VII R´ESOLUTION NUM´ERIQUE D’´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES

VII

R ´ ESOLUTION NUM ´ ERIQUE D’ ´ EQUATIONS DIFF ´ ERENTIELLES

Analyse Num´ erique Tronc Commun

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 1

Exemple 1 : Pendule pesant sans amortissement

Pendule de massem, suspendu enO et de longueur` θ(t): position relative `a une position d’´equilibre (angle)

m

g θ(t) l

O

´Energie totale du syst`eme : E=1

2m`<sup>2</sup>(θ<sup>0</sup>)<sup>2</sup>+mg`(1−cosθ)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 2

Exemple 1 : Pendule pesant sans amortissement

Pendule de massem, suspendu enO et de longueur` θ(t): position relative `a une position d’´equilibre (angle)

m

g θ(t) l

O

´Energie totale du syst`eme : E=1

2m`<sup>2</sup>(θ<sup>0</sup>)<sup>2</sup>+mg`(1−cosθ)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 2

Exemple 1 : Pendule pesant sans amortissement

Pendule de massem, suspendu enO et de longueur` θ(t): position relative `a une position d’´equilibre (angle)

m

g θ(t) l

O

´Energie totale du syst`eme : E= 1

2m`<sup>2</sup>(θ<sup>0</sup>)<sup>2</sup>+mg`(1−cosθ)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 2

Mouvement du pendule gouvern´e par laloi fondamentale de la dynamique E⁰(t) = 0

Donc

E⁰(t) =m`<sup>2</sup>θ<sup>0</sup>θ<sup>00</sup>+mg` θ⁰sinθ= 0.

D’o`u l’´equation diff´erentielle d’ordre 2 :







θ⁰⁰(t) =−g

`sinθ(t), g>0, θ(0) =θ0, θ⁰(0) = 0 (par exemple)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 3

Mouvement du pendule gouvern´e par laloi fondamentale de la dynamique E⁰(t) = 0

Donc

E⁰(t) =m`<sup>2</sup>θ<sup>0</sup>θ<sup>00</sup>+mg` θ⁰sinθ= 0.

D’o`u l’´equation diff´erentielle d’ordre 2 :







θ⁰⁰(t) =−g

`sinθ(t), g>0, θ(0) =θ0, θ⁰(0) = 0 (par exemple)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 3

Mouvement du pendule gouvern´e par laloi fondamentale de la dynamique E⁰(t) = 0

Donc

E⁰(t) =m`<sup>2</sup>θ<sup>0</sup>θ<sup>00</sup>+mg` θ⁰sinθ= 0.

D’o`u l’´equation diff´erentielle d’ordre 2 :







θ⁰⁰(t) =−g

`sinθ(t), g>0, θ(0) =θ0, θ⁰(0) = 0 (par exemple)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 3

Remarque

Si on consid`ere des d´eplacementspetitsdu pendule, on peut ´ecrire sinθ(t)≈θ(t)

D’o`u l’´equation diff´erentiellelin´eaire:







θ⁰⁰(t) =−g

`θ(t) θ(0) =θ0, θ⁰(0) = 0 La solution de cette ´equation est donn´ee par

θ(t) =θ0 cos rg

`t.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 4

Pendule pesant non amorti : transformation

θ(t)est solution du probl`eme diff´erentiel :







θ⁰⁰(t) =−ω²sinθ(t) θ(0) =θ0,

θ⁰(0) = 0 par exemple o`uω²=g

`.

Posons :x(t) =θ(t),y(t) =θ⁰(t)ety(t) = x(t)

y(t)

On a alors y⁰(t) =

x⁰(t) y⁰(t)

= θ⁰(t)

θ⁰⁰(t)

=

θ⁰(t)

−ω²sinθ(t)

=

y(t)

−ω²sinx(t)

.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 5

Pendule pesant non amorti : transformation

θ(t)est solution du probl`eme diff´erentiel :







θ⁰⁰(t) =−ω²sinθ(t) θ(0) =θ0,

θ⁰(0) = 0 par exemple o`uω²=g

`.

Posons :x(t) =θ(t),y(t) =θ⁰(t)ety(t) = x(t)

y(t)

On a alors y⁰(t) =

x⁰(t) y⁰(t)

= θ⁰(t)

θ⁰⁰(t)

=

θ⁰(t)

−ω²sinθ(t)

=

y(t)

−ω²sinx(t)

.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 5

Pendule pesant non amorti : transformation

θ(t)est solution du probl`eme diff´erentiel :







θ⁰⁰(t) =−ω²sinθ(t) θ(0) =θ0,

θ⁰(0) = 0 par exemple o`uω²=g

`.

