SYSTEMES LINEAIRES P. Pansu September 13, 2004

(1)

SYSTEMES LINEAIRES

P. Pansu September 13, 2004

1 Motivation

On rencontre des systèmes linéaires à la fois dans la vie courante et dans des problèmes posés par les sciences.

2 Objectif

Savoir résoudre (i.e. décrire l’ensemble des solutions) à la main un système linéaire de petite taille.

Savoir conduire une discussion lorsque le système dépend d’un paramètre.

Savoir interpréter géométriquement les résultats obtenus.

3 G´ en´ eralit´ es

a. Définition : système linéaire

Une équation linéaire àninconnues s’écrit

a1x1+a2x²+· · ·+anxn=b

où a1, . . . , an sont les coefficients de l’équation, b est le second membre, x1, . . . , xn désignent les inconnues.

b. Exemple

L’équationy= 2x−1 représente une droite affine dans le plan. C’est une équation linéaire à deux inconnues, car on peut l’écrire

2x1−x2=−1

o`u on a simplement chang´e les noms des inconnues : x=x1 ety=x2. c. Exemple

L’équationx+ 2y−3z= 2 représente un plan affine dans l’espace. C’est une équation linéaire

`

a trois inconnues.

d. Définition: système linéaire (suite)

Un système linéaire de p équations à n inconnues consiste à se donner p équations linéaires ayant les mêmes inconnuesx1, . . . , xn. On range les coefficients despéquations dans un tableau rectangulaire à p lignes et n colonnes appelé matrice du système, et les second membre en une colonne appeléesecond membredu système. Le système de matriceAet de second membreBpeut s’écrire symboliquementAX=B oùX désigne la colonne des inconnuesX=



 x1

... xn



.

e. Exemple

(2)

Chercher l’intersection des droites affinesD d’équationy= 2x−1 etD⁰ d’équationy=−x+ 2 revient à résoudre le système linéaire

2x−y = 1 x+y = 2 . La matrice du syst`eme est

2 −1

1 1

et le second membre 1

2

. f. Exemple

Chercher l’intersection des plans affinesPd’équationx+2y−3z= 2 etP⁰d’équation 2x−y+z= 3 revient à résoudre le système linéaire

x+ 2y−3z = 2 x+y+z = 3 . La matrice du syst`eme est

1 2 −3

1 1 1

et le second membre 2

3

. g. Définition: système linéaire (suite et fin)

Unesolutiond’un système depéquations à ninconnues, c’est unn-uplet (x1, . . . , xn) de nombres qui satisfont simultanément lespéquations du système. Résoudrele système, c’est déterminer l’ensemble de toutes ses solutions, un sous-ensemble de Rⁿ. Deux systèmes linéaires sont dits

équivalentss’ils possèdent les mêmes solutions.

h. Exemple Le syst`eme

2x−y = 1 x+y = 2

poss`ede une unique solution (1,1). C’est le point d’intersection des droitresD etD⁰. Le syst`eme x+ 2y−3z = 2

x+y+z = 3 .

possède une infinité de solutions. En effet, l’intersection des plansP et P⁰ est une droite affine, qui possède une infinité de points. On décrit une droite affine de fa¸con paramétrique. Dans une droite affine, il y a exactement une direction pour se déplacer, un “degré de liberté”. La droite est balayée par un point dépendant d’un paramètreλ. Ici, les solutions sont les points de la forme







x = 4−5λ y = −1 + 4λ

z = λ

,

o`uλd´ecritR.

4 Sous-espaces vectoriels et affines

a. D´efinition : sous-espace vectoriel

Un sous-ensembleE deRⁿ est unsous-espace vectoriels’il est stable par combinaison lin´eaire, i.e. si pour tousv,v⁰∈E et λ,λ⁰ ∈R, le vecteurλv+λ⁰v⁰ est encore dansE.

b. Exemple

Une droite passant par l’origine dans le plan ou l’espace est un sous-espace vectoriel.

c. Exemplefondamental

(3)

L’ensemble des solutions d’un système linéairehomogène, i.e. dont le second membre est nul, est un sous-espace vectoriel.

On cherche maintenant à définir le “nombre de degrés de liberté” dans un espace vectoriel, i.e.

le nombre de paramètres dont dépend un élément du sous-espace. Unereprésentation paramétrique d’un sous-espace vectorielE deRⁿ prend la forme suivante : v1, . . . , vd sont des vecteurs de E.

Un vecteurv est dans Esi et seulement si il existe des nombresλ₁, . . . , λ_d uniques tels que v=λ₁v₁+· · ·+λ_dv_d.

d. D´efinition: base

Une famille (v1, . . . , vd) de vecteurs d’un sous-espace vectorielEest unebasedeEsi tout vecteur vpossède une écriture unique v=λ1v1+· · ·+λdvd comme combinaison linéaire dev1, . . . , vd.

e. Exemple

Consid´erons la droite D d’´equation y = 2x dans le plan R². C’est un sous-espace vectoriel.

Soitv₁ = (1,2). On remarque que tout vecteur v de D s’écrit de manière unique v = (x, y) = (x,2x) =x(1,2) =xv₁. Par conséquent,v₁ est une base deD.

Théorème 1 Tout sous-espace vectoriel E de Rⁿ admet une base. Le nombre d’éléments de la base est le même pour toutes les bases.

f. D´efinition : dimension

La dimension d’un sous-espace vectoriel E de Rⁿ est le nombre d’´el´ements d’une base de E.

Par convention, la dimension du sous-espace vectoriel {0} vaut 0. Un sous-espace vectoriel de dimension 1 s’appelle unedroite vectorielle. Un sous-espace vectoriel de dimension 2 s’appelle un plan vectoriel. Un sous-espace vectoriel de dimensionn−1 s’appelle unhyperplan vectoriel.

g. Propri´et´es de la dimension

Proposition 1 SoientE etF deux sous-espaces vectoriels deRⁿ. Si Eest contenu dansF (noté E⊂F), alors dimE ≤dimF, et l’égalité n’a lieu que siE=F.

h. Moralit´e

Décrire un sous-espace vectoriel, c’est en donner une base. Etant donné un système linéaire homogène (S), à la question “déterminer les solutions de (S)”, la réponse consiste à calculer une base de l’espace des solutions.

i. Exemple

Considérons le système homogène

x+ 2y−3z = 0 x+y+z = 0 .

En éliminantxentre les deux équations, on arrive au système équivalent x+ 2y−3z = 0

y−4z = 0 , puis `a

x = −5z

y = 4z .

Autrement dit, toute solution du syst`eme s’´ecrit uniquement v = (x, y, z) = (−5z,4z, z) = z(−5,4,1), donc l’ensemble des solutions est le sous-espace vectoriel de basev₁= (−5,4,1).

j. D´efinition : sous-espace affine

(4)

SoitE un sous-espace vectoriel de Rⁿ, etv0 ∈Rⁿ. Lesous-espace affine F passant parv0 et de directionE est l’ensemble des vecteurs de la formev₀+v oùv décritE. Sa dimension est celle deE, par définition. Les points {v}sont des sous-espaces affines de dimension 0. On peut parler dedroites, planset hyperplans affines.

k. Exemple

La droite affine d’´equation y = 2x−1 dans le plan R² est le sous-espace affine passant par v0= (0,−1) et dont la direction est la droite vectorielle de basev1= (1,2).

