D´ ecomposition de Dunford

Universit´ e PAUL SABATIER 2019-2020 M1 ESR - Fiche d’exercices 1

Exponentielles de matrices non diagonalisables.

Rappel de cours

D´ ecomposition de Dunford

Soient n ∈ N

^∗

, A ∈ M

_n

( R ) et u l’endomorphisme de R

ⁿ

dont A est la matrice dans la base canonique. Soit χ

_u

(X) = det (u − XI ) le polynˆ ome caract´ eristique de u (ici et dans la suite, on note I l’endomorphisme identit´ e et I

_n

la matrice identit´ e). Il se factorise dans C sous la forme

χ

_u

(X) = (−1)

ⁿ

Π

^k_i=1

(X − λ

_i

)

ⁿⁱ

o` u les λ

_i

sont des nombres complexes distincts.

Par le th´ eor` eme de Cayley-Hamilton,

χ

_u

(u) := Π

^k_i=1

(u − λ

_i

I )

ⁿⁱ

= 0.

On en d´ eduit par le lemme des noyaux

¹

que

R

ⁿ

=

k

M

i=1

ker (u − λ

_i

I )

ⁿⁱ

. (1)

On note V

i

:= ker (u −λ

_i

I)

ⁿⁱ

le sous-espace caract´ eristique associ´ e ` a la valeur propre λ

i

. Comme u commute avec (u−λ

_i

I )

ⁿⁱ²

, on v´ erifie que V

_i

est stable par u. Dans une base (ε

₁

, . . . , ε

_n

) adapt´ ee

`

a la d´ ecomposition R

ⁿ

= L

k

i=1

V

_i

, l’endomorphisme u a donc une repr´ esentation matricielle de la forme

∆ =







∆

1

. ..

∆

k





 . (2)

La matrice A est semblable ` a ∆ : A = P ∆P

⁻¹

, o` u P est la matrice de passage de la base canonique ` a (ε

1

, . . . , ε

n

). Chaque ∆

i

est une matrice carr´ ee d’ordre s

i

:= dim V

i

qui repr´ esente u|

_Vi

(dans la sous-famille des ´ el´ ements de (ε

₁

, . . . , ε

_n

) qui sont dans V

_i

).

Puisque (λ

i

−X)

ⁿⁱ

est un polynˆ ome annulateur de u|

_Vi

, on sait que λ

i

est la seule valeur propre de u|

_Vi

et aussi de ∆

i

. Donc le polynˆ ome caract´ eristique χ

∆i

de ∆

i

est χ

∆i

(X) = (−1)

^si

(X − λ

i

)

^si

. Observant que χ

_∆

= Π

^k_i=1

χ

_∆i

, il vient

(−1)

ⁿ

Π

^k_i=1

(X − λ

i

)

ⁿⁱ

= (−1)

^Pki=1si

Π

^k_i=1

(X − λ

i

)

^si

. Comme les λ

i

sont tous distincts, on en d´ eduit s

i

= n

i

, pour tout i = 1, . . . , k.

Puisque ((u − λ

_i

I )|

_Vi

)

ⁿⁱ

= 0, on a (∆

_i

− λ

_i

I

_ni

)

ⁿⁱ

= 0. En d’autres termes, la matrice ∆

_i

− λ

_i

I

_ni

est nilpotente d’indice un entier r

_i

≤ n

_i

.

Ecrivons

∆

i

= λ

i

I

ni

+ (∆

i

− λ

i

I

ni

) Notons Π

_i

la projection sur V

_i

parall` element ` a l’espace L

j6=i

V

_j

. La d´ ecomposition de Dunford de u est u = d + v o` u

d =

k

X

i=1

λ

_i

Π

_i

, v = (u − d) =

k

X

i=1

(u − λ

_i

I ) ◦ Π

_i

. (3)

1

Si

P1, . . . , Pk

sont des polynˆ omes premiers entre eux deux ` a deux et

P

=

P1. . . Pk

, alors Ker

P

(u) = Ker

P1

(u)

⊕ · · · ⊕

Ker

Pk

(u).

2

Dans toute la suite, il sera utile de se rappeler que deux polynˆ omes quelconques en

u

commutent.

Exercice 1 Justifier que d est un endomorphisme diagonalisable et que v est un endomorphisme nilpotent.

On peut en fait montrer que les Π

i

sont des polynˆ omes de u. C’est l’objet de l’exercice suivant.

Exercice 2 Pour tout i = 1, . . . , k, on note Q

i

(X) = Π

`6=i

(X − λ

`

)

^n`

. Les Q

i

´ etant premiers dans leur ensemble, le th´ eor` eme de Bezout implique qu’il existe des polynˆ omes U

_i

tels que

1 = U

1

Q

1

+ · · · + U

_k

Q

_k

. (4) On pose alors P

i

= U

i

Q

i

et le but de l’exercice est de montrer que Π

i

= P

i

(u).