Posons :x(t) =θ(t),y(t) =θ⁰(t)ety(t) = x(t)

y(t)

On a alors y⁰(t) =

x⁰(t) y⁰(t)

= θ⁰(t)

θ⁰⁰(t)

=

θ⁰(t)

−ω²sinθ(t)

=

y(t)

−ω²sinx(t)

.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 5

Pendule pesant non amorti : transformation

θ(t)est solution du probl`eme diff´erentiel :







θ⁰⁰(t) =−ω²sinθ(t) θ(0) =θ0,

θ⁰(0) = 0 par exemple o`uω²=g

`.

Posons :x(t) =θ(t),y(t) =θ⁰(t)ety(t) = x(t)

y(t)

On a alors y⁰(t) =

x⁰(t) y⁰(t)

= θ⁰(t)

θ⁰⁰(t)

=

θ⁰(t)

−ω²sinθ(t)

=

y(t)

−ω²sinx(t)

.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 5

y(t) = θ(t)

θ⁰(t)

est solution du probl`eme diff´erentiel : (y⁰(t) =f(y(t),t)

y(0) =y0

avec

f(

x y

,t) = y

−ω²sin(x)

et

y0= θ0

0

.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 6

Formalisme g´ en´ eral

Les ´equations diff´erentielles apparaˆıssent naturellement dans diff´erents domaines des sciences et des sciences sociales. Elles d´ecrivent l’´evolution de ph´enom`enes d´ependant du temps.

Une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 est de la forme : y⁰(t) =f(y(t),t)

o`uf:R<sup>d</sup>×[0,T]→R<sup>d</sup> est continue. Le probl`eme avec condition initiale

(y⁰(t) =f(y(t),t) y(0) =y0∈R^d, est appel´eprobl`eme de Cauchy.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 7

Formalisme g´ en´ eral

Les ´equations diff´erentielles apparaˆıssent naturellement dans diff´erents domaines des sciences et des sciences sociales. Elles d´ecrivent l’´evolution de ph´enom`enes d´ependant du temps.

Une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 est de la forme : y⁰(t) =f(y(t),t)

o`uf:R^d×[0,T]→R^d est continue.

Le probl`eme avec condition initiale

(y⁰(t) =f(y(t),t) y(0) =y0∈R^d, est appel´eprobl`eme de Cauchy.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 7

Formalisme g´ en´ eral

Les ´equations diff´erentielles apparaˆıssent naturellement dans diff´erents domaines des sciences et des sciences sociales. Elles d´ecrivent l’´evolution de ph´enom`enes d´ependant du temps.

Une ´equation diff´erentielle d’ordre 1 est de la forme : y⁰(t) =f(y(t),t)

o`uf:R^d×[0,T]→R^d est continue.

Le probl`eme avec condition initiale

(y⁰(t) =f(y(t),t) y(0) =y0∈R^d, est appel´eprobl`eme de Cauchy.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 7

Exemple 2 : Mod` ele malthusien de croissance de population

P(t): Nombre d’individus appartenant `a une population donn´ee `a l’instantt.

Qu’est-ce qui entraˆıne des variations de la populationP(t)?

Les naissances

→α: taux de natalit´e

→Nombre de naissances `a l’instantt:αP(t) Les d´ec`es

→β: taux de mortalit´e

→Nombre de d´ec`es `a l’instantt:βP(t)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 8

Exemple 2 : Mod` ele malthusien de croissance de population

P(t): Nombre d’individus appartenant `a une population donn´ee `a l’instantt.

Qu’est-ce qui entraˆıne des variations de la populationP(t)? Les naissances

→α: taux de natalit´e

→Nombre de naissances `a l’instantt:αP(t)

Les d´ec`es

→β: taux de mortalit´e

→Nombre de d´ec`es `a l’instantt:βP(t)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 8

Exemple 2 : Mod` ele malthusien de croissance de population

P(t): Nombre d’individus appartenant `a une population donn´ee `a l’instantt.

