteurs :
f1 =(1,1,1,1), f2=(1,1,−1,−1), f3=(1,−1,1,−1), f4=(1,−1,−1,1), La famille(f1,f2,f3,f4) sera notéeBet on désigne parIl’application identité deR4. (1) Montrer queBest une base deR4.
(2) On considère l’endomorphismeudeR4défini par
u(e1)= f1, u(e2)= f2, u(e3)= f3, u(e4)=f4.
(a) Montrer queuest un automorphisme et donner sa matrice dans la baseC. (b) Montrer queu2=u◦uest un endomorphisme simple que l’on explicitera.
(c) Déterminer la matrice deu−1dans la base canoniqueC.
(d) Déterminer la matrice deudans la baseB.
(3) On considère les suites (xn)n∈N,(yn)n∈N,(zn)n∈N,(tn)n∈Ndéfinies par les valeurs ini- tialesx0,y0,z0,t0et les relations de récurrence
xn+1= 1
4(xn+yn+zn+tn) (25.1)
yn+1= 1
4(xn+yn−zn−tn) (25.2)
zn+1= 1
4(xn−yn+zn−tn) (25.3)
tn+1= 1
4(xn−yn−zn+tn) (25.4)
(a) En posant Xn =
xn yn zn
tn
, exprimer le système (1)-(4) sous forme matricielle Xn+1 =AXnoùAest une matrice deM4(R) que l’on précisera.
(b) A l’aide de l’endomorphismeu, montrer que les quatre suites ont pour limite 0 quandntend vers+∞.
(4) On poseE1= Ker (u−2I) etE2= Ker (u+2I).
(a) Montrer queR4=E1⊕E2.
(b) Montrer que dim (E1) =3 puis qu’il existe une baseEtelle queME(u) est diagonale :
ME(u)=
2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 −2
Etude de la suit des puissances d’un endomorphisme connaissant un polynôme an- nulateur.
Exercice15. SoitEun espace vectoriel sur le corpsCdes nombres complexes.
On noteIE l’identité deE.
Pour tout n,Cn[X] représente l’ensemble des polynômes à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à l’entiern.
Sigest un endomorphisme deE, on définitgnpar :g0 =IEet pour tout entiern, gn = gn−1◦g.
Pour tout polynôme P de C[X] tel que : P(X) = a0+a1X+· · ·+apXp, on note P(g) l’endomorphisme deEégal à : P(g)=a0IE+a1g+· · ·+apgp.
On rappelle que pour tous polynômesP,QdeC[X], on a : (PQ)(g)=P(g)◦Q(g)=Q(g)◦P(g) On désigne parTle polynôme deC[X] défini par :
T(X)=3X3−X2−X−1
et par f un endomorphisme deEsatisfaisant à la relationT(f)=0.
Le but de l’exercice est d’étudier la suite des puissances de l’endomorphisme f. (1) Montrer que 1 est la seule racine réelle deT. Soientαetαles deux autres racines
non réelles et conjuguées. Calculerα+αetαα.
25.6 Exercices. 13
(2) On désigne parϕl’application qui, à tout polynômePdeC[X] associe le reste dans la division euclidienne dePparT.
(3) Calculerϕ(X), ϕ(X2), ϕ(X3) etϕ(X4).
(4) (a) Montrer queϕest un endomorphisme deC[X].
(b) L’endomorphismeϕest-il injectif ? Est-il surjectif ? (5) On noteL1, L2, L3, les polynômes définis par
L1(X)=(X−1)(X−α), L2(X)=(X−1)(X−α), L3(X)=(X−α)(X−α) (a) Montrer que (L1,L2,L3) est une base deC2[X].
(b) Montrer que pour toutndeN, il existe un unique triplet (an,bn,cn) appartenant àC3tel que :
ϕ(Xn)=anL1+bnL2+cnL3
et exprimeran,bn,cnen fonction deα,α,n. Vérifier quecn= 1 2. (6) On poseh=aL1(f)+bL2(f)+cL3(f).
(a) Prouver que pour toutndeN:
fn =anL1(f)+bnL2(f)+cnL3(f)
(b) Justifier la convergence des suites (an), (bn), (cn) vers des réels respectifsa,b, c.
(c) On poseh=aL1(f)+bL2(f)+cL3(f).Montrer queh = 16(3f2+2f +IdE) puis quehest un projecteur.
Etude d’une équation différentielle dansRn[X].
Exercice16. Soit (Pn)n∈Nla suite de polynômes définie par
P0=1, P1=2X, et∀n∈N∗, Pn+1 =2XPn−Pn−1. (1) (a) Montrer que pour tout entiern∈N,le polynômePnest de degrén.
(b) En déduire que (P0,P1, . . . ,Pn) est une base deRn[X]
(c) Démontrer que pour tout entiern∈N,
(n2+2n)Pn−3XP0n−(X2−1)P00n =0.
(2) Soit f l’application définie surRn[X] par f(P)=3XP0+(X2−1)P00. (a) Montrer que siPn’est pas nul alors degf(P)=degP.
(b) Montrer que f est un endomorphisme deRn[X].
(c) Pour tout entierk∈~0,n, calculerf(Xk).
(d) En déduire la matrice de f dans la base canonique (1,X, . . . ,Xn). On représen- tera les deux premièrres colonnes et les deux dernièrres colonnes.
(3) Pour tout entierk ∈ ~0,n, calculer f(Pk) et donner la matrice de f dans la base constituée des polynômes (P0,P1, . . . ,Pn).
(4) Déterminer une base du noyau et une base de l’image de f.
(5) Soitkun entier de~0,n. Déterminer l’ensemble des polynômes PdeRn[X] tels que f(P)=Pk.