Théorème 2 Soit(S)un système linéaire,(H)le système homogène associé (même matrice, mais second membre nul). Soitv0 une solution particulière de(S). Alors l’ensembleS des solutions de (S) est le sous-espace affine passant parv0 et de direction l’ensemble E des solutions de(H).

Si(v1, . . . , vd)est une base deE, l’ensemble S admet la repr´esentation param´etrique suivante S={v0+λ₁v₁+· · ·+λ_dv_d ; λ₁, . . . , λ_d∈R}.

Preuve. Sivest solution de (S), alorsv⁰est solution de (S) si et seulement siv⁰−vest solution de (H).

l. Moralit´e

Soit (S) un système linéaire. A la question “déterminer les solutions de (S)”, la réponse consiste

`

a donner une solution particulière et une base de l’ensemble des solutions du système homogène associé.

5 Syst` emes ´ echelonn´ es

Ce sont les syst`emes pour lesquels la dimension de l’ensemble des solutions saute aux yeux.

a. D´efinition : syst`eme triangulaire

Un système linéaire est triangulaire s’il a autant d’inconnues que d’équations et si tous les coefficients de sa matrice situés au-dessous de la diagonale sont nuls.

b. Exemple Le syst`eme







x+ 2y−z = 4

3y−z = −1

−2z = 1

est triangulaire. Ses coefficients diagonaux 1, 3 et−2 sont non nuls. On voit à vue d’oeil que ce système possède une et une seule solution. En effet, la dernière équation détermine uniquementz, puis la deuxième donney, et la première donnex.

Théorème 3 Soit A une matrice triangulaire à coefficients diagonaux non nuls. Il existe une matrice triangulaire notéeA⁻¹telle que, pour tout second membreB, l’unique solution du système AX=B soitX =A⁻¹B.

c. Définition: système échelonné

Un système linéaire est échelonné si sa matrice est formée d’une matrice triangulaire à coefficients diagonaux non nuls, à laquelle on a ajouté des colonnes (quelconques), puis des lignes identiquement nulles. La taille du sous-système triangulaire s’appelle lerangdu système.

d. Exemple Le syst`eme







x+ 2y−3z = 3

y−4z = −1

0 = 1

(5)

est échelonné, de rang 2. Il ne possède pas de solution, puisque la dernière équation n’est jamais satisfaite.

Théorème 4 Soit(S) un système linéaire de péquations à n inconnues. On suppose(S)éche- lonné, de rangq. Alors(S) possède des solutions (on dit que (S)est compatible) si et seulement si lesp−q dernières composantes du second membre sont nulles. Si c’est le cas, alors l’ensemble des solutions de(S)est un sous-espace affine deRⁿ de dimension n−q. On obtient une solution particulièrev0en imposant que lesn−qdernières inconnues soient nulles et en résolvant le système triangulaire obtenu. On obtient une base de l’ensemble des solutions du système homogène associé (H)en ajoutant à(H)des équations qui expriment que lesn−qdernières inconnues sont nulles sauf une qui vaut1et en résolvant le système triangulaire homogène obtenu.

Preuve. La condition de compatibilité est évidemment nécessaire. Supposons la satisfaite. On peut donc oublier lesp−qdernières équations, qui s’écrivent 0 = 0.

Ajoutons les équations x_q+1 = 0, . . . , x_n = 0. On obtient un système de n équations à n inconnues, triangulaire à coefficients diagonaux non nuls. Il possède une unique solutionv₀. C’est une solution particulière de (S).

Considérons le système homogène (H) associé à (S). Etant donnés des nombres λ_q+1, . . . , λ_n, ajoutons les équations xq+1 = λq+1, . . . , xn = λn. On obtient un système de n équations à n inconnues, triangulaire à coefficients diagonaux non nuls, notéA⁰X =B⁰. Il possède une unique solutionX =A⁰⁻¹B⁰. Pouri=q+ 1, . . . , n, soitBila colonne dont seule lai-ème composante est non nulle est vaut 1. Le vecteurvi suggéré par l’énoncé estvi=A⁰⁻¹Bi. Soitv= (x1, . . . , xn) une solution deH. Alors

A⁰v= (0, . . . ,0, xq+1, . . . , xn) =xq+1Bq+1+· · ·+xnBn

donc

v=A⁰⁻¹(x_q+1B_q+1+· · ·+x_nB_n) =x_q+1v_q+1+· · ·+x_nv_n

et cette ´ecriture est unique. Par cons´equent, (vq+1, . . . , vn) est une base de l’espace des solutions de (H).

e. Exercice

Suivant la valeur du paramètre réel a, déterminer le rang, décider si l’ensemble des solutions du système (Sa) ci-dessous est non vide, et lorsque que c’est le cas, donner sa dimension.

(S_a)







x+ 2y−3z = 3 (1−a)y−z = −1

az = a(a−1) f. Solution

Le système (Sa) est triangulaire. Si aest distinct de 0 et de 1, les coefficients diagonaux sont non nuls, donc le rang est 3 et le système (Sa) possède une solution unique.

Sia= 0, le système (S0) est échelonné de rang 2. La dernière équation, 0 = 0, est compatible, donc (S0) possède des solutions. D’après le théorème 4, l’ensemble des solutions de (S0) est de dimension 1, c’est une droite affine.

Si a = 1, le système (S1) n’est pas échelonné. Néanmoins, il suffit de changer l’ordre des inconnues et d’ajouter la deuxième ligne à la dernière pour obtenir un système échelonné équivalent

` a (S1),







x−3z+ 2y = 3

−z = −1

0 = 1

.

Ce syst`eme n’a pas de solution, car la derni`ere ligne est incompatible, donc (S1) n’a pas de solution.

(6)

6 M´ ethode du pivot de Gauss

La méthode employée pour résoudre un système linéaire quelconque consiste à le transformer en un système équivalent de plus en plus simple, jusqu’à ce qu’il soit échelonné.

a. Opérations élémentaires Il s’agit des opérations suivantes

1. Ajouter à une équation une combinaison linéaire desautreséquations.

2. Réécrire les équations en changeant l’ordre d’apparition des inconnues.

3. Permuter les ´equations.

4. Multiplier une ´equation par un nombrenon nul.

Proposition 2 Par opération élémentaire, on transforme un système linéaire en un système

équivalent. Pour tout système linéaire (S), il existe une suite d’opérations élémentaires qui ra- mènent(S)à un système échelonné.

Preuve. On construit le système échelonné ligne par ligne, i.e. après la i-ème étape, les i premières lignes ne changeront plus.

La première étape consiste à choisir une despéquations et une desninconnues dont le coefficient dans cette équation, appelépivot, est non nul (les calculs sont simplifiés s’il vaut 1, cela guide le choix). On permute équations et inconnues de fa¸con à mettre le pivot en haut à gauche du système. Puis on ajoute aux autres équations un multiple de la première équation de fa¸con à annuler le premier terme de chaque équation.

L’étape suivante consiste à faire le même travail dans le sous-sytème obtenu en ignorant la première équation et la première inconnue (qui n’apparaˆıt que dans la première équation désormais).

Le procédé s’arrête lorsqu’on ne peut plus trouver de pivot dans aucune des équations restantes, i.e. lorsqu’elles ont toutes un premier membre identiquement nul. Les coefficients diagonaux du système (S⁰) obtenu sont les pivots successifs, ils sont non nuls par construction, donc (S⁰) est

´echelonn´e.