1. Montrer que pour tout i 6= j, (P

_i

P

_j

)(u) = 0 et P

_j

(u)|

_Vi

= 0.

2. En utilisant que I = P

k

j=1

P

j

(u), montrer que P

i

(u) est un projecteur.

3. Montrer que Im P

i

(u) = V

i

.

4. Conclure que P

_i

(u) est bien la projection sur V

_i

parall` element ` a P

j6=i

V

_j

.

L’exercice pr´ ec´ edent donne une m´ ethode effective pour calculer la d´ ecomposition de Dunford.

En effet, il suffit de d´ eterminer des polynˆ omes U

i

v´ erifiant (4) ; on en d´ eduit alors P

i

, puis Π

i

= P

i

(u) et enfin d = P

k

i=1

λ

i

Π

i

et v = P

k

i=1

(u − λ

i

I ) ◦ Π

i

. Pour cela, on peut d´ ecomposer en ´ el´ ements simples la fraction rationnelle

1 χ

u

(X) =

k

X

i=1 ni

X

`=1

a

il

(X − λ

i

)

^`

. On pose U

i

= (−1)

ⁿ

P

ni

`=1

a

il

(X − λ

i

)

^ni−`

. On v´ erifie alors

k

X

i=1

U

i

Q

i

= (−1)

ⁿ

k

X

i=1 ni

X

`=1

a

i`

(X − λ

i

)

^ni−`

Π

j6=i

(X − λ

j

)

^nj

= (−1)

ⁿ

k

X

i=1 ni

X

`=1

a

i`

1

(X − λ

i

)

^`

Π

j

(X − λ

j

)

^nj

= χ

u

(X)

k

X

i=1 ni

X

`=1

a

il

(X − λ

i

)

^`

= 1.

Exercice 3 Calculer la d´ ecomposition de Dunford de l’endomorphisme u dont la matrice dans les bases canoniques est donn´ ee par :

A =





1 4 −2 0 6 −3

−1 4 0





On peut ´ egalement montrer que la d´ ecomposition de Dunford est unique au sens suivant : Exercice 4 L’objet de l’exercice est de montrer l’assertion suivante :

Si d

⁰

est un endomorphisme diagonalisable et v

⁰

un endomorphisme nilpotent qui commute avec d

⁰

, et si u = d

⁰

+ v

⁰

, alors d = d

⁰

et v = v

⁰

(les endomorphismes d et v sont ceux donn´ es par (3)).

1. En observant que d

⁰

et v

⁰

commutent avec u, montrer que chaque V

i

est stable par d

⁰

et par v

⁰

.

2. En d´ eduire que d

⁰

et d commutent puis que v

⁰

et v commutent.

3. Montrer que d − d

⁰

est diagonalisable et nilpotente puis conclure.

Calcul de l’exponentielle d’une matrice

On rappelle que l’exponentielle d’un endomorphisme u est donn´ ee par

exp u =

+∞

X

j=0

u

^j

j! .

On d´ efinit de mani` ere analogue l’exponentielle d’une matrice carr´ ee A :

exp A =

+∞

X

j=0

A

^j

j! .

Pour calculer l’exponentielle de A, on peut commencer par r´ eduire A en une matrice diagonale par blocs comme en (2) puis ´ ecrire :

A = P exp ∆P

⁻¹

= P







exp ∆

1

. ..

exp ∆

n





 P

⁻¹

avec pour tout i = 1, . . . , k,

exp ∆

i

= exp(λ

i

I

ni

+ (∆

i

− λ

i

I

ni

)) = exp(λ

i

I

ni

) exp(∆

i

− λ

i

I

ni

) = e

^λi

exp(∆

i

− λ

i

I

ni

).

Dans la ligne pr´ ec´ edente, on a utilis´ e que les matrices λ

_i

I

_ni

et ∆

_i

− λ

_i

I

_ni

commutent. En exploitant la nilpotence de ∆

i

− λ

i

I

ni

, il vient donc

exp ∆

_i

= e

^λi

ri−1

X

`=0

(∆

_i

− λ

_i

I

_ni

)

^`

.

On rappelle qu’on a not´ e r

_i

l’indice de nilpotence de ∆

_i

− λ

_i

I

_ni

. Lorsque n

_i

≤ 3, on peut se contenter de ce qui pr´ ec` ede pour calculer exp ∆

_i

. Sinon, on peut chercher ` a r´ eduire encore chaque matrice ∆

i

. Comme ∆

i

= λ

i

I

ni

+ N

i

o` u N

i

= ∆

i

− λ

i

I

ni

est une matrice nilpotente d’ordre r

_i

, il suffit de r´ eduire N

_i

. L’objet de la section suivante est d’expliquer comment r´ eduire une matrice nilpotente.

