Feuille d’Exercices 7 ´Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 2

Universit´e de Paris XI L1 – ´Equations diff´erentielles – Math 111

Math´ematiques 1er semestre 06/07

Feuille d’Exercices 7

Equations diff´´ erentielles lin´eaires d’ordre 2

Exercice 7.1.— ´Equations du second ordre et conditions initialesOn consid`ere l’´equation diff´erentielle

(1) y⁰⁰+y⁰+y= 0

1. Trouver toutes les solutions de (1) qui v´erifient la condition initialey(0) = 1.

2. Trouver toutes les solutions de (1) qui v´erifient la condition initialey⁰(0) = 1.

3. Trouver toutes les solutions de (1) qui v´erifient la condition initialey(0) = 1 ety⁰(0) = 1.

Exercice 7.2.— R´esolutions d’´equations avec second membres R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes (on pourra chercher une solution particuli`ere sous la formef(x) =Ce<sup>w0x</sup> avecCconstante, et, s’il n’y en a pas, sous la forme f(x) =Cxe<sup>w0x</sup>, ouf(x) = (Cx+C<sup>0</sup>)e<sup>w0x</sup>, o`u C⁰ est une autre constante) :

1. y⁰⁰−3y⁰+ 2 = 0, 2. y⁰⁰−3y⁰+ 2 =e^3x, 3. y⁰⁰−3y⁰+ 2 =e^2x, 4. y⁰⁰−6y⁰+ 9y=e^2x, 5. 2y⁰⁰+ 2y⁰+y=xe^−x,

6. y⁰⁰+ 2y⁰+y= (9x²+ 3x+ 5)e^2x+ 2e^−x.

Exercice 7.3.— Espace des solutions de l’´equation diff´erentielle y⁰⁰+y = 0. On veut montrer que l’´equation diff´erentielle y⁰⁰+y = 0 n’a pas d’autre solution que les combinaisons lin´eaires de cos et sin. Soitf une fonction solution, d´efinie sur un intervalleI.

1. On fixe un r´eel t ∈I. Montrer que le syst`eme d’´equations suivant, d’inconnues αet β, a une (unique) solution, et donner l’expression de αet β:

f(t) =αcos(t) +βsin(t) f⁰(t) =αcos⁰(t) +βsin⁰(t).

Aide : pour ´eliminer les β, muliplier la premi`ere ´equation par cos(t), la seconde par sin(t), puis faire la diff´erence...

2. Pour chaque t ∈ I, on note α(t) et β(t) les deux nombres obtenus `a la question pr´ec´edente.

Calculerf⁰⁰(t) en fonction deα⁰ et β⁰ (ne pas utiliser l’expression deαet β!).

3. En utilisant la d´efinition deα(t) etβ(t) et le fait que f est solution de l’´equation diff´erentielle, montrer qu’on a, pour tout t∈I,

α⁰cos(t) +β⁰sin(t) = 0 α⁰cos⁰(t) +β⁰sin⁰(t) = 0.

4. Conclure en montrant queαet β sont des fonctions constantes.

Exercice 7.4.— Espace des solutions de l’´equation sans second membre. (pas facile...) On consid`ere une ´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre

(1) ay⁰⁰+by⁰+cy= 0

(aveca6= 0). On note ∆ =b²−4ac. Pour simplifier, on pourra supposera= 1.

1. On suppose ∆ > 0. Soit λ1,λ2 les racines du polynˆome ax²+bx+c. Soit f1 : t 7→ e^λ1.t et f2 : t 7→ e^λ1.t. On consid`ere une fonction f de la forme f(t) = A(t)f1(t). Quelle ´equation diff´erentielle doit satisfaireApour quef soit solution de (1) ? R´esoudre cette ´equation. En d´eduire que toutes les solutions de (1) sont de la forme α.f1+β.f2 avecα,β∈R.

2. On suppose ∆ = 0. Soitλ0la racine du polynˆomeax²+bx+c. Soitf0:t7→e^λ0.t. On consid`ere une fonction f de la forme f(t) = A(t)f0(t). Quelle ´equation diff´erentielle doit satisfaire A pour quef soit solution de (1) ? R´esoudre cette ´equation. En d´eduire que toutes les solutions de (1) sont de la formet7→(α+β.t)f0(t) avecα,β∈R.

3. On suppose ∆ <0. Soit λ±iω les racines du polynˆomeax²+bx+c. Soit f₀ : t 7→e^λ.t. On consid`ere une fonction f de la forme f(t) = A(t)f₀(t). Montrer que f est solution de (1) si et seulement si A est solution de A⁰⁰+ω²A = 0. En utilisant l’exercice pr´ec´edent, en d´eduire que toutes les solutions de (1) sont de la formet7→e^λ.t(αcos(t) +β.sin(t)) avecα,β ∈R.