L’algorithme est plus facile a saisir sur un exemple.

b. Exercice

Echelonner le syst`eme suivant







y+z = 1 x+y = 2 x+z = 3 c. Solution

On choisit comme premier pivot le coefficient deydans la première équation. On élimine donc y dans la deuxième équation en lui retranchant la première. Il n’y a rien à faire sur la troisième.

Cela donne le syst`eme ´equivalent







y+z = 1 x−z = 1 x+z = 3

On choisit comme deuxième pivot le coefficient dexdans la deuxième équation. On élimine donc xdans la troisième équation en lui retranchant la deuxième. On obtient le système échelonné







y+z = 1 x−z = 1

2z = 2

,

(7)

dont le rang vaut 3.

d. Exercice

Suivant la valeur du paramètre réela, échelonner le système (Sa) suivant

(Sa)







ax+ 2y−3z = 3 (1−a)y−z = −1

az = a(a−1) .

e. Solution

Comme la matrice du système (Sa) est triangulaire, si aest distinct de 0 et de 1, le système est échelonné de rang 3.

Si a= 0, on choisit pour pivot le coefficient de y dans la troisième équation, et on obtient le système échelonné







y−z = −1

−z = 5

0 = 0

de rang 2, compatible.

Si a= 1, on choisit pour premier pivot le coefficient de xdans la première équation (aucune manipulation à faire) puis le coefficient dezdans la deuxième équation, qu’on ajoute à la dernière, ce qui conduit au système échelonné







x−3z+ 2y = −1

−z = −1

0 = −1

de rang 2, incompatible.

f. Exercice

Echelonner le syst`eme suivant, en fonction du param`etrea.

(Sa)

4ax+ (a+ 1)y+az = −1 (a+ 1)x+y+ (1−a)z = −1 . g. Solution

Il est prudent de choisir un pivot qui ne dépend pas du paramètre. On choisit le coefficient de ydans la seconde équation. On ajoute à l’autre équation celle-ci multipliée para+ 1. Le système obtenu

y+ (a+ 1)x+ (1−a)z = −1

(−a²+ 2a−1)x+ (−a²+ 3a−1)z = a .

est échelonné. En effet, sia6= 1, alors−a²+ 2a−1 n’est pas nul. Sia= 1, le coefficient dexdans la seconde équation est nul mais celui de zn’est pas nul. Dans les deux cas, le rang vaut 2.

7 R´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire

a. M´ethode

On échelonne le système au moyen d’opérations élémentaires sur les équations, comme décrit au paragraphe précédent.

D’après le théorème 4, lorsqu’il est non vide, l’ensemble des solutions d’un système linéaire

échelonné est un sous-espace affine qu’on décrit au moyen d’une solution particulièrev₀ et d’une base (v1, . . . , vd). Ces vecteurs s’obtiennent par résolution d’un système triangulaire deqéquations

`

aqinconnues, o`u qest le rang.

(8)

Voici comment on s’y prend. En divisant chaque équation non nulle par son pivot, on ramène les pivots à 1. En continuant avec des opérations élémentaires, on peut faire disparaˆıtre tous les coefficients, sauf les pivots, ce qui donne le résultat cherché. Il vaut mieux expliquer le procédé sur des exemples.

b. Exemple

R´esolution du syst`eme







y+z = 1 x+y = 2 x+z = 3

.

On commence par ´echelonner. On obtient le syst`eme







y+z = 1 x−z = 1

2z = 2

.

On divise chaque équation par son pivot (ici, seule la troisième équation est concernée), on trouve







y+z = 1 x−z = 1

z = 1

.

Pour faire disparaˆıtrezdes deux premières équations, on ajoute (resp. retranche) la dernière ligne

`

a la deuxi`eme (resp. premi`ere). On trouve







y = 0

x = 2

z = 1

,

et le tour est jou´e.

c. Exercice

Soita un paramètre réel. Déterminer l’intersection des trois plans affines P d’équation ax+ y−3z= 3,Qd’équation−ax−ay+ 2z=−4 etRd’équationa²x+ay= 3a².

d. Solution

Cela revient à résoudre le système







ax+y−3z = 3

−ax−ay+ 2z = −4 a²x+ay = 3a²

.

On échelonne. On choisit comme pivot le coefficient de y dans la première équation. On obtient le système équivalent







y+ax−3z = 3

(−a+a²)x+ (2−3a)z = −4 + 3a

3az = −3a+ 3a²

.

Sia6= 0 eta6= 1, le système est échelonné de rang 3. On divise chaque équation par son pivot,







y+ax−3z = 3 x+_−a+a^2−3a2z = ^−4+3a_−a+a2

z = −1 +a

.

On ´elimine les termes enz,







y+ax = 3a

x = ^−6−2a+3a_−a+a₂ ²

z = −1 +a

.

(9)

On élimine le terme enxde la première équation,







y = _−a+a^−2+a₂ x = ^−6−2a+3a_−a+a2 ²

z = −1 +a ,

ce qui achève la résolution. L’intersection des trois plans est réduite au point (−6−2a+ 3a²

−a+a² , −2 +a

−a+a²,−1 +a).

Sia= 0, la première opération a déjà conduit au système échelonné







y−3z = 3

2z = −4

0 = 0

.

Le système est compatible, de rang 2. L’ensemble des solutions est donc une droite affine. Pour trouver une solution particulière, on impose x = 0 et on résoud le système de 2 équations à 2 inconnues restant,

y−3z = 3

2z = −4 ,

en divisant par les pivots et en éliminantzde la première équation, y = −3

z = −2 ,

D’où la solution v0 = (0,−3,−2). Pour obtenir une base de l’espace vectoriel des solutions du système homogène associé, on donne à xla valeur 1, et on résoud

y−3z = 0

2z = 0 ,

ce qui donne le vecteurv1= (1,0,0). L’intersection des 3 plans, dans ce cas, est la droite passant parv0, de vecteur directeurv1, qu’on peut repr´esenter param´etriquement par

D={(λ,−3,−2 ) ; λ∈R}.

Sia= 1, le syst`eme obtenu







y+x−3z = 3

−z = −1

3z = 0

,

´equivalent `a







y+x−3z = 3

−z = −1

0 = −3

,

est incompatible, l’intersection des 3 plans est vide.

On constate que l’intersection des 3 plans considérés est en général un point, accidentellement, i.e. pour des valeurs particulières du paramètre, vide ou une droite.

(10)

8 Rang

a. Définition : rang d’un système linéaire

Le rang d’un système linéaire est le rang d’un système échelonné qui lui est équivalent. C’est le même pour un système et pour le système homogène associé. Il ne dépend pas du procédé d’échelonnage. Cela resulte du corollaire suivant du théorème 4.

Corollaire 3 Pour un système linéaire homogène à n inconnues, de rang r, la dimension de l’espace vectoriel des solutions estn−r.

b. Exemple

Consid´erons le syst`eme

(Sa)







(a+a²)x+ (−a+ 2a²)y+az+ (−1 +a−a³)t = a ax+ (−1 + 2a)y+z−a²t = 1 (−1 +a)x+ay+z+ (−1 +a²)t = 1 +a

.

Pour connaˆıtre son rang, il suffit d’échelonner le système homogène associé. On choisit comme pivot le coefficient dez dans la deuxième équation. On obtient le système homogène équivalent







z+ax+ (−1 + 2a)y−a²t = 0

−x+ (1−a)y+ (−1 + 2a²)t = 0 ax+ (a−1)t = 0

.

