Universit´e de Grenoble I Ann´ee 2010/2011
Institut Fourier Examen du 22 juin 2011
L3 de Math´ematiques, section A Calcul diff´erentiel, 2 `eme session
Dur´ee: 3 heures – il sera tenu particuli`erement compte de la r´edaction.
Documents, calculettes et t´el´ephones portables interdits.
Question de cours et applications
0.a. ´Enoncer le th´eor`eme d’inversion locale et le th´eor`eme des fonctions implicites dans les espaces de Banach.
0.b. Expliciter (et justifier) la formule exprimant la diff´erentielle de la “fonction implicite” `a partir des diff´erentielles partielles de la fonction fournissant l’´equation.
0.c. On consid`ere un polynˆome de degr´e n `a coefficients r´eels P(x, a) =
Xn
j=0
ajxj, a = (a0, a1, . . . , an)∈Rn×R∗.
On suppose que pour α ∈ Rn × R∗ on a une racine r´eelle simple ξ de l’´equation P(ξ, α) = 0. Montrer que pour a voisin de α, le polynˆome P(x, a) = 0 admet une racine simple x=h(a) voisine deξ, et expliciter les diff´erentielles ∂h(a)/∂aj.
0.d. Donner un exemple montrant que les racines r´eelles d’un polynˆome ne d´ependent pas n´ecessairement de mani`ere C∞ des coefficients si l’on omet l’hypoth`ese que les racines soient simples.
Exercice 1
On consid`ere dans R3 l’ensemble des points (x, y, z) tels que f(x, y, z) = 0 o`u f(x, y, z) =xy−P(z)
o`u P est un polynˆome.
1.a. ´Ecrire l’´equation du sous-espace tangent en un point (x0, y0, z0) lorsque celui-ci existe. Montrer que si le polynˆome P n’admet que des racines r´eelles simples, alors S est une sous-vari´et´e de classe C∞. Quelle est sa dimension ?
1.b. On suppose ici P(z) =z2(z+ 1). On effectue le changement le variable ϕ: (x, y, z)7→(X, Y, Z), X = x+y
2 , Y = x−y
2 , Z =z√
z+ 1 pour z >−1. Montrer qu’il existeδ >0 tel queϕsoit un diff´eomorphisme de l’ouvert U = R2×]−δ+δ[ sur son image ϕ(U). Trouver l’expression de la fonctionf ◦ϕ−1 dans les nouvelles coordonn´ees et en d´eduire la nature du point singulier (0,0,0) deS.
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Exercice 2
Soit (A,+,×,·,k k) une alg`ebre de Banach r´eelle ou complexe munie d’un ´el´ement unit´e not´e 1,non n´ecessairement commutative. On rappelle que la norme doit v´erifier la propri´et´e k1k= 1 etkxyk ≤ kxk kykpour tous x, y∈A.
2.a. On d´efinit une application ϕ : A → A telle que ϕ(x) = 2x−xax o`u a ∈ A est un ´el´ement fix´e. Expliciter la diff´erentielle Dϕx en tout point, puis la diff´erentielle seconde D2ϕx.
2.b. Le point x = 0 est-il un point fixe attractif ? On suppose maintenant quea est un ´el´ement inversible de A. Montrer que x = a−1 est un point fixe super-attractif de ϕ (c’est-`a-dire un point fixe o`u la diff´erentielle est nulle).
2.c. Toujours sous l’hypoth`ese que a est inversible, on d´efinit une suite it´erative par x0 ∈ A et xp+1 = ϕ(xp). Exprimer ϕ(x)−a−1 en fonction de l’´ecart δ = x−a−1, et en d´eduire par r´ecurrence une majoration dekxp−a−1ken fonction des puissances de kak et de kx0−a−1k. Comment faut-il choisir le point initial x0 pour ˆetre assur´e de la convergence de la suite (xp) vers a−1 ?
Exercice 3
On consid`ere l’´equation diff´erentielle du second ordre en la variablet (E0) (t2+ 1)y′′−(2t2−2t+ 2)y′+ (t−1)2y= 0.
3.a. Rechercher les solutions exponentielles de la forme y(t) =ekt, k ∈ R, puis ayant trouv´e une telle solution, rechercher celles qui sont de la formey(t) =ektz(t). Peut-on en d´eduire quel est l’ensemble des solutions de (E0) ?
3.b. ´Enoncer quelle est la formule du Wronskien pour une ´equation lin´eaire du second ordre a(t)y′′+b(t)y′+c(t)y= 0 et v´erifier cette formule dans le cas de (E0).
3.c. On se propose de r´esoudre l’´equation avec second membre (E) (t2+ 1)y′′−(2t2−2t+ 2)y′+ (t−1)2y=t et.
Avec le mˆeme changement de fonction inconnue qu’en 3.a, montrer que l’on se ram`ene
`a une ´equation du premier ordre pour w(t) = z′(t). En d´eduire quel est l’ensemble des solutions de (E).
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