0.2 Equations diff´erentielles du premier ordre

Universit´e A/ MIRA de B´ejaia Ann´ee universitaire 2014-2015

Facult´e de Technologie MATH 2 SECTION H

D´epartement de Technologie 1`ere ann´ee

Chapitre 2 : Equations diff´erentielles

On appelle ”´equation diff´erentielle” toute ´equation dans laquelle figurent une fonction inconnue d’une variable et ses d´eriv´ees de diff´erents ordres.y⁰⁰+y⁰+ 2y = 0est une ´equation diff´erentielle d’ordre2.

0.1 G´en´eralit´es

D´efinition 2.1On appelle ´equation diff´erentielle du premier ordre une relation de la forme

F (x, y, y⁰) = 0 (1)

o`uy<sup>0</sup> est la d´eriv´ee deypar rapport `axetF une fonction num´erique de 3 variables d´efinie sur une partieU deR³.

Exemple: L’´equation diff´erentielley⁰−y²−x= 0est du premier ordre avecU =R³ et F(x, y, y⁰) =y⁰−y²−x.

D´efinition 2.2Une ´equation diff´erentielle du second ordre est une relation de la forme

F(x, y, y⁰, y⁰⁰) = 0 (2)

o`uy<sup>0</sup> ety<sup>00</sup>sont les d´eriv´ees du premier et du second ordres respectivement deypar rapport `axet F une fonction num´erique de 4 variables d´efinie sur une partieU deR⁴.

Exemple :L’´equation diff´erentielley⁰⁰+xy+y³ = 0est du second ordre avecU =R⁴ et F(x, y, y⁰, y⁰⁰) = y⁰⁰+xy+y³.

D´efinition 2.3Une ´equation diff´erentielle du premier ordre ( resp. du second ordre) est dite mise sous forme normale lorsqu’elle s’´ecrit

y⁰ =f(x, y)(resp.y⁰⁰ =f(x, y, y⁰)) (3) o`uf repr´esente une fonction r´eelle de 2 (resp. 3) variables.

D´efinition 2.4Une solution (ou int´egrale) de l’´equation diff´erentielle (1) (resp. (2)) est une fonction num´eriqueu, d´efinie sur un intervalle r´eelI, d´erivable (resp. d´erivable deux fois) et telle que∀x∈I, on ait

F (x, u(x), u⁰(x)) = 0 (x, u(x), u⁰(x))∈U

(resp. F (x, u(x), u⁰(x), u⁰⁰(x)) = 0 (x, u(x), u⁰(x), u⁰⁰(x))∈U).

Exemple :y = cosxest une solution d´efinie dansRde l’´equation diff´erentielley⁰⁰+y= 0.

D´efinition 2.5R´esoudre (ou int´egrer) une ´equation diff´erentielle, c’est en trouver toutes les solutions quand elles existent. Le graphe d’une solution est appel´e courbe int´egrale de l’´equation diff´erentielle.

0.2 Equations diff´erentielles du premier ordre

0.2.1 Equations diff´erentielles `a variables s´epar´ees

Une ´equation diff´erentielle est dite `a variables s´epar´ees (ou s´eparables) si elle est de la forme

g(y)y⁰ =f(x) (4)

o`uf etgsont deux fonctions r´eelles continues sur des intervallesI etJ respectivement.

R´esolution : On a

g(y)y⁰ = f(x)

⇐⇒ g(y)dy

dx = f(x)

⇐⇒ g(y)dy = f(x)dx

=⇒ R

g(y)dy = R

f(x)dx.

On obtient

G(y(x)) =F(x) +C, C est une constante

o`uGest une primitive deg surJ etF est une primitive def surI. Enfin, on d´etermine y:x7−→y(x)comme solution de (4).

Exemple :Consid´erons l’´equation diff´erentielle suivante y⁰ =xy.

Remarquons quey= 0est une solution triviale (´evidente). On suppose quey6= 0, doncy⁰/y =x qui est `a variables s´epar´ees avecf(x) =xetg(y) = 1/y.

On a dy

y = xdx

=⇒ ln|y|+K = ¹₂x²

=⇒ e^ln|y|+K = e^12x2

=⇒ e^K|y| = e^12x2

=⇒ y = ±_e¹Ke^12x2

=⇒ y = C⁰e^12x2, C⁰ 6= 0.

Finalement, les solutions sont

y(x) = Ce^12x2, C ∈R. Elles sont d´efinies surR.