Comme il vaut mieux que les pivots ne dépendent pas du paramètre, on choisit comme pivot le coefficient dexdans la deuxième équation. On obtient le système homogène équivalent







z+ax+ (−1 + 2a)y−a²t = 0 x+ (−1 +a)y+ (1−2a²)t = 0 (a−a²)y+ (−1 + 2a³)t = 0

.

Si a6= 0 et a6= 1, le coefficient dey dans la troisième équation est non nul, donc le système est

échelonné de rang 3. Sia= 0 oua= 1, le coefficient de tdans la dernière équation n’est pas nul, et il suffit de changer l’ordre des termes eny ett pour revenir à un système échelonné. Dans tous les cas, le rang vaut 3.

c. Rang et compatibilit´e

Théorème 5 Le rang d’un système linéaire de matrice A est égal à la dimension de l’espace vectoriel

{B ; le syst`eme AX=B est compatible}.

Preuve. Il suffit de le vérifier pour un système échelonné de rang q. Le système avec second membre B est compatible si et seulement si les p−q dernières composantes de B sont nulles.

Il reste exactement q param`etres libres, les q premi`eres composantes de B, donc le sous-espace vectoriel obtenu est de dimensionq.

d. D´efinition: rang d’une famille de vecteurs

Soient v₁, . . . , v_k des vecteurs de Rⁿ. Le sous-espace vectoriel engendr´e par v₁, . . . , v_k est l’ensembleV ect(v₁, . . . , v_k) de toutes les combinaisons lin´eaires

λ₁v₁+· · ·+λ_kv_k

obtenues lorsqueλ₁, . . . , λ_k d´ecriventR. Sa dimension est lerangde la famille v₁, . . . , v_k. e. Exemple

Siv1=v2=· · ·=vk= 0, le rang vaut 0.

(11)

Sivi6= 0, et tous les autres vecteursvj sont proportionnels `avi, le rang vaut 1.

Si parmi les v_i, il existe deux vecteurs v_j et v_k non nuls et non proportionnels, alors le rang vaut au moins 2, et vaut 2 si et seulement si tous les autres vecteurs sont dans le plan vectoriel engendr´e parv_j etv_k.

f. Exercice

Soitaun paramètre réel. Soientv1= (1,0,−1,1),v2= (0,1,1,2) etv3= (1 +a,1,0,−1) trois vecteurs deR⁴. Donner des équations pour le sous-espaceV ect(v1, v2, v3).

g. Solution

Soitv= (x⁰, y⁰, z⁰, t⁰) un vecteur quelconque deR⁴. Alorsv∈V ect(v1, v2, v3) si et seulement si le systèmexv1+yv2+zv3=vest compatible. Pour faire apparaˆıtre les conditions de compatibilité, il suffit d’échelonner le système











x+ (1 +a)z = x⁰ y+z = y⁰

−x+y = z⁰ x−2y−z = t⁰

.

On choisit comme pivot le coefficient dexdans la premi`ere ´equation,











x+ (1 +a)z = x⁰

y+z = y⁰

y+ (1 +a)z = x⁰+z⁰

−2y+ (−2−a)z = −x⁰+t⁰ ,

puis le coefficient dey dans la deuxi`eme ´equation,











x+ (1 +a)z = x⁰

y+z = y⁰

az = x⁰−y⁰+z⁰

−az = −x⁰+ 2y⁰+t⁰ ,

On ajoute la troisième équation à la dernière,











x+ (1 +a)z = x⁰

y+z = y⁰

az = x⁰−y⁰+z⁰ 0 = y⁰+z⁰+t⁰

.

Si a 6= 0, on trouve une seule condition de compatibilit´e, y⁰+z⁰+t⁰ = 0, qui est l’´equation du sous-espaceV ect(v₁, v₂, v₃).

Si a= 0, le rang est 2, le sous-espace V ect(v₁, v₂, v₃) est de dimension 2, il est d´efini par les deux ´equationsy⁰+z⁰+t⁰ = 0 etx⁰−y⁰+z⁰ = 0.

h. Rang des colonnes

Théorème 6 Soit(S) un système linéaire de matrice A. Le rang de (S) est égal au rang de la famille de vecteurs formée par les colonnes de A.

Preuve. SoitX la colonne de composantesλ1, . . . , λk. Alors AX=λ1v1+· · ·+λkvk

Par conséquent, un vecteurv est dansV ect(v₁, . . . , v_k) si et seulement si le systèmeAX =v est compatible. D’après le théorème 5, la dimension deV ect(v₁, . . . , v_k) est égale au rang du système.

L’´echelonnage donne une m´ethode pratique pour extraire de toute famillev1, . . . , vk une base du sous-espace vectorielV ect(v1, . . . , vk).

(12)

i. Exemple

Considérons les quatre vecteurs suivants deR³, dépendant d’un paramètre réel a.

v1=



 a+a²

a

−1 +a



, v2=





−a+ 2a²

−1 + 2a a



, v3=



 a 1 1



, v4=





−1 +a−a²

−a²

−1 +a²



.

L’échelonnage du système correspondant (effectué à l’exercice b ci-dessus) donne les informations suivantes.

• Pour touta, le rang de la famillev1, . . . , v4vaut 3. Autrement dit, la famille engendre l’espace R³ tout entier.

• Poura6= 0 eta6= 1, les vecteursv₃,v₁et v₂ constituent une base deV ect(v₁, . . . , v₄).

• Poura= 0 oua= 1, les vecteurs v₃,v₁ etv₄ constituent une base deV ect(v₁, . . . , v₄).

En effet, sia6= 0 eta6= 1, l’´echelonnage montre que le syst`eme zv3+xv1+yv2=v

admet une solution unique pour toutv, ce qui signifie que (v₃, v₁, v₂) est une base deR³. Sia= 0 oua= 1, c’est le syst`eme

zv3+xv1+tv4=v qui admet une solution unique pour toutv.

9 Ind´ ependance lin´ eaire

a. Définition : indépendance linéaire

Soientv₁, . . . , v_k des vecteurs deRⁿ. On dit quev₁, . . . , v_k sontlin´eairement ind´ependantssi dim(V ect(v1, . . . , vk) =k,

i.e. si (v₁, . . . , v_k) est une base du sous-espace qu’il engendre.

Proposition 4 v1, . . . , vk sont linéairement indépendants si et seulement si la seule combinaison linéaireλ1v1+· · ·+λkvk qui vaut0 est celle pour laquelleλ1=· · ·=λk = 0.

Preuve. Soit v ∈ Rⁿ. Considérons le système linéaire x₁v₁ +· · ·+x_kv_k = v. D’après le théorème 6, sont rang est dim(V ect(v₁, . . . , v_k)). D’après le corollaire 3, dim(V ect(v₁, . . . , v_k)) =k si et seulement si la dimension de l’espace des solutions du système homogènex₁v₁+· · ·+x_kv_k= 0 vaut 0, i.e., si et seulement si ce système n’admet que la solution triviale.

b. Exemple

Un vecteurv1 est lin´eairement ind´ependant si et seulement si il est non nul.

