Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚19
Questions de cours
Question n˚ 1 :Soitθ∈]−π, π] fix´e. R´esolution du syst`eme lin´eaire
x + y = cos(θ)
cos(θ)x + sin(θ)y = sin2(θ)
d’inconnue (x, y) ∈ R2 et interpr´etation g´eom´etrique de l’ensemble solution.
Question n˚ 2 : D´efinition du produit matriciel ; d´efinition d’une matrice triangulaire sup´erieure ;Tn(K) est stable par multiplication (preuve).
Question n˚3 :Structure de l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire (´enonc´e et preuve) ; d´efinition d’une matrice carr´ee inversible ; r´esultats sur le produit de deux matrices inversibles (´enonc´e et preuve).
Question n˚ 4 : Th´eor`eme fondamental sur la caract´erisation des matrices inversibles (´enonc´e et preuves de (1)⇒(3) et (1)⇔(2)).
Question n˚ 5 :Etude de l’inversibilit´e et calcul de´ l’inverse ´eventuelle de la matriceA=
1 2 2
−1 2 1
1 3 2
par la m´ethode du pivot de Gauß, en justifiant la d´emarche avec des matrices ´el´ementaires.
Chap. 6 − Syst` emes lin´ eaires
• D´efinitions d’une ´equation lin´eaire (resp. d’un syst`eme lin´eaire) et de son ensemble solution ; interpr´etation g´eom´etrique si le nombre d’incon- nues est 2 ou 3.
• D´efinition d’un syst`eme lin´eaire homog`ene ; un syst`eme lin´eaire homog`ene poss`ede toujours une solution : (0, . . . ,0).
• D´efinitions de la matrice et de la matrice aug- ment´ee associ´ees `a un syst`eme lin´eaire.
• D´efinition des op´erations ´el´ementaires sur les lignes d’un syst`eme lin´eaire.
• D´efinition d’un syst`eme lin´eaire ´equivalent `a un autre (notation ∼) ; la relation ∼ entre syst`emes lin´eaires de mˆeme format est une re- lation d’´equivalence ; deux syst`emes lin´eaires
´equivalents poss`edent le mˆeme ensemble solu- tion.
• D´efinition des op´erations ´el´ementaires sur les lignes d’une matrice.
• D´efinition d’une matrice (resp. matrice aug- ment´ee) ´equivalente par lignes `a une autre (no- tation ∼
L) ; la relation ∼
L entre matrices (resp.
matrices augment´ees) d’un format donn´e est une relation d’´equivalence.
• Justification de la pr´esentation matricielle des r´esolutions de syst`emes lin´eaires.
• D´efinitions d’une matrice ´echelonn´ee par lignes et d’un pivot d’une telle ; d´efinition d’une ma- trice ´echelonn´ee par lignes r´eduite.
• Th´eor`eme de Gauß-Jordan : toute matrice est
´equivalente `a une unique matrice ´echelonn´ee par lignes r´eduite.
• D´efinitions des notions d’inconnues principales et de param`etres pour un syst`eme lin´eaire dont la matrice associ´ee est ´echelonn´ee et r´eduite.
• Structure de l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire.
• D´efinition et propri´et´es du rang d’un syst`eme lin´eaire.
Chap. 7 − Matrices
• D´efinitions d’une matrice, d’un vecteur ligne, d’un vecteur colonne.
• D´efinition de l’ensembleMn,p(K).
• D´efinition de l’addition de deux matrices de mˆeme format ; d´efinition de la multiplication d’une matrice par un scalaire ; structure de K- espace vectoriel sur Mn,p(K).
• D´efinitions d’une combinaison lin´eaire d’un nombre fini de matrices de mˆeme format.
• D´efinition et propri´et´es du produit matriciel.
• Ecriture matricielle d’un syst`eme lin´eaire.´
• D´efinition de l’ensemble Mn(K) ; structure de K-alg`ebre surMn(K).
• D´efinition et propri´et´es de la matrice identit´eIn
deMn(K).
• D´efinition des puissances d’une matrice carr´ee ; formule du binˆome de Newton pour deux ma- trices carr´ees qui commutent.
• D´efinitions d’une matrice diagonale (resp. trian- gulaire sup´erieure) ; d´efinition et propri´et´es de l’ensembleDn(K) (resp.Tn(K)).
• D´efinition d’une matrice de permutation (resp.
de dilatation, de transvection) ; d´efinition d’une matrice ´el´ementaire.
• Multiplication d’une matrice A par une ma- trice ´el´ementaire `a gauche versus op´erations
´el´ementaires sur les lignes deA.
• Traduction matricielle de la relation d’´equivalence∼
L entre matrices de formatn×p
`
a coefficients dansK; traduction matricielle du th´eor`eme de Gauß-Jordan.
• D´efinitions d’une matrice carr´ee inversible et de l’ensemble GLn(K) ; stabilit´e de GLn(K) par passage `a l’inverse (resp. par multiplication) et formule pour l’inverse de l’inverse d’une ma- trice inversible (resp. pour l’inverse d’un produit d’inversibles).
• Inversibilit´e et inverse d’une matrice de per- mutation (resp. de dilatation, de transvection) ; toute matrice ´el´ementaire est inversible.
• Th´eor`eme fondamental sur la caract´erisation des matrices inversibles.
• Etude de l’inversibilit´e et calcul de l’inverse´
´eventuelle d’une matrice en utilisant la m´ethode du pivot de Gauß.