Qu’est-ce qui entraˆıne des variations de la populationP(t)? Les naissances

→α: taux de natalit´e

→Nombre de naissances `a l’instantt:αP(t) Les d´ec`es

→β: taux de mortalit´e

→Nombre de d´ec`es `a l’instantt:βP(t)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 8

P(t)est d´efinie comme solution du probl`eme diff´erentiel : (P⁰(t) =αP(t)−βP(t) = (α−β)P(t)

P(0) =P0 (population `a l’instant initial)

Solution :

P(t) =P0exp((α−β)t)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 9

P(t)est d´efinie comme solution du probl`eme diff´erentiel : (P⁰(t) =αP(t)−βP(t) = (α−β)P(t)

P(0) =P0 (population `a l’instant initial)

Solution :

P(t) =P0exp((α−β)t)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 9

Mod` ele dit “de croissance logistique”

Ajout d’un terme de comp´etition entre les individus

(P⁰(t) =aP(t)−bP(t)² P(0) =P0

⇒Equation diff´´ erentielle non lin´eaire Solution :

P(t) = aP0

bP0+ (a−bP0)e^−at.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 10

Mod` ele dit “de croissance logistique”

Ajout d’un terme de comp´etition entre les individus (P⁰(t) =aP(t)−bP(t)²

P(0) =P0

⇒Equation diff´´ erentielle non lin´eaire Solution :

P(t) = aP0

bP0+ (a−bP0)e^−at.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 10

Mod` ele dit “de croissance logistique”

Ajout d’un terme de comp´etition entre les individus (P⁰(t) =aP(t)−bP(t)²

P(0) =P0

⇒Equation diff´´ erentielle non lin´eaire Solution :

P(t) = aP0

bP0+ (a−bP0)e^−at.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 10

Comparaison des 2 mod` eles de population

0 50 100 150 200 250 300

50 100 150 200 250 300

temps en annees

population en millions

malthus

croissance logistique

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 11

Le th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz

Th´eor`eme

On consid`ere le probl`eme aux valeurs initiales : (y⁰(t) =f(y(t),t)

y(0) =y0∈R^d

(∗)

o`uf: (y,t)∈R^d×[0,T]7→f(y,t)∈R^d. On suppose que : fest continue surR^d×I

fest lipschitzienne eny: il existeL>0telle que

∀t∈[0,T], ∀y1,y2∈ V

R^d y0

kf(y1,t)−f(y2,t)k ≤Lky1−y2k.

o`uV

R^d y0

est un voisinage dey0.

Alors, le probl`eme (∗) poss`ede une solution unique.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 12

Approximation num´ erique

On se restreint d´esormais `a une ´equation diff´erentielle (d= 1).

Onsubdivisel’intervalle[0,T]enNsous-intervalles]tn,tn+1], avecn= 0,1, . . . ,N−1 On choisit, pour simplifier, une subdivision uniforme :tn=nh.

On appellehpas de temps

On veut construire une m´ethode num´erique permettant de d´efinir des approximations yndey(tn)(Sch´emas num´eriques).

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 13

Approximation num´ erique

On se restreint d´esormais `a une ´equation diff´erentielle (d= 1).

Onsubdivisel’intervalle[0,T]enNsous-intervalles]tn,tn+1], avecn= 0,1, . . . ,N−1

On choisit, pour simplifier, une subdivision uniforme :tn=nh. On appellehpas de temps

On veut construire une m´ethode num´erique permettant de d´efinir des approximations yndey(tn)(Sch´emas num´eriques).

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 13

Approximation num´ erique

On se restreint d´esormais `a une ´equation diff´erentielle (d= 1).

Onsubdivisel’intervalle[0,T]enNsous-intervalles]tn,tn+1], avecn= 0,1, . . . ,N−1 On choisit, pour simplifier, une subdivision uniforme :tn=nh.

On appellehpas de temps

On veut construire une m´ethode num´erique permettant de d´efinir des approximations yndey(tn)(Sch´emas num´eriques).

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 13

Approximation num´ erique

On se restreint d´esormais `a une ´equation diff´erentielle (d= 1).

Onsubdivisel’intervalle[0,T]enNsous-intervalles]tn,tn+1], avecn= 0,1, . . . ,N−1 On choisit, pour simplifier, une subdivision uniforme :tn=nh.

On appellehpas de temps

On veut construire une m´ethode num´erique permettant de d´efinir des approximations yndey(tn)(Sch´emas num´eriques).

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 13

Approximation num´ erique

On se restreint d´esormais `a une ´equation diff´erentielle (d= 1).

Onsubdivisel’intervalle[0,T]enNsous-intervalles]tn,tn+1], avecn= 0,1, . . . ,N−1 On choisit, pour simplifier, une subdivision uniforme :tn=nh.

On appellehpas de temps

On veut construire une m´ethode num´erique permettant de d´efinir des approximations yndey(tn)(Sch´emas num´eriques).