Exercice 5 Pour calculer l’exponentielle de A, il n’est pas n´ ecessaire de calculer la matrice de passage P ni les matrices ∆

_i

. On peut aussi utiliser la m´ ethode sugg´ er´ ee ` a la suite de l’exercice 2. On rappelle que u = d + v avec d = P

k

i=1

λ

_i

Π

_i

, v = P

k

i=1

(u − λ

_i

I ) ◦ Π

_i

et Π

_i

= (U

_i

Q

_i

)(u).

1. Justifier que

exp d =

k

X

i=1

e

^λi

Π

_i

.

2. Justifier que

exp v =

k

X

i=1 ri−1

X

`=0

(u − λ

i

I)

^`

`!

!

◦ Π

i

.

3. En d´ eduire que

exp u =

k

X

i=1

e

^λi

ri−1

X

`=0

(u − λ

i

I)

^`

`!

!

◦ Π

i

Exercice 6 Calculer l’exponentielle de la matrice donn´ ee ` a l’exercice 3.

R´ eduction de Jordan des endomorphismes nilpotents Elle est fond´ ee sur l’exercice suivant :

Exercice 7 Soit v : E → E un endomorphisme nilpotent non nul sur un espace vectoriel E.

On note r ≥ 1 l’indice de nilpotente de v : Ker v

^r−1

6= E et Ker v

^r

= E.

1. Montrer que

{0} ( Ker v ( Ker v

²

( · · · ( Ker v

^r

= E.

2. Justifier que v(Ker v

ⁱ

) ⊂ Ker v

ⁱ⁻¹

, pour tout i = 1, . . . , r.

3. Soit x 6∈ Ker v

^r−1

. Montrer que la famille {x, v(x), . . . , v

^r−1

(x)} est libre.

4. Montrer que le sous-espace F = Vect(x, v(x), . . . , v

^r−1

(x)) est stable par v.

5. Montrer que la matrice de l’endomophisme v|

_F

dans la base (v

^r−1

(x), . . . , v(x), x) est

J

_r

:=















0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 .. . . .. ... ... ...

0 · · · · · · · · · 1 0 · · · · · · · · · 0













 .

Exercice 8 Notons v un endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel E ; on note r son indice.

1. Soit i ∈ {2, . . . , r − 1}. Montrer que si G est en somme directe avec Ker v

ⁱ

dans Ker v

ⁱ⁺¹

, alors v(G) est en somme directe avec Ker v

ⁱ⁻¹

dans Ker v

ⁱ

.

2. Montrer qu’il existe des sous-espaces G

1

, . . . , G

r

dans E tels que pour tout i = 2, . . . , r, on a

Ker v

ⁱ

= G

i

⊕ v(G

i+1

) ⊕ v

²

(G

i+2

) ⊕ · · · ⊕ v

^r−i

(G

r

) ⊕ Ker v

ⁱ⁻¹

.

Indication : on pourra commencer par i = r puis proc´ eder par r´ ecurrence descendante.

3. On pose H

₁

= G

₁

, H

₂

= G

₂

⊕ v(G

₂

) et plus g´ en´ eralement pour tout i ∈ {1, . . . , r}, H

i

:= G

i

⊕ v(G

i

) ⊕ · · · ⊕ v

ⁱ⁻¹

(G

i

).

Montrer que chaque H

i

est stable par v (on pourra observer que G

i

⊂ Ker v

ⁱ

) et que E = H

1

⊕ · · · ⊕ H

r

.

4. On fixe i ∈ {2, . . . , r} et on se donne une base (a

_i,1

, . . . , a

_i,`i

) de G

_i

. Montrer que pour tout j ∈ {1, . . . , i − 1}, (v

^j

(a

_i,1

), . . . , v

^j

(a

_i,`i

)) est une base de v

^j

(G

_i

). En d´ eduire qu’une base de H

i

est donn´ ee par

(v

ⁱ⁻¹

(a

i,1

), . . . , a

i,1

; v

ⁱ⁻¹

(a

i,2

), . . . , a

i,2

; . . . , v

ⁱ⁻¹

(a

_i,`i

), . . . , a

_i,`i

).

Quelle est la matrice de v|

_Hi

dans cette base ?

5. Donner une base de E dans laquelle la matrice de v a tous ses coefficients nuls, ` a l’exception de quelques ´ el´ ements au-dessus de la diagonale qui sont ´ egaux ` a 1.

Exercice 9 On consid` ere les matrices suivantes

A =





1 4 −2 0 6 −3

−1 4 0



 , B =









1 1 −1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

0 0 0 1









, C =









3 −5 2 −6

0 5 0 4

−2 7 −1 11

0 −4 0 −3







 .

Ecrire chacune de ces matrices sous la forme P J P

⁻¹

o` u P est une matrice inversible et J une

matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf les coefficients diagonaux et les coefficients situ´ es

juste au-dessus de la diagonale. On explicitera P et J mais on ne demande pas de calculer P

⁻¹

.