154 Sous-esp stables par un endo ou une famille d’endo d’un e.v de dimension finie. App.

154 Sous-esp stables par un endo ou une famille d’endo d’un e.v de dimension finie. App.

Sauf mention du contraire on prends E un K-espace vectoriel de dimension finien∈N

I - Sous-espaces stables.

1 - D´efinition et premiers exemples.

D´efinition 1 : Soitu∈ L(E) (endomorphisme deE), soitF un sous-espace vectoriel deE. On dit queF est stable parusiu(F)⊂F.

Exemples 2 :

• Le noyau et l’image d’un endomorphisme sont stables par celui-ci.

• Les sous-espaces propres deu∈ L(E) sont stables paru.

• L’image et le noyau d’un polynˆome d’endomorphisme P(u) sont stables paru.

2 - Endomorphismes induits

D´efinition 3 : SiF est un sous-espace vectoriel stable paru∈ L(E) alors l’endomorphisme induit parusurF est : u:F−→F.

Proposition 4 : SoitF un sous-espace vectoriel deE, alorsF stable paru si et seulement si pour toute baseBF deF compl´et´ee en une baseB de E, on a alors la matrice deudans la base B est de la forme :

A B

0 C

avecA∈ M_dim(F)(K),B ∈ Mdim(F),n−dim(F)(K) etC∈ M_n−dim(F)(K).

Proposition 5 : Soit u∈ L(E), on note πu son polynˆome minimal et χu

son polynˆome caract´eristique. Alorsπu_F|πu etχu_F|χu.

Corollaire 6 : Si χu est irr´eductible, les seuls sous-espaces de E stables parusontE et 0.

Proposition 7 : Siuun endomorphisme d’unR-ev (espace vectoriel)E de dimension finie, alors il existe un sev (sous-espace vectoriel) F de E de dimension 1 ou 2 stable paru.

3 - Dualit´e

D´efinition 8 : SiAest un sous-espace deE etE^?est le dual deEon note A^⊥={ϕ∈E^?/∀x∈A, ϕ(x) = 0}qui est un sev deE^?.

Proposition 9 : SiF est un sev deE, alors dim(F) + dim(F^⊥) = dim(E).

D´efinition 10 : Soitu∈E^∗, on note ^tu:E^? −→ E^? ϕ 7−→ ϕ◦u .

Proposition 11 : Soit u ∈ L(E). Un sev F de E est stable par u si et seulement siF^⊥ est stable par ^tu.

II - Traduction `a la r´eduction des endomorphismes.

1 - Diagonalisation.

Th´eor`eme 12 : (Lemme des noyaux) Soitu un endomorphisme deE. Si P1, . . . , Pn∈K[X] (avecnentier strictement positif) sont premiers entre eux deux `a deux, alors les sous-espaces vectoriels V_i = ker(P_i(u))(o`u 1≤i≤n) sont en somme directe et

n

M

i=1

ker [P_i(u)] = ker

" _n Y

i=1

P_i

! (u)

# .

D´efinition 13 : Soituun endomorphisme deE etP ∈K[X] un polynˆome annulateur de u et

n

Y

i=1

P_i^mi la factorisation de P avec les polynˆomes Pi

irr´eductibles et distincts. Alors il existe une baseB deE et des matrices Ai∈Mn_i(K) telles que la matrice deudans la baseB est diagonale par blocs form´ees par les matricesAi. On dit alors que uest diagonalisable par blocs.

D´efinition 14 : On dit queu∈ L(E) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base deE form´ee de vecteurs propres deu.

Proposition 15 : On dit que u ∈ L(E) est diagonalisable s’il existe une base (e_i)i∈I telle que la matrice deudans la base (e_i)i∈I est diagonale.

Th´eor`eme 16 : Soient u ∈ L(E) et λ₁, ..., λ_p des valeurs propres de u.

Universit´e de Rennes 1 M2 pr´eparation agr´eg ann´ee 2019-2020

Alors :uest diagonalisable si et seulement siE=⊕^p₁E_λi si et seulement si dim(E) =Pp

1dim(E_λi.

Corollaire 17 : Si u ∈ L(E) admet n valeurs propres deux `a deux distinctes, alorsuest diagonalisable.

Proposition 18 : Soientu∈ L(E) etλvaleur propre deud’ordremalors dim(Eλ)6m.

D´efinition 19 : Soit u ∈ L(E), et soit λ une de ses valeurs propres, on poseEλ son sous-espace propre associ´e.

