Sous-espaces stables par un endomorphisme

Leçon 154 - Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

Cadre : E est un K-ev de dimension finie n.

1. Sous-espaces stables par un endomorphisme. —

1. Sous-espaces stables, endomorphismes induits, bases adaptées. — – Def : Un s-ev F de E est dit f-stable ssif(F)⊂F.

– Ex : {0},E sont toujours f-stables.

– Ex : Pour p un projecteur sur F parallèlement à V, F et V sont p-stables.

– Ex : Pour r une rotation deR², r ne laisse aucune droite vectorielle stable.

– Pro : Ker(f) et Im(f) sont f-stables.

– Pro : Si u et v commutent alorsKer(v) etIm(v) sont u-stables.

– Cor : Pour toutP ∈K[X],Ker(P(f)) est f-stable.

– Pro : f laisse stable tous les s-ev de dimension k, pour un certaink∈ {1, .., n} fixé, ssi f est une homothétie.

– Def : Soit f ∈ End(E) et F qui est f-stable. On définit alors f|_F ∈ End(F) la restriction de f à F, et f : E/F → E/F ∈ End(E/F) obtenu par passage au quotient.

– Lemme : Pour F f-stable,B ={e1, .., en} une base de E telle queBF :={e1, .., er} est une base de F, en notantB⁰:={er+1, .., en} etπ:E →E/F, on a alors : M at(f, B) =

A C

0 B

oùA=M at(f|F, B_F) etB=M at(f , π(B⁰)).

– Rem : Dans le cas où C=0, alors V ect(B⁰) est un supplémentaire de F qui est f-stable.

– Rem : En écrivant E comme une somme directe de s-ev f-stables, l’étude de f se ramène à l’étude des restrictions de f à chacun des s-ev stables.

– Ex : Pour p un projecteur, on aE=Ker(p)⊕Im(P) avecp|_Ker(p)≡0 etp|_Im(p)≡ Id_Im(p).

– Ex : Pourcar(K)6= 2 et s une involution, on aE=Ker(s+Id)⊕Ker(s−Id) avec s|_Ker(s+Id)≡ −Id_Ker(s+Id) ets|_Ker(s−Id)≡Id_Ker(s−Id)

2. Sous-espaces stables et dualité. —

– Def+Pro : PourA⊂E on définit A^⊥:={ϕ∈E⁰ tqϕ(x) = 0∀x∈A} l’orthogonal de A dansE⁰.

C’est un s-ev deE⁰, et on aA^⊥= (V ect(A))^⊥.

– Pro : Pourf ∈End(E) on définitf^t:ϕ∈E⁰ 7→ϕ◦f ∈E⁰∈End(E⁰).

– Pro : Un s-ev F est f-stable⇔F^⊥ est f^t-stable.

– Pro : dim(F) +dim(F^⊥) =dim(E).

– Rem : On peut ainsi chercher les hyperplans stables de l’endomorphisme f en cher- chant les droites stables def^t.

– Exemple de sous-espaces stables de la matrice





1 1 0

−1 2 1

1 0 1





2. Applications à la réduction. —

1. Sous-espace propre, sous-espace caractéristique. —

– Def+Pro : Pourf ∈End(E),{P ∈K[X] tqP(f) = 0}est un idéal deK[X].

Il existe un unique polynôme unitaire qui engendre cet idéal, et on l’appelle polynôme minimalµ_f de f.

– Def+Pro : Pourf ∈End(E) et B une base de E, on définitχ_f(X) :=det(M at(f, B)−

XI_n) le polynôme caractéristique de f.

χ_f ne dépend pas de la base choisie.

– Def : Pour λ une valeur propre de f, on définit le sous-espace propre associé à λ commeKer(f−λI_d).

On définit le sous-espace caractéristique associé à λ comme Ker((f −λId)^m), où m≥1 est la multiplicité de (X−λ) dansµf(X).

– Pro : Pour tout F s-ev f-stable, on aχf=χ_f|F.χ_f.

– App : χf est irréductible surKssi f n’admet aucun sous-espace stable non trivial.