Deux vecteursv1et v2sont lin´eairement ind´ependants si et seulement si ils sont non nuls etv2

n’est pas un multiple dev1. Dans ce cas, on parle aussi devecteurs non colin´eaires.

c. Exercice

Soientv1= (1, a,0),v2= (1,1, a),v3= (2,1, a). Pour quelles valeurs deaces vecteurs sont ils lin´eairement ind´ependants ?

d. Solution

Il s’agit de voir quand le rang du syst`emexv1+yv2+zv3= 0, i.e.







x+y+ 2z = 0 ax+y+z = 0 ay+az = 0

(13)

vaut 3. On l’´echelonne en choisissant comme premier pivot le coefficient de x dans la premi`ere

´equation. Il vient







x+y+ 2z = 0 (1−a)y+ (1−2a)z = 0

ay+az = 0

Sia6= 0, on choisit le coefficient dey dans la derni`ere ´equation comme pivot. On obtient







x+y+ 2z = 0

y+z = 0

−az = 0 qui est ´echelonn´e de rang 3.

Sia= 0, le syst`eme







x+y+ 2z = 0

y+z = 0

0 = 0

est ´echelonn´e de rang 2.

On conclut que les vecteursv1,v2etv3sont lin´eairement in d´ependants si et seulement sia6= 0.

10 Op´ erations sur les sous-espaces vectoriels

a. D´efinition : Somme

L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de Rⁿ est un sous-espace vectoriel. La réunion de deux sous-espaces vectoriels deRⁿ n’est pas un sous-espace vectoriel en général. Le plus petit sous-espace vectoriel contenant deux sous-espacesEetF s’appelle lasommedeE etF. Il estnoté E+F et caractérisé par

E+F ={v+w; v∈E, w∈F}.

b. Exemple

Soientv₁= (1,1,0) etv₂= (1, a,0) deux vecteurs deR³dépendant d’un paramètre réela. Soit D₁la droite vectorielle engendrée parv₁etD₂la droite vectorielle engendrée parv₂. Leur somme

D1+D2={λ1v1+λ2v2 ; λ1, λ2∈R}=V ect(v1, v2) est un plan vectoriel sia6= 1, et co¨ıncide avecD1 sia= 1.

Plus g´en´eralement,

Proposition 5 SoientE et F deux sous-espaces vectoriels deRⁿ. Soitv₁, . . . , v_k une base de E etv_k+1, . . . , v_k+` une base deF. AlorsE+F =V ect(v₁, . . . , v_k+`). En particulier, dim(E+F)≤ dim(E) +dim(F).

c. Formule pour la dimension

Th´eor`eme 7 SoientE etF deux sous-espaces vectoriels de Rⁿ. Alors dim(E+F) +dim(E∩F) =dim(E) +dim(F).

Preuve. Soitv1, . . . , vk une base deE etvk+1, . . . , vk+` une base deF. Alors E+F ={v∈Rⁿ ; le syst`emex₁v₁+· · ·+x_k+`v_k+`=v est compatible}.

D’après le théorème 5, dim(E+F) est égal au rang du système.

(14)

Si (x1, . . . , xk+`) est une solution du système homogène associé, alors le vecteur u=x₁v₁+· · ·+x_kv_k=−(xk+1v_k+1+· · ·+x_k+`v_k+`)

est dansE∩F. Pour chaqueu∈E∩F, la solution (x₁, . . . , x_k+`) est unique, car elle est formée des composantes deudans les bases deE etF respectivement. Par conséquent, la dimension de l’espace des solutions est dim(E∩F). D’après le théorème 4,

dim(E∩F) =k+`−dim(E+F).

d. Exemple

Soient P et Q deux plans vectoriels dans l’espace R³. Si P 6= Q, alors P +Q 6= Q donc dim(P +Q)≥3. N´ecessairement, dim(P +Q) = 3. On en d´eduit que dim(P∩Q) = 1, i.e. que l’intersection deP et deQest une droite.

e. D´efinition: somme directe

Deux sous-espaces vectorielsEetFdeRⁿsont ditssuppl´ementaires, ou bienen somme directe, not´eRⁿ=E⊕F, siE+F =Rⁿ etE∩F ={0}.

Proposition 6 E et F sont suppl´ementaires si et seulement si la r´eunion d’une base de E et d’une base deF est une base deRⁿ.

Du théorème 7, il résulte que Corollaire 7

Rⁿ=E⊕F ⇔ E∩F ={0} et dimE+dimF =n.

f. Exemple

Dans le plan, deux droites vectorielles sont suppl´ementaires si et seulement si elles sont dis- tinctes.

Dans l’espace R³, une droiteD et un plan P sont suppl´ementaires si et seulement si D n’est pas contenue dansP.

11 Conclusion

Le rang d’un système linéaire de p équations à n inconnues est inférieur ou égal à p et à n.

Génériquement, il vaut min{n, p}. Cela signifie que les coefficients des systèmes dont le rang est

<min{n, p}satisfont des équations, donc ces systèmes sont rares. De plus, sip≤n, génériquement, le système est compatible.

On s’attend (mais ce n’est pas rigoureusement vrai), à ce que, dans une famille de systèmes linéaires dépendant d’un paramètre réel a, le rang soit min{n, p} sauf pour un nombre fini de valeurs exceptionnelles dea. C’est ce qu’on a observé dans les exemples traités dans ces notes.

Si p≤n, la plupart des systèmes linéaires de péquations à ninconnues ont un ensemble de solutions non vide et de dimensionn−p. Autrement dit, la solution générale dépend den−p paramètres. Accidentellement (lorsque le rang est< p), la dimension de l’espace des solutions peut être plus grande, ou bien l’ensemble des solutions peut-être vide.

Autrement dit, un système linéaire se comporteen généralcomme le dicte l’intuition : il faut au moinsn≥pinconnues pour arriver à satisfairepéquations ; si on dispose d’exactement n=p inconnues, on trouve une solution unique ; si on dispose den > pinconnues, il resten−pdegrés de liberté. Mais il y a des exceptions. La théorie (notion de rang) et la pratique (méthode du pivot de Gauss) ont pour objectif de traiter ces exceptions. Il ne faut pas prendre ces exceptions à la légère : l’expérience quotidienne des ingénieurs est que le traitement des exceptions est indispensable et coûteux.

(15)

12 Application associ´ ee ` a une matrice

Définition 8 A une matrice A à p lignes et n colonnes est associée une application f_A de Rⁿ dansR^p, définie comme suit. Si X =



 x1

... xn



 est un vecteur de Rⁿ,fA(X) =AX est un vecteur deR^p.

Exemple. Considérons le système linéaire de deux équations à trois inconnues (S) =

x+ 2y+z = 1

−x−y+ 2z = 2 . L’application linéaire associéef_S :R³→R² est définie par

f_S(x, y, z) = (x+ 2y+z,−x−y+ 2z).

12.1 Noyau et image

On va donner une sorte d’interprétation géométrique des résultats sur les systèmes linéaires. Pour cela, on introduit deux sous-espaces vectoriels associés àfA.

Définition 9 Le noyaudef_A, notéker(f_A)est le sous-espace vectoriel de Rⁿ défini par ker(f_A) ={X∈Rⁿ;f_A(X) = 0}.

L’image def_A, not´eeima(f_A), est le sous-espace vectoriel deR^p d´efini par ima(fA) ={fA(X) ;X ∈Rⁿ}.

La raison pour laquelle ker(fA) et ima(fA) sont des sous-espace vectoriels est que fA passe au travers des combinaisons lin´eaires : siu,u⁰ sont des vecteurs deRⁿ etλ,µ∈R,

f(λu+µu⁰) =λf(u) +µf(u⁰).