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 13

Lien avec l’int´ egration num´ erique

Remarque

En int´egrant l’´equation diff´erentielley⁰(t) =f(y(t),t)entret=tnett=tn+1, on obtient

y(tn+1)−y(tn) = Zt_n+1

t_n

f(y(t),t)dt

On peut approcher cette int´egrale par la m´ethode des rectangles `a gauche : y(tn+1)−y(tn)≈h f(y(tn),tn)

On peut ainsi d´efinir le sch´ema

yn+1=yn+h f(yn,tn) n= 0,1, . . . ,N−1

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 14

Lien avec l’int´ egration num´ erique

Remarque

En int´egrant l’´equation diff´erentielley⁰(t) =f(y(t),t)entret=tnett=tn+1, on obtient

y(tn+1)−y(tn) = Zt_n+1

t_n

f(y(t),t)dt

On peut approcher cette int´egrale par la m´ethode des rectangles `a gauche : y(tn+1)−y(tn)≈h f(y(tn),tn)

On peut ainsi d´efinir le sch´ema

yn+1=yn+h f(yn,tn) n= 0,1, . . . ,N−1

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 14

Lien avec l’int´ egration num´ erique

Remarque

En int´egrant l’´equation diff´erentielley⁰(t) =f(y(t),t)entret=tnett=tn+1, on obtient

y(tn+1)−y(tn) = Zt_n+1

t_n

f(y(t),t)dt

On peut approcher cette int´egrale par la m´ethode des rectangles `a gauche : y(tn+1)−y(tn)≈h f(y(tn),tn)

On peut ainsi d´efinir le sch´ema

yn+1=yn+h f(yn,tn) n= 0,1, . . . ,N−1

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 14

Sch´ emas d’Euler

On veut approcher la d´eriv´eey⁰(t)ent=tn. On peut utiliser pour cela une m´ethode de d´erivation num´erique :

1^`erem´ethode :

y⁰(tn)≈y(tn+1)−y(tn) h

D’o`u le sch´ema d’Euler progressif:

yn+1−yn

h =f(yn,tn) n= 0,1, . . . ,N−1

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 15

Sch´ emas d’Euler

On veut approcher la d´eriv´eey⁰(t)ent=tn. On peut utiliser pour cela une m´ethode de d´erivation num´erique :

1^`erem´ethode :

y⁰(tn)≈y(tn+1)−y(tn) h

D’o`u le sch´ema d’Euler progressif:

yn+1−yn

h =f(yn,tn) n= 0,1, . . . ,N−1

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 15

Sch´ emas d’Euler

On veut approcher la d´eriv´eey⁰(t)ent=tn. On peut utiliser pour cela une m´ethode de d´erivation num´erique :

1^`erem´ethode :

y⁰(tn)≈y(tn+1)−y(tn) h

D’o`u le sch´ema d’Euler progressif:

yn+1−yn

h =f(yn,tn) n= 0,1, . . . ,N−1

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 15

2^`emem´ethode :

y⁰(tn+1)≈y(tn+1)−y(tn) h

D’o`u le sch´ema d’Euler r´etrograde:

yn+1−yn

h =f(yn+1,tn+1) n= 0,1, . . .N−1

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 16

Le sch´ ema d’Euler progressif : Consistance

On appelleErreur de troncaturel’expression : εⁿ_h= y(tn+1)−y(tn)

h −f(y(tn),tn).

On a par la formule de Taylor :

y(tn+1) =y(tn) +h y⁰(tn) +O(h²)

=y(tn) +h f(y(tn),tn) +O(h²)

Donc

εⁿ_h=O(h)

On dit que le sch´ema d’Euler progressif estconsistant.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 17

Le sch´ ema d’Euler progressif : Consistance

On appelleErreur de troncaturel’expression : εⁿ_h= y(tn+1)−y(tn)

h −f(y(tn),tn).

On a par la formule de Taylor :

y(tn+1) =y(tn) +h y⁰(tn) +O(h²)

=y(tn) +h f(y(tn),tn) +O(h²)

Donc

εⁿ_h=O(h)

On dit que le sch´ema d’Euler progressif estconsistant.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 17

Le sch´ ema d’Euler progressif : Consistance

On appelleErreur de troncaturel’expression : εⁿ_h= y(tn+1)−y(tn)

h −f(y(tn),tn).

On a par la formule de Taylor :

y(tn+1) =y(tn) +h y⁰(tn) +O(h²)

=y(tn) +h f(y(tn),tn) +O(h²)

Donc

εⁿ_h=O(h)

On dit que le sch´ema d’Euler progressif estconsistant.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 17

Le sch´ ema d’Euler progressif : Convergence

Soiten=y(tn)−yn(Erreur `a l’instantt=tn).

