Feuille d’exercices n˚13 Equations diff´ ´ erentielles

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚13 Equations diff´ ´ erentielles

Exercice 175 : R´esoudre l’´equation diff´erentielle

(E) : y⁰−2y= 1.

surR.

Exercice 176 : R´esoudre l’´equation diff´erentielle

(E) : y⁰+y= 1 1 +e^x surR.

Exercice 177 : R´esoudre l’´equation diff´erentielle

(E) : xy⁰+y= ln(x) sur ]0,+∞[.

Exercice 178 : Soit l’´equation diff´erentielle (E) :

x²y⁰−y= 0.

L’objectif de cet exercice est de r´esoudre l’´equation diff´erentielle (E) sur Rpar recollement d’une solution de (E) sur ]− ∞,0[ et d’une solution de (E) sur ]0 +∞[.

1. Montrer que l’ensembleSol_(E),R des solutions de (E) surRest un sous-espace vectoriel deF(R,R).

2. R´esoudre l’´equation (E) sur ]− ∞,0[.

3. R´esoudre l’´equation (E) sur ]0,+∞[.

4. Soity:R→Rune solution de (E).

(a) Que peut-on dire de la restrictiony_|]−∞,0[ dey `a ]− ∞,0[ ? En d´eduirela forme dey<sub>|]−∞,0[</sub>. (b) Que peut-on dire de la restrictiony<sub>|]0,+∞[</sub> dey `a ]0,+∞[ ? En d´eduirela forme dey_|]0,+∞[.

(c) En utilisant la continuit´e deyen 0, en d´eduire qu’il existeK₁∈Rtel que :

∀x∈R, y(x) =







K1e^−1x six >0 0 si x≤0.

5. SoitK∈R. Soity:R→Rla fonction d´efinie par : y:R → R

x 7→







K e^−1x six >0 0 six≤0.

Montrer quey est solution de (E) surR, i.e. que :

• y est d´erivable surR;

• ∀x∈R, x²y⁰(x)−y(x) = 0.

6. D´eduire de ce qui pr´ec`ede l’ensembleSol_(E),R.

7. Donner une base deSol_(E),Ret en pr´eciser la dimension.

F Exercice 179 : On consid`ere l’´equation diff´erentielle :

(E) |x|y⁰+ (x−1)y=x². L’objectif est de r´esoudre l’´equation diff´erentielle (E) surRpar recollement.

1. R´esoudre (E) sur ]0,+∞[.

2. R´esoudre (E) sur ]− ∞,0[.

3. S’inspirer de la d´emarche de l’exercice 178 pour d´eterminer l’ensemble Sol_(E),Rdes solutions de (E) sur R.

Exercice 180 : Soitω0∈R^+∗. On consid`ere l’´equation diff´erentielle : (E) : y⁰⁰+ω²₀y= 0.

1. R´esoudre (E) surR.

2. D´eterminer l’unique solutionyde (E) surRtelle que :y(0) = 1 ety⁰(0) = 1.

Exercice 181 : R´esoudre l’´equation diff´erentielle

(E) : y⁰⁰+y⁰−2y=e^x. surR.

F Exercice 182 : R´esoudre l’´equation diff´erentielle

(E) : y⁰⁰−6y⁰+ 9y= cos(2x).

surR.Indication : On pourra passer au champ complexe.