Exemple. Résoudre le système (S) ci-dessus revient à décider si le vecteur (1,2)∈R² est dans l’image defS ou non. Autrement dit,

(S) est compatible ⇔(1,2)∈ima(f_S).

Lorsque c’est le cas,

(S) admet une unique solution ⇔kerf_S ={0}.

12.2 Rang, dimensions du noyau et de l’image

Th´eor`eme 8 SoitA une matrice p×n, soit fA:Rⁿ →R^p l’application correspondante. Alors

• dim(ima(fA))est ´egal au rang deA ;

• dim(ker(f_A)) =n−dim(ima(f_A)).

Preuve. La première assertion est une traduction du théorème 5, la seconde, du corollaire 3.

13 Applications lin´ eaires, formes lin´ eaires, endomorphismes

Les considérations qui précèdent sont des cas particuliers de notions générales.

(16)

13.1 D´ efinition

D´efinition 10 SoientE etF deux espaces vectoriels. Une applicationf :E→F est ditelin´eaire si pour tous vecteursv,v⁰∈E et tous scalairesλ,µ∈R,

f(λu+µu⁰) =λf(u) +µf(u⁰).

Interprétation. Une application est linéaire si elle préserve la structure d’espace vectoriel.

13.2 Exemples

Exemple. SoitE l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. La dérivation f :E→E, f(P) =P⁰

et l’´evaluation en un r´eelt,

g:E→R, g(P) =P(t) sont lin´eaires. Par cons´equent, leur composition

g◦f :E→R, P 7→P⁰(t) est lin´eaire.

Exemple. SoitE=F=R², soit

f :E→E, f(x, y) = (x,0) la projection sur le premier axe (dessin). Soit

g:E→E, f(x, y) = (y, x)

la symétrie par rapport à la première bissectrice (dessin). Alorsf etgsont linéaires, de même que leur sommef +gdéfinie par

(f+g)(x, y) =f(x, y) +g(x, y) = (x+y, x).

Siα∈K est un scalaire, l’applicationαf d´efinie par (αf)(x, y) =αf(x, y) est lin´eaire.

Exemple. L’application

f :R²→R, f(x, y) = (x,1)

n’est pas lin´eaire. En effet,f n’envoie pas le vecteur nul deR² sur le vecteur nul.

Exemple. L’application

f :R²→R, f(x, y) = (x²,0) n’est pas lin´eaire. En effet,f(−1,0) = (1,0)6=−f(1,0).

Exemple. On peut aussi consid´erer des espaces vectoriels sur C. Il n’y a rien a changer aux d´efinitions. SoitE leC-espace vectorielC. La conjugaison

f :C→C, f(z) =z

n’est pas lin´eaire. En effet,f(i) =−i6=i f(1) =i. Pourtant, pour tousz,z⁰∈Cet tousr´eelsλ, µ∈R,

f(λv+µv⁰) =λf(v) +µf(v⁰).

(17)

13.3 Notations

Définition 11 Soient E et F deux espaces vectoriels. On note L(E, F) l’ensemble des applications linéaires de E dansF. LorsqueE =F, une application linéaire de E dansE s’appelle un endomorphismedeE, et onnote L(E, E) =End(E). LorsqueF =R, une application linéaire de E dansRs’appelle uneforme linéaire, et onnote L(E, K) =E^∗.

Exemple. SoitEun espace vectoriel. L’application identiqueidE:E→Eest lin´eaire, c’est un endomorphisme deE.

14 Applications lin´ eaires et sous-espaces vectoriels

14.1 Noyau

Définition 12 SoientE,F deux espaces vectoriels. Soit f ∈L(E, F). Lenoyaudef, notékerf, est le sous-espace vectoriel deE défini par

v∈kerf ⇔f(v) = 0.

Exemple. SoitE l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et f :E→E, f(P) =P⁰

la dérivation. Alors kerf est formé des polynômes constants. Remarquer que le vecteur nul est dans le noyau de toutes les applications linéaires.

Exemple. SoitE=R², soit

f :E→E, f(x, y) = (x,0) la projection sur le premier axe. Soit

g:E→E, f(x, y) = (y, x)

la symétrie par rapport à la première bissectrice. Alors kerf est le second axe. C’est une droite vectorielle. Quant à kerg et ker(f+g), il sont réduits à {0}. Remarquer que déterminer le noyau d’un endomorphisme deR²revient à résoudre un système linéaire homogène de deux équations à deux inconnues.

D´efinition 13 On rappelle qu’une application (quelconque) entre deux ensemblesE et F est in- jectivesi pour toutv∈F, l’´equationf(u) =v admet au plus une solution dansE.

Proposition 14 SoientE,F deux espaces vectoriels sur un corpsK. Soit f ∈L(E, F). Alors f est injective si et seulement sikerf ={0}.

Preuve.

f(u) =f(u⁰)⇒u−u⁰∈kerf.

14.2 Image

Définition 15 SoientE,F deux espaces vectoriels. Soitf ∈L(E, F). L’imagedef, notéeimaf, est le sous-espace vectoriel deF défini par

v∈imaf ⇔ ∃u∈E tel quef(u) =v.

(18)

Exemple. SoitE l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et f :E→E, f(P) =P⁰

la dérivation. Alors imaf =E. En effet, tout polynôme P=a0+a1X+· · ·+adX^d est la dérivée d’un polynômeQ. On peut prendre

Q=a0X+1

2a1X²+· · ·+1 dadX^d. Exemple. SoitE=R², soit

g:E→E, g(x, y) = (y, x)

la symétrie par rapport à la première bissectrice. Alors imaf est le premier axe. C’est une droite vectorielle. Quant à imaget ima(f+g), il sont égaux à R². Dans le cas def+g, montrons le par le calcul. Soit (x⁰, y⁰)∈E. Alors

(x⁰, y⁰)∈ima(f+g) ⇔ ∃x, y∈E tels que (f+g)(x, y) = (x⁰, y⁰)

⇔ ∃x, y∈E tels que (x+y, x) = (x⁰, y⁰) et il suffit de prendrex=y⁰ et y=x⁰−y⁰.

Remarquer que déterminer l’image d’un endomorphisme deR² revient à résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues avec second membre.

D´efinition 16 On rappelle qu’une application (quelconque) entre deux ensemblesE etF estsur- jectivesi pour toutv∈F, l’´equationf(u) =v admet au moins une solution dansE.

Proposition 17 SoientE,F deux espaces vectoriels. Soit f ∈L(E, F). Alorsf est surjective si et seulement siimaf =F.

14.3 Image et image r´ eciproque d’un sous-espace vectoriel

Définition 18 Soient E, F deux espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E, F). Soit E⁰ ⊂ E un sous- espace vectoriel deE. L’image deE⁰ parf, notéef(E⁰), est le sous-espace vectoriel de F défini par

v∈f(E⁰)⇔ ∃u∈E⁰ tel quef(u) =v.

Par exemple,imaf =f(E).

Soit F⁰ ⊂F un sous-espace vectoriel de F. L’image réciproque de F⁰ par f, notéef⁻¹(F⁰), est le sous-espace vectoriel deE défini par

u∈f⁻¹F⁰⇔f(u)∈F⁰. Par exemple,kerf =f⁻¹(0).

g:E→E, g(x, y) = (y, x)

la symétrie par rapport à la première bissectrice. SoitE⁰la droite vectorielle d’équationx+2y= 0.