0.2.2 Equations diff´erentielles homog`enes en x et y

C’est une ´equation de la forme

y⁰ =fy x

, x6= 0 (5)

o`uf :I −→Rest une fonction continue.

R´esolution : On utilise ce changement d’inconnuez =y/xqui donney⁰ =z+xz⁰. Par suite (5) ⇐⇒ z+xz⁰ = f(z)

⇐⇒ z+x^dz_dx = f(z)

⇐⇒ xdz = (f(z)−z)dx

=⇒ R _dz

f(z)−z = R _dx

x . D’o`u

ln|x| = φ(z) +K, φest une primitive de _f(z)−z¹

=⇒ |x| = exp{φ(z) +K}

=⇒ x = ±exp{φ(z)}.exp{K},

puis, on d´etermineysolution de (5) grˆace `a la relationy =xz.

Exemple :R´esoudre2xyy⁰ =y²−x². Elle est de la formey⁰ =f ^y_x

,avecf ^y_x

= ¹₂

y x − ¹y

x

. Le changement d’inconnue=y/x conduit `a l’´equationz+xz⁰ = ¹₂ z− ¹_z

. En int´egrant, on obtientx= _1+z^c2. D’o`u y(x) = ±c

r c x −1

,cest une constante.

0.2.3 Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre

Une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre est une ´equation diff´erentielle de la forme

y⁰+a(x)y=f(x) (6)

o`uf etasont deux fonctions r´eelles d´efinies sur un intervalleJ. (6) est dite ´equation diff´erentielle non homog`ene (ou avec second membre). l’´equation diff´erentielle

y⁰+a(x)y= 0 (7)

est dite ´equation diff´erentielle homog`ene (ou sans second membre). (7) est appel´ee l’´equation homog`ene associ´ee `a l’´equation (6).

a) R´esolution de l’´equation homog`ene (7) : Soity⁰+a(x)y= 0. Siy6= 0, on a dy

y =−a(x)dx et par suite

ln|y|=−A(x) +C₁ o`uC<sub>1</sub> ∈RetAest une primitive deasurJ. D’o`u

y(x) = C₂exp{−A(x)},C₂ =±exp{C₁} ∈R^∗. Remarque : y = 0est une solution triviale (´evidente) de (7).

Finalement

y(x) = Cexp{−A(x)},C ∈R est la solution g´en´erale de (7).

a) R´esolution de l’´equation avec second membre (6) : Siy₀ est la solution g´en´erale de (7) et y₁ est une solution particuli`ere de (6), alorsy=y₀+y₁ est la solution g´en´erale de (6).

M´ethode de la variation de la constante : Soity=Cexp{−A(x)}la solution g´en´erale de (7).

On fait varier la constanteC, et la solution g´en´erale de (6) sera :y(x) =C(x) exp{−A(x)}. On a y⁰ =C⁰exp{−A(x)} −Ca(x) exp{−A(x)}. En remplac¸antyety⁰ dans (6), on obtient

C⁰(x) exp{−A(x)} −Ca(x) exp{−A(x)}+a(x)C(x) exp{−A(x)}=f(x) qui donne

C⁰(x) =f(x) exp{A(x)}, par cons´equent

C(x) = Z

f(x) exp{A(x)}dx.

Finalement la solution g´en´erale de (6) est y(x) = exp{−A(x)}

Z

f(x) exp{A(x)}dx.

Exemple :R´esoudre l’´equation diff´erentielle

y⁰−y=e^x... (E)

L’´equation homog`ene associ´ee est

y⁰−y= 0... (E₀) Poury6= 0

y⁰

y = 1 =⇒ ^dy_y = dx

=⇒ ln|y| = x+K, K ∈R

=⇒ y = C1e^x,C1 ∈R^∗.

y= 0est une solution ´evidente de(E₀). Finalement, la solution g´en´erale de(E₀)esty(x) =ce^x, c∈R. On fait varier la constantecet la solution g´en´erale de(E)seray(x) =c(x)e^x.

On ay⁰ =C⁰e^x+Ce^x. Par suite

y⁰ −y =e^x =⇒ C⁰e^x+Ce^x−Ce^x = e^x

=⇒ C⁰(x) = 1

=⇒ C(x) = x+K, K ∈R. Donc la solution g´en´erale de(E)esty(x) =x+K, K ∈R.

