4 Sous-espaces stables par un nilpotent

Endomorphismes

1 u ◦ v = −v ◦ u

SoitE un espace vectoriel de dimension nien≥1. Montrer quenest pair si et seulement si il existe deux automorphismes u etv tels queu◦v=−v◦u.

Indications

Siu◦v=−v◦u, utiliser le déterminant. Pour la réciproque, on peut utiliser

1 0

0 −1

et

0 1

1 0

.

2 p ◦ q = 0

Soitpetqdeux projecteurs d'un espace E de dimension nientels quep◦q= 0.

Montrer quergp+ rgq≤n ; montrer quer=p+q−q◦pest un projecteur dont on donnera l'image et le noyau. Chercher une réduction commune àpetq.

Indications

Imq⊂kerp; doncrgq≤dim kerp=n−rgp; donc

rgp+ rgq≤n Ensuite on calcule(p+q−q◦p)² et on trouvep+q−q◦p.

Soitx∈kerr: r(x) = 0; d'oùp(r(x)) = 0; avecp◦q= 0, on en déduit p(x) = 0; d'oùq(x) = 0. On obtient : kerr⊂kerp∩kerq

L'autre inclusion est facile.

Six∈Imp,r(x) =x.

Six∈Imq, alorsx∈kerpet on trouve aussir(x) =x; donc

Imp+ Imq⊂Imr

L'autre inclusion est facile.

Réduction commune

On vérie quekerp= Imq⊕(kerp∩kerq), d'où

E= Imp⊕Imq⊕(kerp∩kerq)

On en déduit une représentation matricielle depet qpar blocs.

3 Projecteurs nilpotents

SoitE un espace vectoriel. Quels sont les projecteurs deE qui sont nilpotents ?

4 Sous-espaces stables par un nilpotent

SoitE unR−espace de dimensionn≥2 ; soit uun endomorphisme deE tel que uⁿ = 0 et uⁿ⁻¹ 6= 0. On xea∈E tel que uⁿ⁻¹(a)6= 0.

1. Montrer que a, u(a), ..., uⁿ⁻¹(a)est une base deE. 2. Décrire les images et noyaux deu^k.

3. Trouver les sous-espaces deE stables paru.

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Indications SoitE₀={0}et

E_k= Vect (e_n−k, ..., e_n−1) On montre que

E_k= Imu^n−k = keru^k

Il est clair que pour0≤k≤n,Ek est un sous-espace deE de dimensionket stable paru. On va montrer que ce sont les seuls.

SoitF un sous-espace deE de dimension ket stable par u. Soit v l'endomorphisme deF induit par u; on sait que v est nilpotent d'indicem≤dimF ; doncm≤k; donc :

F ⊂keru^k De plus,F etkeru^k ont la même dimensionk; donc

F = keru^k Conclusion : il y an+ 1sous-espaces stables paru, lesEk.

5 A

B = A

SoitAet B deux éléments deMn(R)de même rang vériantA²B=A; montrer queB²A=B. Remarque

Pas facile.

Réponse

On montre d'abord quekerA= kerB= kerA². Ensuite :

A²B=A, doncA²BA=A², doncA²(BA−In) = 0, doncB(BA−In) = 0.

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