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 18

Le sch´ ema d’Euler progressif : Convergence

Soiten=y(tn)−yn(Erreur `a l’instantt=tn).

On a

y(tn+1)−y(tn)−h f(y(tn),tn) =hεⁿ_h yn+1−yn−h f(yn,tn) = 0

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 18

Le sch´ ema d’Euler progressif : Convergence

Soiten=y(tn)−yn(Erreur `a l’instantt=tn).

On a

y(tn+1)−y(tn)−h f(y(tn),tn) =hεⁿ_h yn+1−yn−h f(yn,tn) = 0

En soustrayant, on obtient

en+1=en+h f(y(tn),tn)−f(yn,tn) +hεⁿ_h

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 18

Le sch´ ema d’Euler progressif : Convergence

Soiten=y(tn)−yn(Erreur `a l’instantt=tn).

On a

y(tn+1)−y(tn)−h f(y(tn),tn) =hεⁿ_h yn+1−yn−h f(yn,tn) = 0

En soustrayant, on obtient

en+1=en+h f(y(tn),tn)−f(yn,tn) +hεⁿ_h

Donc

|e_n+1| ≤ |e_n|+h

f(y(tn),tn)−f(yn,tn) +h|εⁿ_h|

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 18

Le sch´ ema d’Euler progressif : Convergence

Soiten=y(tn)−yn(Erreur `a l’instantt=tn).

On a

y(tn+1)−y(tn)−h f(y(tn),tn) =hεⁿ_h yn+1−yn−h f(yn,tn) = 0

En soustrayant, on obtient

en+1=en+h f(y(tn),tn)−f(yn,tn) +hεⁿ_h

Donc

|e_n+1| ≤ |e_n|+h

f(y(tn),tn)−f(yn,tn) +h|εⁿ_h|

≤ |e_n|+hL

y(tn)−yn

+Ch²

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 18

Le sch´ ema d’Euler progressif : Convergence

Soiten=y(tn)−yn(Erreur `a l’instantt=tn).

On a

y(tn+1)−y(tn)−h f(y(tn),tn) =hεⁿ_h yn+1−yn−h f(yn,tn) = 0

En soustrayant, on obtient

en+1=en+h f(y(tn),tn)−f(yn,tn) +hεⁿ_h

Donc

|e_n+1| ≤ |e_n|+h

f(y(tn),tn)−f(yn,tn) +h|εⁿ_h|

≤ |e_n|+hL

y(tn)−yn

+Ch²

= (1 +hL)|en|+Ch²

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 18

On montre alors que

|en| ≤C(|e0|+h) =Ch

Th´eor`eme

On suppose que la solutiony(t)est de classeC². Alors, il existe une constanteC ind´ependante dehtelle que

|y(t_n)−yn| ≤Ch n= 1, . . . ,N

On dit que ce sch´ema est d’ordre 1.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 19

On montre alors que

|en| ≤C(|e0|+h) =Ch

Th´eor`eme

On suppose que la solutiony(t)est de classeC². Alors, il existe une constanteC ind´ependante dehtelle que

|y(t_n)−yn| ≤Ch n= 1, . . . ,N

On dit que ce sch´ema est d’ordre 1.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 19

On montre alors que

|en| ≤C(|e0|+h) =Ch

Th´eor`eme

On suppose que la solutiony(t)est de classeC². Alors, il existe une constanteC ind´ependante dehtelle que

|y(t_n)−yn| ≤Ch n= 1, . . . ,N

On dit que ce sch´ema est d’ordre 1.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 19

Le sch´ ema d’Euler r´ etrograde

Il s´ecrit :

yn+1−yn

h =f(yn+1,tn+1) n= 0,1, . . . ,N−1

Notons que ce sch´ema estimplicite: ´Etant donn´eyn, on calculeyn+1en r´esolvant une

´equation alg´ebrique non-lin´eaire :g(x) = 0o`u

g(x) =x−yn−h f(x,tn+1).

Sous les mˆemes hypoth`eses que pour le sch´ema d’Euler progressif, on montre que ce sch´ema est d’ordre 1.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 20

Le sch´ ema d’Euler r´ etrograde

Il s´ecrit :

yn+1−yn

h =f(yn+1,tn+1) n= 0,1, . . . ,N−1

Notons que ce sch´ema estimplicite:

´Etant donn´eyn, on calculeyn+1en r´esolvant une

´equation alg´ebrique non-lin´eaire :g(x) = 0o`u

g(x) =x−yn−h f(x,tn+1).