0.2.4 Equation diff´erentielle de Bernoulli

Soientf,gdeux fonctions continues sur un intervalleI. Une ´equation de la forme

y⁰+f(x)y+g(x)y^α = 0 (αr´eel,α6= 0,1) (8) est dite de Bernoulli.

On ´ecarte les casα= 0etα= 1pour lesquels l’´equation est lin´eaire. La fonctionysera suppos´ee positive siαest non entier et de plus non nulle siαest n´egatif.

Pour chercher les solutions de l’´equation diff´erentielle de Bernoulli (´eventuellement en ´ecartant la solution trivialey= 0), on divise pary^α puis on fait le changement de la fonction inconnue z =y^1−α. On aura

y⁰

y^α +f(x)

y^1−α +g(x) = 0 et par cons´equent

y⁰y^−α+f(x)y^1−α+g(x) = 0.

Cette derni`ere ´equation devient enz(du fait quez⁰ = (1−α)y^−αy⁰) z⁰

1−α +f(x)z+g(x) = 0 qui est une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre.

Exemple :Soit l’´equation diff´erentielle de Bernoulli :y⁰+xy+xy⁴ = 0. Elle est de la forme (8) avecα = 4,f(x) = g(x) =x. En posantz =y⁻³ poury 6= 0, on aura

z⁰−3xz = 3x ... (E) L’´equation homog`ene associ´ee `a(E)est

z⁰−3xz = 0... (E0). R´esolution de(E₀) :

(E₀) =⇒ ^z_z⁰ = 3x

=⇒ z =Ce^32x2.

La m´ethode de la variation de la constante :z(x) = C(x)e^32x2, par suite z⁰ =C⁰(x)e^32x2 + 3xC(x)e^32x2.

(E) ⇐⇒ C⁰(x)e^32x2 + 3xC(x)e^32x2 −3xC(x)e^32x2 = 3x

=⇒ C⁰(x) = 3xe^{−32 x2}

C(x) = −e^{−32 x2} +K.

D’o`uz(x) =

−e^{−32 x2} +K

e^32x2 =−1 +Ke^32x2, K ∈R. Par cons´equent _y3¹(x) =−1 +Ke^32x2, K ∈R. C’est `a dire

y(x) = ³

s 1

−1 +Ke^32x2, K ∈R.

0.2.5 Equation de Riccati

Une ´equation diff´erentielle du premier ordre est dite de Riccati si elle est de la forme

y⁰ =f(x) +g(x)y+h(x)y², (9) les fonctionsf,g,hsont continues dans un intervalleI. Ce type d’´equations diff´erentielles n’est pas toujours r´esoluble de fac¸on ´el´ementaire. Mais si une solution particuli`erey1pouvait ˆetre trouv´ee, on pourrait alors ramener la r´esolution de l’´equation de Riccati `a celle d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire. En effet, en posanty=y₁+z, doncy⁰ =y⁰₁+z⁰, on aura

y₁⁰ +z⁰ = f(x) +g(x) (y₁ +z) +h(x) (y₁+z)²

= f(x) +g(x)y₁+g(x)z+h(x)y₁² +2h(x)y₁z+h(x)z².

Donc

z⁰ = (2hy₁+g)z+hz²

qui est de type Bernoulli. Comme on l’a vu plus haut, en posantv = ¹_z, on est ramen´e `a une

´equation lin´eaire. La solution g´en´erale est donn´ee pary=y₁+ ¹_v, o`uv est la solution g´en´erale de v⁰+ (g+ 2hy₁)v+h= 0.

Exemple :Soit l’´equation diff´erentielle de Riccati

y⁰ = 1−x³+xy² ...(∗) Il est ais´e de v´erifier quey₁ =xest une solution particuli`ere de(∗).

La solution g´en´erale est donn´e pary=x+ ¹_v, o`uvest la solution g´en´erale de v⁰ + 2x²v+x= 0.

Continuez ! ! Trouverv!!

0.3 Equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre `a coefficients constants

Soienta,b ∈Retf :I −→Rune fonction continue. L’´equation diff´erentielle

y⁰⁰+ay⁰+by =f(x) (10)

est dite ´equation diff´erentielle du second ordre `a coefficients constants avec second membre. On lui associe l’´equation sans second membre

y⁰⁰+ay⁰ +by = 0 (11)

R´esolution de l’´equation homog`ene (11) : L’´equation r²+ar+b= 0 ... (C)

(r ∈RouC)est dite ´equation caract´eristique de l’´equation diff´erentielle (11). Il y’a trois cas `a envisager

Premier cas :Si(C)admet deux racines r´eelles distinctesr₁ etr₂, alors la solution g´en´erale de (11) est de la forme

y0 =C1e^r1x+C2e^r2x o`uC₁,C₂ sont deux constantes r´eelles.