Th´eor`eme 20 : Soit u ∈ L(E), u est diagonalisable si et seulement si : χu(X) est scind´e dansKet pour touti∈ {1,2, . . . , n},dim(Eλ<sub>i</sub>) =mi. Proposition 21 : Soit u ∈ L(E), si χu son polynˆome caract´eristique scind´e avec λ1, . . . , λp ses valeurs propres etm1, . . . , mp les multiplicit´es associ´e `a chacune des valeurs propres. Alors u est diagonalisable et Q(X) =Qp

1(X−λ_i) est un polynˆome annulateur deu.

Th´eor`eme 22 : Soit u∈ L(E), alorsu est diagonalisable si et seulement s’il existe un polynˆome annulateur deu, scind´e et n’ayant que des racines simples si et seulement si son polynˆome minimal est scind´e et `a racines simples.

2 - Trigonalisation.

D´efinition 23 : Soit u ∈ L(E), u est trigonalisable s’il existe une base (ei)i∈Itelle que le matrice deudans cette base est triangulaire sup´erieure.

Th´eor`eme 24 : Soitu∈ L(E), uest trigonalisable si et seulement si son polynˆome caract´eristique est scind´e.

Corollaire 25 : Toute matrice A ∈ Mn(C) est semblable `a une matrice triangulaire deMn(C).

Corollaire 26 : Soit A ∈ Mn(K), si Spec(A) = (λ1, . . . , λp), alors T r(A)Pp

1λi et det(A) =Qp 1λi.

D´efiition 27 : Un drapeau de E est une suite finie strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E, commen¸cant par l’espace nul {0} et se terminant par l’espace totalE : {0}=E₀(E₁(· · ·(E_k−1(E_k=E.

aveckun entier naturel. De plus si dim(E_i) =ipour tout 0≤i≤k≤n alors le drapeau est dit total.

Proposition 28 : Soituun endomorphisme de E, alorsuest trigonalisable si et seulement s’il existe un drapeau total deE stable paru.

3 - R´eductions simultan´ees.

Th´eor`eme 29 : Soient u, v ∈ L(E) diagonalisables (respectivement

trigonalisables) et tels queu◦v=v◦u. Alors il existe une base commune de diagonalisation (respectivement de trigonalisation) de u et v. On dit alors queuetvsont codiagonalisables (respectivement cotrigonalisables).

Corollaire 30 : Soit (ui)i∈I une famille d’endomorphismes de E diago- nalisables (respectivement trigonalisables) et commutant deux `a deux.

Alors il existe une base commune de diagonalisation (respectivement trigonalisation) `a tous lesui.

D´efinition 31 : On dit que U ⊂ L(E) est irr´eductible si les deux seuls sous-espaces deEstables par tout ´el´ement de U sontEet {0}.

Application 32 : (Lemme de Schur). Soit E un C-ev de dimension finie.

SoitU une partie irr´eductible deL(E), alors les seuls ´el´ements commutant avec tout les ´el´ements deU sont les homoth´eties.

Remarque 33 : Si E est un R-ev de dimension finie le r´esultat pr´ec´edent reste vrai sinimpair.

4 - D´ecomposition de Dunford.

Th´eor`eme 34 : (Th´eor`eme des polynˆomes annulateurs) Soitu∈ L(E) et P∈K[X] un polynˆome annulateur. SoitP=αQp

1M_i^mila d´ecomposition en facteurs irr´eductibles de K[X] du polynˆome P. On pose pour tout i ∈ {1, . . . , p}, Ni = kerM_i^mi(u). On a alors E = ⊕^p₁Ni et pour tout i ∈ {1, . . . , p} la projection sur Ni parall`element `a ⊕^p_j=1,j6=iNj est un poynˆome enu.

Th´eor`eme 35 : (D´ecomposition de Dunford) Soit u ∈ L(E) tel que son polynˆome caract´eristique χu soit scind´e sur K. Alors il existe un unique couple (d, n) d’endomorphismes tel que :

• dest diagonalisable,nest nilpotent.

• u=d+netd◦n=n◦d.

De plusdet nsont des polynˆomes enu.

Proposition 36 : Soient A ∈ Mn(C) tel que son polynˆome minimal π_A soit scind´e etA=D+N, la d´ecomposition de Dunford dansCdeA. On consid`ere l’applicationϕ_A:M −→AM−M A. Alors :

• ϕA=ϕD+ϕN est la d´ecomposition de Dunford de ϕA.

• Adiagonalisable ⇔ϕA diagonalisable.

III - Endomorphismes remarquables.

1 - Endomorphismes cycliques.