Un dessin montreg(E⁰) etg⁻¹(E⁰).

(19)

Exemple. SoitE=R³, soit

f :E→E, f(x, y, z) = (y, x+y, z−x).

C’est une application lin´eaire. SoitE⁰ le plan vectoriel d’´equationx+ 2y+z= 0.

Pour d´eterminerf⁻¹(E⁰), il suffit de remarquer que

f(x, y, z)∈E⁰ ⇔ x⁰=y, y⁰=x+yet z⁰ =z−xsatisfontx⁰+ 2y⁰+z⁰ = 0

⇔ y+ 2(x+y) +z−x= 0

⇔ x+ 3y+z= 0 doncf⁻¹(E⁰) est le plan d’´equationx+ 3y+z= 0.

Pour déterminer f(E⁰), on cherche d’abord une base de E⁰ (ici, les vecteurs (−2,1,0) et (−1,0,1)). On en déduit une représentation paramétrique deE⁰

E⁰ ={(−2s−t, s, t) ;s, t∈R}.

On calcule

f(−2s−t, s, t) = (s,−s−t,2s+ 2t).

Etant donn´e (x⁰, y⁰, z⁰)∈E, (x⁰, y⁰, z⁰)∈f(E⁰) si et seulement si il existeset t∈Rtels que







s = x⁰

−s−t = y⁰ 2s+ 2t = z⁰

.

Dans ce système, les inconnues sont sett. Le système est équivalent à







s = x⁰

−t = x⁰+y⁰

0 = z⁰−2x⁰+ 2x⁰+ 2y⁰ .

On conclut quef(E⁰) est le plan d’´equation 2y+z= 0.

14.4 Rang

D´efinition 19 SoientE, F deux espaces vectoriels. Soit f ∈L(E, F). On appelle rang def la dimension de l’image def.

g:E→E, g(x, y) = (y, x)

la symétrie par rapport à la première bissectrice. Alors le rang def vaut 1, celui deg vaut 2.

Remarque. En g´en´eral,

• rang(f)≤dimF avec ´egalit´e si et seulement si ima(f) =F ;

• rang(f)≤dimE avec ´egalit´e si et seulement si kerf ={0} ;

• rang(f) ne vaut 0 que pour l’application identiquement nulle.

(20)

14.5 Applications lin´ eaires et bases

Th´eor`eme 9 SoientE etF des espaces vectoriels. Soit (e1,· · ·, en) une base de E et v1,· · ·, vn

des vecteurs deF. Il existe une unique application lin´eairef :E →F telle que f(e1) =v1, · · · f(en) =vn.

Interpr´etation. On peut choisir librement l’image d’une base.

Corollaire 20 SoientE etF des espaces vectoriels. Soitf ∈L(E, F). Soit(e1, . . . , en)une base deE. Alors

• f est injective si et seulement si f(e₁), . . . , f(e_n)sont lin´eairement ind´ependants.

• f est surjective si et seulement si f(e₁), . . . , f(e_n)engendrent F.

• f est bijective si et seulement si (f(e₁), . . . , f(e_n))est une base deF. Interpr´etation. On voit tout sur l’image d’une base.

Exemple. SoitE=F=R², soit

f :E→E, f(x, y) = (x+y,2x−y).

L’image de la base canonique est form´ee de deux vecteurs (1,2) et (1−,1) non colin´eaires. Il forment une base deE, doncf est bijective.

15 Th´ eor` eme noyau-image

Th´eor`eme 10 SoientEetF des espaces vectoriels, avecEde dimension finie. Soitf ∈L(E, F).

Alors

dimkerf+ dimimaf = dimE.

Interprétation. Si on connaˆıt le rang, on connaˆıt la dimension du noyau, et inversement. Cela généralise le theorème 8.

Corollaire 21 SoientE etF des espaces vectoriels de même dimension. Soitf ∈L(E, F). Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.

• f est injective.

• f est surjective.

• f est bijective.

• kerf ={0}.

• imaf =F.

Dans ce cas, l’applicationf⁻¹:F →E d´efinie par

f⁻¹(v) =u⇔f(u) =v est lin´eaire.

Interprétation. L’unicité de la solution d’une équation garantit son existence.

(21)

16 Matrice d’une application lin´ eaire

D´efinition 22 SoientE etF deux espaces vectoriels de dimensions finiesnetp. SoientB etB⁰ des bases deE etF. Soitf ∈L(E, F). La matrice dont les colonnes sont les composantes dans la baseB⁰ des images par f des vecteurs deB s’appelle la matrice def dans les basesB et B⁰. Elle poss`ede plignes etncolonnes.

Lorsque F =E etB⁰ =B(i.e. dans le cas d’un endomorphisme de E), on parle de la matrice def dans la baseB.

Interpr´etation. Une fois choisies des bases, toute application lin´eaire est de la formefA.

Exemple. SoitEl’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, degré≤n−1. On notef la dérivation

f :E→E, f(P) =P⁰ etg l’´evaluation en un r´eel t,

g:E→R, g(P) =P(t).

On choisit pourE la baseB= (1, X, X², . . . , Xⁿ⁻¹). On choisit pourRla baseB⁰ = (1).

On calculef(1) = 0,f(X) = 1,...,f(Xⁿ⁻¹) = (n−1)Xⁿ⁻². D’o`u la matrice

Mf =







0 1 0 · · · 0 ... 0 2 . .. ... ... . .. . .. 0 ... . .. n−1 0 · · · 0





 .

On calculeg(1) = 1,g(X) =t,...,g(Xⁿ⁻¹) =tⁿ⁻¹ d’o`u la matrice M_g= 1 t t² · · · tⁿ⁻¹

.

16.1 Ecriture matricielle d’une application lin´ eaire

Proposition 23 Soient E etF deux espaces vectoriels de dimensions finiesn et psur un corps K. Soient B et B⁰ des bases de E etF. Soitf ∈L(E, F), de matrice M dans les bases B etB⁰. Soituun vecteur deE, soit X la colonne de ses composantes dans la base B. Alors la colonneY des composantes def(u)dans la baseB⁰ est donn´e par le produit de matrices

Y =M X.

Interprétation. On peut se donner une application linéaire par sa matrice dans des bases, et calculer mécaniquement l’image d’un vecteur.

Exemple. Soit f l’unique application lin´eaire de R² dans R³ qui envoie (1,0) sur (1,2,1) et (0,1) sur (−1,1,−1). Alors

f(x, y) =xf(1,0) +yf(0,1) = (x−y,2x+y, x−y), ce qu’on retrouve avec la matrice dans les bases canoniques,



 x−y 2x+y

x−y



=



 1 −1

2 1

1 −1



 x

y

.

(22)

17 Multiplication

17.1 Composition et produit

Th´eor`eme 11 Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimensions finies n, p et q. Soient B,B⁰ et B⁰⁰ des bases de E,F etG. Soitf ∈L(E, F), de matriceMf dans les basesB et B⁰, et g∈L(F, G), de matrice Mg dans les bases B⁰ etB⁰⁰. Alors la matrice deg◦f dans les basesB et B⁰⁰ est le produitMgMf.

Interprétation. La composition de deux applications linéaires se calcule mécaniquement une fois qu’on dispose des matrices.