Deuxi`eme cas :Si(C)admet une racine r´eelle doubler, alors la solution g´en´erale de (11) est de la forme

y₀ = (C₁+C₂x)e^rx o`uC₁,C₂ sont deux constantes r´eelles.

Troisi`eme cas :Si(C)admet deux racines complexes conjugu´eesr₁ =β+iωetr₂ =β−iω, alors la solution g´en´erale de (11) est de la forme

y₀ = (C₁cosωx+C₂sinωx)e^βx o`uC₁,C₂ sont deux constantes r´eelles.

Un exemple pour chaque cas Exemple (1)

y⁰⁰+ 2y⁰−3y= 0 ...(1) L’´equation caract´eristique

r²+ 2r−3 = 0

admet deux racines r´eelles distinctesr₁ = 1etr₂ =−3. Ainsi, la solution g´en´erale de (1) est y₀ =C₁e^x+C₂e^−3x, C₁, C₂ ∈R.

Exemple (2)

y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 0 ...(2) L’´equation caract´eristique

r²−4r+ 4 = 0

admet la racine r´eelle doubler = 2. Ainsi, la solution g´en´erale de (2) est y₀ = (C₁+C₂x)e^2x, C₁, C₂ ∈R. Exemple (3)

y⁰⁰+ 4y = 0 ...(3) L’´equation caract´eristique

r²+ 4 = 0

admet deux racines complexes conjugu´eesr₁ = 2ietr₂ =−2i. Ainsi, la solution g´en´erale de (3) est

y0 = (C1cos 2x+C2sin 2x)e^0x

= C₁cos 2x+C₂sin 2x, C₁, C₂ ∈R. R´esolution de l’´equation non homog`ene (10) :

La solution g´en´erale de (10) s’´ecrit sous la forme y=y₀+y₁

o`uy<sub>0</sub>est la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene (11) ety₁est une solution particuli`ere de l’´equation avec second membre.

a) Le second membre est la somme de deux termes Une solution particuli`ere de

y⁰⁰+ay⁰+by =f₁(x) +f₂(x) est la somme d’une solution particuli`ere de l’´equation

y⁰⁰+ay⁰+by =f₁(x) et d’une solution particuli`ere de l’´equation

y⁰⁰+ay⁰+by=f₂(x). b) Le second membre est un polynˆome de degr´en

Soit `a r´esoudre

y⁰⁰+ay⁰+by =P_n(x)

o`uP<sub>n</sub>est un polynˆome de degr´en.On cherche une solution particuli`ere polynˆomiale. On distingue deux cas :

Premier cas :Sib6= 0, on cherchey₁sous la forme d’un polynˆome de degr´en.

Deuxi`eme cas :Sib = 0eta6= 0,

y₁ =xQ_n(x) avecQnun polynˆome de degr´en.

Exemple :Soit `a r´esoudre

y⁰⁰+ 2y⁰ −3y =x³+ 2x+ 1.

On ay₀ =C₁e^x+C₂e^−3x, C₁, C₂ ∈R.Commeb =−36= 0, on cherche une solution particuli`ere sous la forme

y₁ =a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃. En identifiant, on obtient

a₀ = −1

3 , a₁ = −2

3 , a₂ = −20

9 eta₃ = −61 27 . La solution g´en´erale est

y = C₁e^x+C₂e^−3x

−¹₃x³− ²₃x²− ²⁰₉x− ⁶¹₂₇. c) Le second membre est de la formee^mx (mest une constante)

Dans la recherche d’une solution particuli`erey₁, il y a lieu de distinguer trois cas selon les valeurs dem.

Premier cas :mn’est pas une racine de l’´equation caract´eristique On cherche alors une solution particuli`ere sous la forme

y₁ =ke^mx.

Deuxi`eme cas :mest une racine simple de l’´equation caract´eristique On cherche alors une solution particuli`ere sous la forme

y₁ =kxe^mx.

Troisi`eme cas :mest une racine double de l’´equation caract´eristique On cherche alors une solution particuli`ere sous la forme

y₁ =kx²e^mx.