D´efinition 37 : Soit P(X) = Xⁿ −an−1Xⁿ⁻¹ −. . . −a0 ∈ K[X] un 2

polynˆome unitaire. On lui associe sa matrice compagnon d´efinie par :

C_p=













0 . . . 0 a₀ 1 ... ... ...

0 ... 0 ...

0 0 1 a_n−1













C_p∈ M_n(K)

Proposition 38 : Avec la d´efinition pr´ec´edente on a alorsχC_p=P. D´efinition 39 : Soitu∈ L(E). On dit queuest cyclique s’il existex∈E tel que (x, u(x), . . . , uⁿ⁻¹(x)) soit une base de E.

Proposition 40 : Soitu∈ L(E). On a ´equivalence entre :

• uest cyclique.

• πu= (−1)ⁿχu.

• πude degr´en.

• Il existe une base de E dans laquelle la matrice deE est ´egale `a la matriceC_p.

• dim(K[u]) =n.

Proposition 41 : Soituun endomorphisme cyclique, les seuls sous-espaces stables parusont son noyau et son image.

Th´eor`eme 42 : (R´eduction de Frobenius) Soit u ∈ L(E). Il existe une base B de E et une suite unique de polynˆomes unitaires Pr|P_r−1|. . .|P1

tels que la matrice deudans la baseB est diagonale par blocs, ces blocs

´etant les matrices compagnons associ´ees `a chacun des polynˆomes.

2 - Endomorphismes semi-simples.

D´efinition 43 : Soitu∈ L(E), on dit que uest semi-simple si pour tout sous-espacesF deEstable paru, il existe un suppl´ementaire deF stable paru.

Proposition 44 : Soituun endomorphismeπ_u est irr´eductible alorsuest semi-simples.

Th´eor`eme 45 :u∈ L(E) est semi-simple si et seulement s’il n’y a pas de facteurs carr´es dansπ_u.

Remarque 46 : SiKest alg´ebriquement clos, semi-simple est ´equivalent `a diagonalisable.

3 - Endomorphismes auto-adjoints.

D´efinition 47 : Soit u un endomorphisme d’un espace euclidien E de dimension finie, on appelle adjoint deul’endomorphisme not´eu^? tel que hu(x), yi=hx, u^?(y)i

D´efinition 48 : Un endomorphisme u d’un espace euclidien est dit auto-adjoint sihu(x), yi=hx, u(y)i(cad :u^?=u).

Proposition 49 : Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme auto-adjoint. SiF est un sev deE stable paru, alorsF^⊥est stable paru. Th´eor`eme 50 : Soit u un endomorphisme auto-adjoint d’un espace euclidien E, alors u est diagonalisable et les sous-espaces propres de u sont deux `a deux orthogonaux.

Corollaire 51 : Soit S ∈ Sn(R). Il existe une base orthonorm´ee dans laquelleS est diagonalisable.

Proposition 52 : Soit E un espace hermitien et u un endomorphisme auto-adjoint. Si F est un sev de E stable par ualors F^⊥ est stable par u^?.

4 - Endomorphismes normaux.

D´efinition 53 : Un endomorphisme u d’un espace hermitien e est dit normal siu^?◦u=u◦u^?.

Th´eor`eme 54 : Soit u un endomorphisme normal d’un espace hermitien E, alorsuest diagonalisable et les sous-espaces propres deusont deux `a deux orthogonaux.

Corollaire 55 : SoitA∈ Mn(C) normale. Il existe une matrice unitaireU telle queA⁰= ^tU AU soit diagonale.

5 - Endomorphismes orthogonaux.

D´efinition 56 : u ∈ L(E) est dit endomorphisme orthogonal si

∀(x, y)∈E², < u(x), u(y)>=< x, y >.

Proposition 57 : Soit u ∈ L(E), on ´equivalence entre les propositions suivantes :

• uorthogonal.

• ∀x∈E,ku(x)k=kxk.

• Soit B base orthonorm´ee de E et A = Mat_B(u), alors ^tAA = A^tA=I_n.

Proposition 58 : Soitu∈O(E), alors les valeurs propres deusont±1 et det(u) =±1, en particulier,uest bijective.

Proposition 59 :u est un endomorphisme orthogonal si et seulement s’il transforme toute base orthonorm´ee en une base orthonorm´ee.

Proposition 60 : Soit E un espace euclidien ou hermitien et u ∈ L(E) orthogonal. SiF est un sev deE stable paru, alorsF^⊥ est stable paru.

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R´ef´erences : Gourdon Alg`ebre

Beck-Malik-Payr´e Objectif Agr´egagtion Grifone Alg`ebre lin´eaire

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