Sous les mˆemes hypoth`eses que pour le sch´ema d’Euler progressif, on montre que ce sch´ema est d’ordre 1.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 20

Le sch´ ema d’Euler r´ etrograde

Il s´ecrit :

yn+1−yn

h =f(yn+1,tn+1) n= 0,1, . . . ,N−1

Notons que ce sch´ema estimplicite: ´Etant donn´eyn, on calculeyn+1en r´esolvant une

´equation alg´ebrique non-lin´eaire :g(x) = 0o`u

g(x) =x−yn−h f(x,tn+1).

Sous les mˆemes hypoth`eses que pour le sch´ema d’Euler progressif, on montre que ce sch´ema est d’ordre 1.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 20

Le sch´ ema d’Euler r´ etrograde

Il s´ecrit :

yn+1−yn

h =f(yn+1,tn+1) n= 0,1, . . . ,N−1

Notons que ce sch´ema estimplicite: ´Etant donn´eyn, on calculeyn+1en r´esolvant une

´equation alg´ebrique non-lin´eaire :g(x) = 0o`u

g(x) =x−yn−h f(x,tn+1).

Sous les mˆemes hypoth`eses que pour le sch´ema d’Euler progressif, on montre que ce sch´ema est d’ordre 1.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 20

Le sch´ ema de Crank-Nicolson

Il s´ecrit :

yn+1−yn

h = 1

2 f(yn,tn) +f(yn+1,tn+1)

n= 0,1, . . . ,N−1

´Evaluons l’erreur de troncature de ce sch´ema : εⁿ_h:= y(tn+1)−y(tn)

h −1

2 f(y(tn),tn) +f(y(tn+1),tn+1) La formule de Taylor donne :

y(tn+1) =y tn+h 2

+h

2y⁰ tn+h 2

+h²

8y⁰⁰ tn+h 2

+O(h³)

y(tn) =y tn+h 2

−h

2y⁰ tn+h 2

+h²

8y⁰⁰ tn+h 2

+O(h³)

En soustrayant, on obtient

y(tn+1)−y(tn) =h y⁰ tn+h 2

+O(h³)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 21

Le sch´ ema de Crank-Nicolson

Il s´ecrit :

yn+1−yn

h = 1

2 f(yn,tn) +f(yn+1,tn+1)

n= 0,1, . . . ,N−1

´Evaluons l’erreur de troncature de ce sch´ema : εⁿ_h:=y(tn+1)−y(tn)

h −1

2 f(y(tn),tn) +f(y(tn+1),tn+1)

La formule de Taylor donne : y(tn+1) =y tn+h

2 +h

2y⁰ tn+h 2

+h²

8y⁰⁰ tn+h 2

+O(h³)

y(tn) =y tn+h 2

−h

2y⁰ tn+h 2

+h²

8y⁰⁰ tn+h 2

+O(h³)

En soustrayant, on obtient

y(tn+1)−y(tn) =h y⁰ tn+h 2

+O(h³)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 21

Le sch´ ema de Crank-Nicolson

Il s´ecrit :

yn+1−yn

h = 1

2 f(yn,tn) +f(yn+1,tn+1)

n= 0,1, . . . ,N−1

´Evaluons l’erreur de troncature de ce sch´ema : εⁿ_h:=y(tn+1)−y(tn)

h −1

2 f(y(tn),tn) +f(y(tn+1),tn+1) La formule de Taylor donne :

y(tn+1) =y tn+h 2

+h

2y⁰ tn+h 2

+h²

8y⁰⁰ tn+h 2

+O(h³)

y(tn) =y tn+h 2

−h

2y⁰ tn+h 2

+h²

8y⁰⁰ tn+h 2

+O(h³)

En soustrayant, on obtient

y(tn+1)−y(tn) =h y⁰ tn+h 2

+O(h³)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 21

Le sch´ ema de Crank-Nicolson

Il s´ecrit :

yn+1−yn

h = 1

2 f(yn,tn) +f(yn+1,tn+1)

n= 0,1, . . . ,N−1

´Evaluons l’erreur de troncature de ce sch´ema : εⁿ_h:=y(tn+1)−y(tn)

h −1

2 f(y(tn),tn) +f(y(tn+1),tn+1) La formule de Taylor donne :

y(tn+1) =y tn+h 2

+h

2y⁰ tn+h 2

+h²

8y⁰⁰ tn+h 2

+O(h³)

y(tn) =y tn+h 2

−h

2y⁰ tn+h 2

+h²

8y⁰⁰ tn+h 2

+O(h³)

En soustrayant, on obtient

y(tn+1)−y(tn) =h y⁰ tn+h 2

+O(h³)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 21

Donc

y(tn+1)−y(tn)

h =y⁰ tn+h 2

+O(h²)

De mˆeme 1

2 f(y(tn),tn) +f(y(tn+1),tn+1)

=f

y(tn+h 2),tn+h

2

+O(h²).