– Pro : SiE=F⊕GavecF, Gf-stables, alorsµf =ppcm(µ_f|F, µ_f|G).

2. Lemme des noyaux et conséquences. —

– Lemme des noyaux : SoitP =P₁..P_r∈K[X] avecP_i premiers entre eux.

AlorsKer(P(f)) =⊕_iKer(P_i(f)).

– App : Les sous-espaces caractéristiques de f sont en somme directe.

– Def : f ∈End(E) est diagonalisable/trigonalisable si il existe une base B de E dans laquelleM at(f, B) est diagonale/triangulaire supérieure.

– Thm : On a les équivalences : – Thm : On a les équivalences :

i) Il existe une base B dans laquelleM at(f, B) est diagonale.

ii)µf est scindé à racines simples dans K.

iii)χf est scindé dans K etdim(Ker(f−λId)) =vλ pour toutλracine deχf. iv) Il existe un polynôme scindé à racines simples dans K qui annule f.

v)E=⊕_λ∈SpK(f)Ker(f−λId)

– Ex : Les projecteurs et les symétries sont toujours diagonalisables (sauf sicar(K) = 2)

– Ex : Les endomorphismes nilpotents non-nuls ne sont jamais diagonalisables.

– Ex : Les matrices de rotations de R² ne sont pas diagonalisables dansM₂(R) mais le sont dansM₂(C)

– Thm : Soitf ∈End(E). On a les équivalences : i) f est trigonalisable dans E.

ii)χf est scindé sur K.

1

iii)µf est scindé sur K.

iv) Il existeP ∈K[X] scindé tel que P(f) = 0.

– Cor : Si K est algébriquement clos, tout endomorphisme est trigonalisable.

– Ex : B =

0 −1

1 0

est trigonalisable surCmais pas surR.

– Cor : Si F est f-stable et f diagonalisable/trigonalisable, alors f|F est diagonalis- able/trigonalisable.

– Dev : Décomposition de Jordan-Chevalley : Soit Kun corps et E un K−ev de dimension n. Soitf ∈End(E) tel queχ_f est scindé surK.

Alors il existe un unique couple (d, n)∈End(E)² tel que : i) d est diagonalisable, n est nilpotent.

ii) f = d + n.

iii) n et d commutent.

iv) d et n sont des polynômes en f.

– Méthode de calcul de D et N via une méthode de Newton polynomiale.

– Pro : PourK=Rou C, et A=D+N la décomposition de Dunford de A, on a : exp(A) =exp(D).Pr−1

k=0 N^k

k! , où r est l’indice de nilpotence de N.

La décomposition de Dunford de exp(A) est ainsiexp(A) =exp(D) +exp(D)(N+

N²

2 +..+_(r−1)!^Nr−1.

– App : PourK=RouC, f est diagonalisable⇔exp(f) est diagonalisable.

– Ex : Les sous-espaces stables deDiag(1,2, .., n) sont exactement les V ect((ei)i∈I) pour toutI⊂ {1, .., n}.

3. Réduction simultanée. —

– Pro : Si u et v commutent alorsIm(u) etKer(u−λId) sont v-stables.

– Thm : Soit (ui)iune famille quelconque d’endomorphismes diagonalisables/trigonalisables qui commutent.

Alors il existe une base B de E dans laquelle toutes les M at(ui, B) sont diago- nales/triangulaires supérieures.

– App : Un sous-groupe abélien G de matrices diagonalisables deGln(K) est semblable à un sous-groupe de matrices diagonales.

– App :Soit K tel quecar(K)6= 2. AlorsGl_n(K)'Gl_m(K) ssim=n.

– Pro : φ_M,N : X 7→M X−XN est diagonalisable dansEnd(M_n(K)) ssi M,N sont diagonalisables dansM_n(K).

– Dev : Soit G le groupe des quaternions de norme 1. AlorsG/{±1} 'SO₃(R).

– Rem : Cet isomorphisme, permet de ramener le calcul de l’image d’un vecteur de R³ par une rotation à des produits dansH en identifiant les vecteurs −→

i ,−→ j ,−→

k du repère orthonormé canonique deR³ aux éléments i,j,k deH.