Exemple (1) :Soit `a r´esoudre

y⁰⁰−4y⁰+ 4y=e^2x

On ay₀ = (C₁+C₂x)e^2x, C₁, C₂ ∈R.On cherchey₁sous la forme y₁ =kx²e^2x

car2est une racine double de l’´equation caract´eristique. En identifiant, on trouvek = ¹₂,donc la solution g´en´erale est

y_g = y₀+y₁

= C₁+C₂x+ ¹₂x²

e^2x, C₁, C₂ ∈R. Exemple (2) :Soit `a r´esoudre

y⁰⁰−5y⁰+ 6y= 2e^3x+e^4x.

On ay_g =y₀ +y₁+y₂, o`uy<sub>0</sub> est la solution g´en´erale de l’´equation homog`ene y⁰⁰−5y⁰+ 6y= 0,

y₁ est une solution particuli`ere de

y⁰⁰−5y⁰+ 6y= 2e^3x ety₂est une solution particuli`ere de

y⁰⁰−5y⁰ + 6y=e^4x. On trouve

y0 =C1e^2x+C2e^3x, C1, C2 ∈R.

On cherchey₁sous la formey₁ =k₁xe^3x. En identifiant, on trouvek₁ = 2.On cherchey₂ sous la formey2 =k2e^4x. En identifiant, on trouvek1 = ¹₂.Finalement,

y_g =C₁e^2x+C₂e^3x+ 2xe^3x+1

2e^4x, C₁, C₂ ∈R.

d) Le second membre est de la formesinmx(oucosmx, mest une constante) Dans cette situation, il y a lieu de distinguer deux cas dans la recherche d’une solution particuli`ere.

Premier cas :imn’est pas une racine de l’´equation caract´eristique On cherche alors une solution particuli`ere sous la forme

y₁ =k₁cosmx+k₂sinmx et on d´etermine les constantek₁ etk₂par identification.

Deuxi`eme cas :imest une racine de l’´equation caract´eristique On cherche alors une solution particuli`ere sous la forme

y₁ =x(k₁cosmx+k₂sinmx)

et comme au cas pr´ec´edent, on d´etermine les constantek₁ etk₂ par identification.

Exemple (1) :Soit `a r´esoudre

y⁰⁰+ 4y = cosx On a

y₀ =C₁cos 2x+C₂sin 2x, C₁, C₂ ∈R.

in’est pas une racine de l’´equation caract´eristique, donc y₁ =k₁cosx+k₂sinx.

On trouvek₁ = ¹₃,etk₂ = 0. Donc,y₁ = ¹₃cosx.Finalement, y=C₁cos 2x+C₂sin 2x+ 1

3cosx, C₁, C₂ ∈R. Exemple (2) :Soit `a r´esoudre

y⁰⁰+ 9y= sin 3x On a

y₀ =C₁cos 3x+C₂sin 3x, C₁, C₂ ∈R. 3iest une racine de l’´equation caract´eristique, donc

y₁ =x(k₁cosx+k₂sinx). On trouvek₁ = ⁻¹₆ ,etk₂ = 0. Donc,y₁ = −xcos 3x

6 .Finalement, y=C₁cos 3x+C₂sin 3x− xcos 3x

6 , C₁, C₂ ∈R.

e) Le second membre est de la formeP_n(x)e^mx (o `uP_nest un polynˆome de degr´en, mest une constante)

Premier cas :mn’est pas une racine de l’´equation caract´eristique On cherche alors une solution particuli`ere sous la forme

y₁ =Q_n(x)e^mx o`uQ_nest un polynˆome de degr´en

Deuxi`eme cas :mest une racine de multiplicit´ek(k = 1,2)de l’´equation caract´eristique On cherche alors une solution particuli`ere sous la forme

y₁ =x^kQ_n(x)e^mx o`uQ_nest un polynˆome de degr´en.

Exemple :Soit `a r´esoudre

y⁰⁰−2y⁰+y = (x+ 2)e^x.

On ay₀ = (C₁+C₂x)e^x, C₁, C₂ ∈R. m= 1est une racine double de l’´equation caract´eristique, doncy₁ =x²P₁(x)e^xavecP₁(x) =ax+b.En identifiant, on trouvea = ¹₆ etb = 1.D’o`u

y₁ = x^{2 1}₆x+ 1 e^x

= ¹₆x³+x² e^x. Finalement,

y=

C₁+C₂x+1

6x³+x²

e^x, C₁, C₂ ∈R

Charg´e de cours : A. KHELOUFI