Ainsi

ⁿ_h=O(h²)

On montre alors que le sch´ema de Crank-Nicolson est d’ordre 2 :

|y(tn)−yn| ≤Ch²

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 22

Donc

y(tn+1)−y(tn)

h =y⁰ tn+h 2

+O(h²)

De mˆeme 1

2 f(y(tn),tn) +f(y(tn+1),tn+1)

=f

y(tn+h 2),tn+h

2

+O(h²).

Ainsi

ⁿ_h=O(h²)

On montre alors que le sch´ema de Crank-Nicolson est d’ordre 2 :

|y(tn)−yn| ≤Ch²

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 22

Donc

y(tn+1)−y(tn)

h =y⁰ tn+h 2

+O(h²)

De mˆeme 1

2 f(y(tn),tn) +f(y(tn+1),tn+1)

=f

y(tn+h 2),tn+h

2

+O(h²).

Ainsi

ⁿ_h=O(h²)

On montre alors que le sch´ema de Crank-Nicolson est d’ordre 2 :

|y(tn)−yn| ≤Ch²

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 22

Donc

y(tn+1)−y(tn)

h =y⁰ tn+h 2

+O(h²)

De mˆeme 1

2 f(y(tn),tn) +f(y(tn+1),tn+1)

=f

y(tn+h 2),tn+h

2

+O(h²).

Ainsi

ⁿ_h=O(h²)

On montre alors que le sch´ema de Crank-Nicolson est d’ordre 2 :

|y(tn)−yn| ≤Ch²

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 22

M´ ethodes bas´ ees sur la formule de Taylor

Supposons la fonctionf d´erivable. On a par la formule de Taylor : y(tn+1) =y(tn+h)

=y(tn) +hy⁰(tn) +h²

2y⁰⁰(tn) +· · ·+ 1

k!h^ky^(k)(tn) + 1

(k+ 1)!h^k+1y^(k+1)(ξn) o`uξn∈[tn,tn+1]

Donc sih1:

y(tn+1)≈y(tn) +hy⁰(tn) +h²

2y⁰⁰(tn) +· · ·+ 1

k!h^ky^(k)(tn).

Pourk= 1:

y(tn+1)≈y(tn) +hy⁰(tn) =y(tn) +hf(y(tn),tn)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 23

M´ ethodes bas´ ees sur la formule de Taylor

Supposons la fonctionf d´erivable. On a par la formule de Taylor : y(tn+1) =y(tn+h)

=y(tn) +hy⁰(tn) +h²

2y⁰⁰(tn) +· · ·+ 1

k!h^ky^(k)(tn) + 1

(k+ 1)!h^k+1y^(k+1)(ξn) o`uξn∈[tn,tn+1]

Donc sih1:

y(tn+1)≈y(tn) +hy⁰(tn) +h²

2y⁰⁰(tn) +· · ·+ 1

k!h^ky^(k)(tn).

Pourk= 1:

y(tn+1)≈y(tn) +hy⁰(tn) =y(tn) +hf(y(tn),tn)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 23

M´ ethodes bas´ ees sur la formule de Taylor

Supposons la fonctionf d´erivable. On a par la formule de Taylor : y(tn+1) =y(tn+h)

=y(tn) +hy⁰(tn) +h²

2y⁰⁰(tn) +· · ·+ 1

k!h^ky^(k)(tn) + 1

(k+ 1)!h^k+1y^(k+1)(ξn) o`uξn∈[tn,tn+1]

Donc sih1:

y(tn+1)≈y(tn) +hy⁰(tn) +h²

2y⁰⁰(tn) +· · ·+ 1

k!h^ky^(k)(tn).

