Lyc´ee Pierre de Fermat 2020/2021
MPSI 1 colles
Programme de colle
Num´ero de semaine : 2
Semaine du 21/9/2020 au 26/9/2020.
Interrogation sur le formulaire : les pages 3 (sans les formules de Moivre et Euler), 4, 5, 6 (sans la trigo hyperbolique et les formules cos(3θ),sin(3θ),tan(3θ)), 7 (uniquement formules sommatoires et suites) + les identit´es alg´ebriquesan−bn eta2n+1+b2n+1 (y compris les cas particuliers explicitesa3+b3=).
Questions de cours :
1. Illustration graphique des relations trigonom´etriques du type cos(π−θ) =. . ., cos(π+θ) =. . ., cos(π/2− θ) =. . ., cos(π/2 +θ) =. . .
2. Montrer que, siuest une application deE dansF, sivest une application deF dansGtelle quev◦uest injective (resp. surjective), alorsuest injective (resp. v est surjective).
3. Montrer que, siuest une application deEdansF, sivest une application deFdansEtelle quev◦u=idE
et u◦v=idF, alorsuest bijective et sa bijection r´eciproque estv.
4. Si uest une bijection de E dans F, siv est une bijection de F dans G, alorsv◦u est une bijection et (v◦u)−1=. . .
5. Montrer que siuest une application deEdansF, siBest une partie deF, alorsu−1(F\B) =E\u−1(B).
Si AetA′ sont des parties deE, y a-t-il ´egalit´e entreu(A∩A′) etu(A)∩u(A′) (on justifiera les r´eponses aux deux inclusions sugg´er´ees par la question).
6. Technique de r´esolution des ´equations trigonom´etriques du typeAcosx+Bsinx=C (exemples explicites
´eventuels).
7. ´Etude compl`ete de la fonction tangente, trac´e du graphe et en d´eduire celui de cotangente.
8. Expressions de sinθ, cosθet tanθen fonction de tanθ 2. 9. Preuve des formules du type cosp+ cosq=
10. Preuve formelle de la factorisation de l’expressionan−bn par (a−b).
Th` eme de la colle :
Manipulation des symboles sommatoires (y compris les sommes doubles).
Changements d’indices. Notation factorielle.
Structures du raisonnement , les ensembles et les applications.
Raisonnements par la contrapos´ee, par l’absurde, par r´ecurrence.
Application injective, surjective, bijective.
Image directe et r´eciproque d’un ensemble par une application.
Principe des tiroirs de Dirichlet.
R´evisions et compl´ements d’analyse r´eelle.
1. Les fonctions circulaires sinus, cosinus. Formules de trigonom´etrie circulaire.
2. La fonction tangente. ´Etude compl`ete de la fonction tangente.
Consignes particuli` eres :
Interrogation sur 3 points du formulaire avec bonus ou malus sur la note `a la cl´e (les 5 premi`eres pages, les formules sur la fonction tangente sont au programme ainsi que les d´eriv´ees de tangente et cotangente, en revanche pas de trigo hyperbolique).
Bonnes interrogations, soyez exigeants, insistez sur les points qui ont ´et´e mal compris et n’h´esitez pas `a r´eexpliquer pour aider les ´el`eves `a se corriger.
Vincent Bayle
Je suis joignable
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• par t´el´ephone au 09-50-28-23-28 ou au 06-74-52-23-64,
• par courrier ´electronique `a l’adresse 120bayle2@free.fr,
• par courrier postal, `a mon adresse personnelle : 2, Impasse des Bernaches, 31280-DREMIL LAFAGE.
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