3. Endomorphismes remarquables. — 1. Endomorphismes semi-simples. —

– Def : f ∈ End(E) est dit semi-simple ssi tout s-ev F qui est f-stable admet un supplémentaire f-stable.

– DevThm : On a l’équivalence : i) f est semi-simple.

ii)µ_f est sans facteurs carrés.

iii) Il existe une extension de corpsL/Ktelle queµ_f est scindé à racines simples sur L.

iv) Il existe une extension de corpsL/Ktelle queM at(f, B) est diagonalisable dans Mn(L).

– Cor : Les endomorphismes semi-simples sont donc une généralisation des endomor- phismes diagonalisables.

– Ex : Les rotations deR²sont semi-simples surR. 2. Endomorphismes normaux. —

– On se place ici sur E euclidien ou hermitien, muni d’un produit scalaire.

– Pro+Def : Pour toutf ∈End(E), il existe un uniquef^∗∈End(E) tel que∀x, y∈E,

< f(x), y >=< x, f^∗(y)>.

f^∗ est appelé adjoint de f, etf 7→f^∗ est un endomorphisme involutif deEnd(E).

– Ex : Pour p un projecteur,p^∗=p.

– Pro : Dans le cas euclidien, M at(f^∗, B) = M at(f, B)^t. Dans le cas hermitien, M at(f^∗, B) =M at(f, B)^t.

– Def : f est un endomorphisme normal ssif^∗f =f f^∗.

– Ex : Les matrices symétriques réelles, antisymétriques réelles (M =−M^t), hermiti- ennes, orthogonales réelles (M M^t=I_n) définissent des endomorphismes normaux.

– Pro : Soit f endomorphisme normal etE_λun sous-espace propre de f. AlorsE_λ^⊥ est f^∗-stable et f-stable.

– Théorème de réduction des endomorphismes normaux : Soit f un endomorphisme normal. Il existe une base orthonormée B de E dans laquelle on a :

M at(f, B) =Diag(λ₁, .., λ_r, P₁, .., P_s) avecλ_i∈Ret P_j =

a_j −b_j bj aj

,a_j, b_j ∈R. – App : Pour M symétrique réelle/hermitienne, M est diagonalisable surR.

Pour M antisymétrique réelle, lesPj sont de la forme

0 −bj

bj 0

. Pour M orthogonale, lesP_j sont de la forme

a_j −b_j b_j a_j

aveca²_j+b²_j = 1.

– App : Les matrices antisymétriques réelles, orthogonales sont diagonalisables surC. – App : exp:A_n(R)7→SO_n(R) est surjective.

Références

Gourdon : Orthogonal dans le dual, transposée, matrice,F u-stable ssiF^⊥ u^t-stable, ré- duit la dimension des espaces stables à chercher. Polynôme caractéristique, exemple, lien avec χ_u|F. Lemme des noyaux, CNS diagonalisabilité, CNS trigonalisabilité, exemples, applications, Décomposition de Jordan-Chevalley.(Dev), décompo de exp(A). Réduction

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simultanée. Endomorphismes semi-simples.(Dev), exemple. Endomorphismes normaux, réduction des endomorphismes normaux, cas deSn(R),An(R),On(R), SOn(R) connexe, exemples, expA_n(R)→SO_n(R) surjective.

Objectif Agrégation : Sous-espace stable, Im et Ker,u|F et u, forme matricielle associée à un s-espace stable, exemple symétrie et projecteur.

Caldero, Germoni : Réduction simultanée,Gl_n 'Gl_mssi m=n, SO₃(R) et les quater- nions.(Dev)

FGN (Algèbre 1) : si u stabilise les s-ev de dim k alors u homothétie.

Madère : Exemple de calcul de sous-espaces stables d’une matrice.

Ulmer : Théorie des représentations linéaires, représentations irréductibles, représenta- tions de degrés 1, Th de Mashke, Lemme de Shur.

June 3, 2017

Vidal Agniel,École normale supérieure de Rennes

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