Pourk= 1:

y(tn+1)≈y(tn) +hy⁰(tn) =y(tn) +hf(y(tn),tn)

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 23

Pourk= 2:

y(tn+1)≈y(tn) +hy⁰(tn) +h²

2y⁰⁰(tn) =y(tn) +hf(y(tn),tn) +h² 2y⁰⁰(tn)

Pour ´evaluery⁰⁰(tn), on d´erive l’´equation diff´erentielle : y⁰⁰(t) =∂f

∂t(y(t),t) +∂f

∂y(y(t),t)y⁰(t)

=∂f

∂t(y(t),t) +∂f

∂y(y(t),t)f(y(t),t) D’o`u le sch´ema :

yn+1=yn+hf(yn,tn) +h² 2

∂f

∂t(yn,tn) +∂f

∂y(yn,tn)f(yn,tn)

On montre que ce sch´ema est d’ordre2

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 24

Pourk= 2:

y(tn+1)≈y(tn) +hy⁰(tn) +h²

2y⁰⁰(tn) =y(tn) +hf(y(tn),tn) +h² 2y⁰⁰(tn) Pour ´evaluery⁰⁰(tn), on d´erive l’´equation diff´erentielle :

y⁰⁰(t) =∂f

∂t(y(t),t) +∂f

∂y(y(t),t)y⁰(t)

=∂f

∂t(y(t),t) +∂f

∂y(y(t),t)f(y(t),t)

D’o`u le sch´ema :

yn+1=yn+hf(yn,tn) +h² 2

∂f

∂t(yn,tn) +∂f

∂y(yn,tn)f(yn,tn)

On montre que ce sch´ema est d’ordre2

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 24

Pourk= 2:

y(tn+1)≈y(tn) +hy⁰(tn) +h²

2y⁰⁰(tn) =y(tn) +hf(y(tn),tn) +h² 2y⁰⁰(tn) Pour ´evaluery⁰⁰(tn), on d´erive l’´equation diff´erentielle :

y⁰⁰(t) =∂f

∂t(y(t),t) +∂f

∂y(y(t),t)y⁰(t)

=∂f

∂t(y(t),t) +∂f

∂y(y(t),t)f(y(t),t) D’o`u le sch´ema :

yn+1=yn+hf(yn,tn) +h² 2

∂f

∂t(yn,tn) +∂f

∂y(yn,tn)f(yn,tn)

On montre que ce sch´ema est d’ordre2

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 24

Une m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre 2

˜

yn+1=yn+hf(yn,tn) yn+1=yn+h

2 f(yn,tn) +f(˜yn+1,tn+1)

Cette m´ethode est aussi appel´eeSch´ema de Heun.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 25

Une m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre 2

˜

yn+1=yn+hf(yn,tn) yn+1=yn+h

2 f(yn,tn) +f(˜yn+1,tn+1)

Cette m´ethode est aussi appel´eeSch´ema de Heun.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 25

Une m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre 4

yn,1=yn+h 2f(yn,tn) yn,2=yn+h

2f(yn,1,tn+h 2) yn,3=yn+h f(yn,2,tn+h

2) yn+1=yn+h

1

6f(yn,tn) +1

3f(yn,1,tn+h 2) +1

3f(yn,2,tn+h 2) +1

6f(yn,3,tn+1)

On montre que cette m´ethode est d’ordre4.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 26

Une m´ ethode de Runge-Kutta d’ordre 4

yn,1=yn+h 2f(yn,tn) yn,2=yn+h

2f(yn,1,tn+h 2) yn,3=yn+h f(yn,2,tn+h

2) yn+1=yn+h

1

6f(yn,tn) +1

3f(yn,1,tn+h 2) +1

3f(yn,2,tn+h 2) +1

6f(yn,3,tn+1)

On montre que cette m´ethode est d’ordre4.

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 26

Equations diff´ ´ erentielles d’ordre 2







y⁰⁰(t) =f(y(t),y⁰(t),t) 0<t≤T y(0) =a

y⁰(0) =b

1^`ereapproche :

On approche les d´eriv´ees premi`ere et seconde par des quotients diff´erentiels. On a le sch´ema

yn+1−2yn+yn−1

h² =f

yn,yn+1−yn−1

2h ,tn

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 27

Equations diff´ ´ erentielles d’ordre 2







y⁰⁰(t) =f(y(t),y⁰(t),t) 0<t≤T y(0) =a

y⁰(0) =b

1^`ereapproche :

On approche les d´eriv´ees premi`ere et seconde par des quotients diff´erentiels. On a le sch´ema

yn+1−2yn+yn−1

h² =f

yn,yn+1−yn−1

2h ,tn

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 27

2^eapproche :

On se ram`ene `a un syst`eme diff´erentiel du premier ordre.

Soit la nouvelle inconnuez(t) =y⁰(t).

On obtient :















z⁰(t) =f(y(t),z(t),t), 0<t≤T y⁰(t) =z(t), 0<t≤T y(0) =a

z(0) =b

Analyse Num´erique– R. Touzani ´Equations diff´erentielles 28