Feuille d’exercices n˚18 Equations diff´ ´ erentielles

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚18 Equations diff´ ´ erentielles

Exercice 241

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle

E : 2xy⁰+y= 0 sur ]0,+∞[.

2. Que dire de la structure de l’ensemble des solutions ? 3. Donner la solution ydeE sur ]0,+∞[ v´erifianty(2) = 1.

Exercice 242 : R´esoudre l’´equation diff´erentielle

E : y⁰+ytan(x) = sin(2x) suri

−π 2,π

2 h

.

Exercice 243 : R´esoudre sur I=Rles ´equations diff´erentielles suivantes.

E₁ : y⁰+ 2y=x E₂ : y⁰+y= 1 E₃ : y⁰+y= sin(2x) E₄ : y⁰+ 2y=e^−3x E₅ : y⁰+y= 2 cos(2x)−sin(2x) E₆ : y⁰+y= 1

1 +e^x

Exercice 244 : R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes sur l’intervalleI sp´ecifi´e.

E1 : y⁰sin(x)−cos(x)y−1 = 0 surI=]0, π[ E2 : xy⁰−2y= ln(x) surI=]0,+∞[

E₃ : y⁰√

1−x²+y= 1 sur I=]−1,1[ E₄ : (1−x)y⁰+y= x−1

x surI=]1,+∞[

Indication : Pour r´esoudre l’´equation diff´erentielle E4, on pourra remarquer qu’il existe A, B∈Rtels que :

∀x∈]1,+∞[ 1

x(x−1) = A x + B

x−1.

Exercice 245 : R´esoudre sur Rles deux ´equations diff´erentielles suivantes.

E1 : y⁰+ 2y= 2 sin(x) + 3 cos(x) + 3e^x E2 : y⁰+ 2y= 4 sin(2x) + 6 cos(2x) +e^x

Exercice 246 : Soit l’´equation diff´erentielle

E : x²y⁰+y= 1.

1

1. D´eterminer toutes les solutions deE surI₁=]− ∞,0[.

2. D´eterminer toutes les solutions deE surI₂=]0,+∞[.

3. Montrer qu’il y a une infinit´e de solutions `aE d´efinies surR. Quelles sont-elles ?

F Exercice 247

1. Montrer que l’´equation

E1 : x²y⁰+xy= 1 ne poss`ede aucune solution surR.

2. Montrer que l’´equation

E2 : (1−x)y⁰−y=x poss`ede une seule solution surR.

3. Montrer que l’´equation

E3 : x²y⁰−y= 1 poss`ede une infinit´e de solutions surR.

F Exercice 248 : R´esoudre les ´equations diff´erentielles a(x)y⁰+b(x)y =c(x) suivantes sur chaque intervalleI o`u la fonctionane s’annule pas, puis ´etudier les probl`emes de recollement ´eventuels.

E₁ : xy⁰−y = 1 E₂ : xy⁰−2y=x⁴ E3 : xy⁰−y = ln(x²) E4 : (e^x−1)y⁰−e^xy= 1

Exercice 249 : Trouver toutes les solutions sur Rdes ´equations diff´erentielles suivantes.

E1 : y⁰⁰+ 5y⁰+ 4y= 0 E2 : y⁰⁰+ 2y⁰+ 5y=−10 E3 : y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y= 9

Exercice 250 : Pour les ´equations diff´erentielles suivantes, d´eterminer les solutionsyd´efinies surRsatisfaisant aux conditions initiales donn´ees.

E1 : y⁰⁰+ 2y⁰−3y= 0, y(0) =−1, y⁰(0) = 7 E2 : y⁰⁰+ 4y⁰+ 5y= 5, y(0) = 1, y⁰(0) = 1

F Exercice 251 : Pour les ´equations diff´erentielles suivantes, d´eterminer les solutionsyd´efinies surRsatisfaisant aux conditions initiales donn´ees.

E₁ : y⁰⁰−5y⁰+ 4y=e^−x, y(0) = 2, y⁰(0) = 6 E₂ : y⁰⁰−4y= sin(3x), y(0) = 3, y⁰(0) = 5

Exercice 252

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle

E : y⁰⁰+y= sin(x) surR.

2. Plus g´en´eralement r´esoudre l’´equation diff´erentielle

Eω : y⁰⁰+ω²y= sin(ωx) surR, o`uω est un r´eel fix´e.

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