Feuille 4 : ´ Equations diff´ erentielles lin´ eaires du premier ordre

UPMC 1M001 Analyse et alg` ebre pour les sciences 2013-2014

Feuille 4 : ´ Equations diff´ erentielles lin´ eaires du premier ordre

Exercice 1. R´esoudre, sur un intervalle que l’on pr´ecisera, les ´equations diff´erentielles suivantes : 1. y⁰ =y,

2. y⁰+ 2y= 0,

3. y⁰+2y x = 0, 4. (1 +x²)y⁰=y.

Exercice 2. Trouver la solution de l’´equation diff´erentielley⁰tan(x)−y= 0qui prend la valeur 1 pourx=π/6.

Exercice 3. R´esoudre, sur un intervalle que l’on pr´ecisera, les ´equations diff´erentielles suivantes : 1. y⁰ =y+ 1,

2. y⁰−y=xe^x,

3. y⁰+y= cos(x) + sin(x) 4. xy⁰+ 2y=x³.

5. (x²−1)y⁰+xy= 1, 6. y⁰−2y=x²avecy(0) = 1.

Exercice 4. R´esoudre surRles ´equations diff´erentielles suivantes : 1. y⁰+y= 2e^x,

2. (e^x+e^−x)y⁰−(e^x−e^−x)y=e^x, 3. y⁰(1 +x²) +y= 1−x−x².

Exercice 5. Soientg ethles fonctions d´efinies par :

g(x) = ln(ln(x)) et h(x) = −1 ln(x). 1. Calculer les d´eriv´ees des fonctionsg eth.

2. R´esoudre sur]0,+∞[l’´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre suivante : y⁰xln(x)−(x²ln(x) + 1)y= exp(x²/2).

Exercice 6. On pose

g(x) = ln x−2

x

.

1. Donner l’ensemble de d´efinition deg et calculer la d´eriv´ee de gsur]2,+∞[.

2. Trouver la solution g´en´erale sur l’intervalle]2,+∞[ de l’´equations diff´erentielle : y⁰ = 2

x(x−2)y+ 2(x−2).

Exercice 7. On cherche `a r´esodre l’´equation diff´erentielley⁰= 1 +y²surI=]−π/2, π/2[.

1. En trouver une solution particuli`ere.

2. Soitf une solution de l’´equation diff´erentielle. On pose pourx∈I,g(x) = arctan(f(x)). Calculerg.

3. En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation diff´erentielle surI.

Exercice 8. 1. Calculer la d´eriv´ee de φ:x→ −1

2ln(1 +x²).

2. Trouver les solutions de l’´equation(1 +x²)y⁰+xy= 0.

3. Trouver les solutions de l’´equation(1 +x²)y⁰+xy= 2x.

Exercice 9. 1. Calculer la d´eriv´ee de la fonction φ:x→ln(cos(x))avecx∈]0, π/2[.

2. Trouver la solution sur ]0, π/2[de l’´equationy⁰+ tan(x)y= tan(x).

Exercice 10. R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes : 1. p

1 +x²y⁰−y= 1surR, 2. p

x²−1y⁰+y= 1sur]1,+∞[, 3. (sin(x))³y⁰ = 2 cos(x)y sur]0, π[, 4. x(1 + ln²(x))y⁰+ 2 ln(x)y= 1surR^∗+, 5. ch(x)y⁰+ sh(x)y= sh³(x)surR.

Exercice 11. Former une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre dont les fonctions de la forme f(x) = C+x

1 +x², avecC∈R, seraient les solutions.

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