Remarque. L’espaceM(n, n) des matrices carr´eesn×nest muni d’une structure d’anneau, i.e.

de deux lois, l’addition et la multiplication, qui satisfont l’axiome dedistributivit´e: (M+M⁰)M⁰⁰=M M⁰+M M⁰⁰.

Par conséquent, on peut, dans une certaine mesure, manipuler des matrices comme si c’étaient des nombres. Par exemple, siP est un polynôme à coefficients réels, etM une matrice carrée, on peut parler de la matriceP(M).

Exemple. Si P= 2 + 3X−X²+¹₂X³,

P(M) = 2I_n+ 3M+ 3M²+1 2M³.

17.2 Matrices inversibles

D´efinition 24 Une matrice carr´ee M est dite inversible s’il existe une matrice M⁰ telle que M M⁰ = M⁰M = In. La matrice M⁰ est unique, et s’appelle la matrice inverse de M et se noteM⁻¹.

Th´eor`eme 12 Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soit B une base de E. Soit f ∈ End(E). SoitMf la matrice def dans la baseB. Alorsf est bijective si et seulement siMf est inversible. Dans ce cas,M_f⁻¹ est la matrice dans la baseB def⁻¹.

Interprétation. L’application réciproque se calcule mécaniquement à partir de la matrice.

Remarque. Le procédé de calcul de l’inverse par la méthode du pivot est une fa¸con abrégée de rechercher l’application réciproque.

Exemple. Inversion de la matrice





1 2 −1

1 0 1

2 2 −1



.

Voici les ´etapes interm´ediaires.

1 2 −1 | 1 0 0

1 0 1 | 0 1 0

2 2 −1 | 0 0 1

,

1 2 −1 | 1 0 0

0 −2 2 | −1 1 0

0 −2 1 | −2 0 1

,

1 2 −1 | 1 0 0

0 −2 2 | −1 1 0

0 0 −1 | −1 −1 1

,

1 2 0 | 2 1 −1

0 −2 0 | −3 −1 2

0 0 −1 | −1 −1 1

,

1 0 0 | −1 0 1

0 −2 0 | −3 −1 2

0 0 −1 | −1 −1 1

,

1 0 0 | −1 0 1

0 1 0 | −3/2 1/2 −1

0 0 1 | 1 1 −1

.

(23)

18 Rang

Th´eor`eme 13 SoientE etF deux espaces vectoriels de dimensions finiesnetpsur un corpsK.

SoientB etB⁰ des bases deE etF. Soitf ∈L(E, F), de matriceM dans les basesBetB⁰. Alors le rang def est ´egal

• au rang deM, i.e. `a la dimension de l’espace vectoriel de R^p engendr´e par les colonnes de M ;

• au rang du système linéaire homogène M X = 0.

Exemple. Soit E l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré ≤ 3 et soit f l’endomorphisme deE défini par

f(P) = (X−1)P⁰−P.

Pour calculer le rang def, on calcule d’abord la matrice de f dans la base (1, X, X²). Comme f(1) =−1,f(X) =−1,f(X²) =−2X+X²,f(X³) =−3X²+ 2X³, la matrice def est

M =







−1 −1 0 0

0 0 −2 0

0 0 1 −3

0 0 0 2





 .

Le syst`emeM X = 0 est de rang 3 doncf est de rang 3.

19 Changement de base

Définition 25 Soient B et B⁰ deux bases d’un même espace vectoriel E de dimension finie. La matrice de passagedeBversB⁰,notéePB,B⁰, est la matrice dont les colonnes sont les composantes dans la baseBdes vecteurs de B⁰.

Th´eor`eme 14 SoientE etF deux espaces vectoriels de dimensions finiesnetpsur un corpsK.

SoientB etB⁰ des bases de E, soientB⁰⁰ et B⁰⁰⁰ des bases deF. Soitf ∈L(E, F), de matriceM dans les basesB etB⁰⁰. Alors la matrice def dans les bases B⁰ et B⁰⁰⁰ est

PB⁰⁰⁰,B⁰⁰M PB,B⁰.

En particulier, sif ∈End(E)a pour matriceM dans la baseBet M⁰ dans la baseB⁰, alors M⁰=P⁻¹M P

o`u P est la matrice de passage deB versB⁰.

Exemple. SoitBla base canonique deR³. Posonse⁰₁= (1,1,2),e⁰₂= (2,0,2) ete⁰₃= (−1,1,−1).

Soitf l’endomorphisme de R³donn´e par

f(x, y, z) = (x−y,2y+z, x−y).

Alors la matrice def dans la base (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃) est





−1 0 1

−3/2 1/2 −1

1 1 −1









1 −1 0

0 2 1

1 −1 0









1 2 −1

1 0 1

2 2 −1



=





0 0 0

2 2 −1/2

4 2 1



.

On peut v´erifier que

f(e⁰₁) = 2e⁰₂+ 4e⁰₃, f(e⁰₂) = 2e⁰₂+ 2e⁰₃, f(e⁰₃) =−1

2e⁰₂+e⁰₃.

Remarque. Une conséquence de ce théorème (qu’on vérifie aussi directement), est que pour tout entierk≥1, (P M P⁻¹)^k=P M^kP⁻¹.

(24)

NFIO2/S3SMPE 2004/2005 Remise `a niveau, septembre 2004

Feuille d’exercices

1. Suivant la valeur du paramètre réela, déterminer le rang, décider si l’ensemble des solutions du système (Sa) ci-dessous est non vide, et lorsque que c’est le cas, donner sa dimension.

(Sa)







x+ 2y−3z = 3 (1−a)y−z = −1

az = a(a−1) 2. Echelonner le syst`eme suivant







y+z = 1 x+y = 2 x+z = 3

.

3. Echelonner le syst`eme suivant, en fonction du param`etrea.

(S_a)

4ax+ (a+ 1)y+az = −1 (a+ 1)x+y+ (1−a)z = −1 .

4. Chercher l’intersection des plans affines P d’équation x+ 2y −3z = 2 et P⁰ d’équation 2x−y+z= 3. On en donnera une représentation paramétrique.

5. Soitaun paramètre réel. Déterminer l’intersection des trois plans affinesP d’équationax+ y−3z= 3,Qd’équation−ax−ay+ 2z=−4 etRd’équationa²x+ay= 3a².

6. D´eterminer le rang du syst`eme

(S_a)







(a+a²)x+ (−a+ 2a²)y+az+ (−1 +a−a³)t = a ax+ (−1 + 2a)y+z−a²t = 1 (−1 +a)x+ay+z+ (−1 +a²)t = 1 +a

.

7. Soita un paramètre réel. Soient v1 = (1,0,−1,1), v2= (0,1,1,−2) et v3 = (1 +a,1,0,−1) trois vecteurs deR⁴. Donner des équations pour le sous-espaceV ect(v1, v2, v3).

8. Considérons les quatre vecteurs suivants deR³, dépendant d’un paramètre réel a.

v₁=



 a+a²

a

−1 +a



, v₂=





−a+ 2a²

−1 + 2a a



, v₃=



 a 1 1



, v₄=





−1 +a−a²

−a²

−1 +a²



.

D´eterminer le rang de la famillev₁, . . . , v₄, et en extraire une base du sous-espace qu’ils engendrent.

9. Soient v1 = (1, a,0), v2= (1,1, a),v3= (2,1, a). Pour quelles valeurs deaces vecteurs sont ils lin´eairement ind´ependants ?