Sur une formule relative au calcul inverse des différences

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. P ^ROUHET

Sur une formule relative au calcul inverse des différences

Nouvelles annales de mathématiques 1^resérie, tome 10 (1851), p. 186-191

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SUR UNE FORMULE RELATIVE JUl CALCUL (PERSE BES DIFFÉRENCES;

PAR M. E. PROUHET

1. Soit f (x) une fonction algébrique et entière5 supposons que Ton substitue à la variable n valeurs en progression arithmétique, depuis x = a jusqu'à x = a-\-{n— i)h : la somme des résultats sera une fonction de n que je désignerai par <jp(rc). Nous aurons donc

+ n-ih).

Posous de même

(a) + («)=/*(

11 en résultera

(3) f

Mais (f (n) est, comme Ton sait, une fonction algébrique et entière de n : de sorte que l'égalité ( 3 ), qui a lieu pour une infinité de valeurs de n, puisqu'elle est vraie toutes les fois que n est entier, doit être identique. Nous pour- rons donc la différentier par rapport à n, ce qui nous donnera

</(« 4- i) — ?'(/?J =r hf'[a \-nh)^

(- ««7 ) et, en comparant avec ( 4 ) ,

(6) ?' ( J H - I ) _ y ' ^ ) — ^ (* + ,)

Si maintenant nous changeons successivement, dan»

cette égalité, n en « + i , i i + a , . . . , « - + - # , et que nous ajoutions les résultats, nous aurons

ou bien

(

) *'(*)-*+(«) = * > + *)-*+(*-M).

Le premier membre de cette égalité est indépendant de A : il doit donc en être de même du second, mais ce der- nier est une fonction symétrique de n et de h, et ne peut être indépendant de h sans l'être de n. 11 se réduit donc à une constante, et Ton a simplement

ou, suivant les notations usitées,

(F) ±îf(*)=L**f{x) + c.

C'est la formule que nous voulions établir.

2. On tire de ( F ) , en intégrant,

(I) 2 ƒ (*) = ±xjïf' (x).dn -+- en,

et il n'y a pas d'autre constante à ajouter, puisque le pre- mier membre doit s'annuler pour n = o.

On voit, par là, que S / ( x ) se ramène à S /7 (x) ; de même 2 / ' (x) se ramène à 2 f" (x), et ainsi de suite.

3. Supposons que ƒ (x) soit du degré m \ ajors ƒ^m (x) sera une constante A, et Ton aura tout d'abord

d'où l'on tire successivement, en appliquant la formule (1 ),

, / - ( , ) ⁼ _ ^{2 X}

B'

Bi, B^t, . . . , B^m, désignent des constantes dont on dé- terminera successivement la valeur, à chaque intégration, en faisant n = i.

4. Proposons-nous maintenant de trouver la somme S^m des mlemet puissances de n nombres en progression arith- métique. On sait que le procédé ordinaire consiste à ex- primer S^m en fonctions de S^m_i, S^m__² ? etc. ; mais on n'ar- rive ainsi au but qu'à l'aide de substitutions pénibles, et la complication du calcul croit rapidement avec m. Les formules (F) et (I) vont, au contraire, nous fournir un procédé d'une extrême simplicité.

Dans le cas particulier dont il s'agit, on a ƒ (x) = x"\

j ' (x) = mx^m-~^l, et les formules (F) et (I) deviennent ( F ) S'^m=mhS^m^ + B^mi

( T ) S» = mh ƒ S^m_, dn-\-n B^m.

Comme on connaît So = n, on aura, d'après ( I ' ) , Stz=hfndn-+- «B, = 1 «,

2 2

en déterminant la constante B^t par la condition que le , second membre se réduise à a pour n = t. On passera

la même facilité à S^s, S³, etc.

Par exemple, si l'on veut avoir les sommes des puis-

sances semblables des termes de la suite naturelle, <m fera a = 1³ A = i , et l'on obtiendra sans peine les résul- tats suivants :

Sa

s, s, s, s,

s

s

8

s, s,

c

= 7 2 , 72*

2 723

72*

=

î

72&

^5" + 72e

~" "6

7/

" 8" + 729

"" 9 ^

7/l ü

I O 72H

° II ' 12

n

—t 2

2 723

2 72*

i

2 726

2 72'

2 h rf

2

2 7210

h

2 72"

2

S'

72'

4'

723

3" ""

5T?4

1 2

nb

2 7 726

1 2 2727

T ~

5 T ?

4

"F ~

I I 7 21 0

1 2

n n*

1 2 ' 723

7«'

i4

7725

75

1 0

72

1 1 7 2 *

B

72

+

P'

722

1 2 2 723

72*

2

- + - 721"

1 I I «6 72

"" 3^'

— —\20 '

723

2

—— —i

8 H

5n

"SB'

5«^J

1 2

etc

5. La formule démontrée au commencement de cet article n'est pas nouvelle * elle coïncide avec la suivante, citée par Lacroix (*),

dlu ^1 du

\* ) Traité des diffeiences et des séries, page 93.

lorsqu'on y fait A.r — i , w = x e t que l'on comprend la constante dans le symbole \ * ; mais la conséquence immé- diate à laquelle elle conduit, lorsqu'il s'agit d'une fonc- tion algébrique et entière, ne paraît pas avoir été re- marquée.

Au reste, Futilité de cette formule n'est pas bornée aux seules fonctions algébriques -, elle permet encore de rame- ner à un problème de calcul intégral ordinaire la somma- tion d'une classe très-étendue de fonctions transcendantes.

C'est ce que nous allons montrer en commençant par quelques cas particuliers.

i°. Soient

la formule donne immédiatement dy

équation différentielle du premier ordre qui ramène 2 u e^{a r} h Hu'e^a*. Si donc u est une fonction algébrique et entière de x, alors y dépendra, en dernière analyse, d'une équation de la forme

——dx~~az~âr C' qui s'intègre immédiatement.

2°. Soient

y = 2a sinbjCj z = lu cosbx,

on aura, en différentiant deux fois de suite, dy

et, en posant \ = bzx -4-y\ -h ct

équation du second ordre qui ramène Husinbx à Sa' sin bxet Sa' cos bx. On pourra donc trouver Su sin bx, par une suite de réductions, quand u sera une fonction algébrique et entière de x.

3°. Soient

y = 2 u e?x sin bx, z =t 2 u <?* cos bx,

on aura

dy —

L'élimination de 2 entre ces deux équations donnera une équation du second ordre et fera dépendre y de yx

et de zx. Il sera donc possible d'obtenir les intégrales de- mandées , si u est une fonction algébrique et entière de x.

En résumé, le rapprochement des trois résultats qui précèdent montre qu'on pourra trouver

1 f ( x, sin b&\ cos bx, tax),

lorsque la fonction ƒ sera algébrique et entière.

Toutes ces applications de la formule --7— = V T--7— = V T ont peut-être été déjà faites; mais comme elles ne se trouvent pas même indiquées dans le grand Traité de Lacroix, et à plus forte raison dans les Traités élémen- taires, j'ai pensé qu'il n'était pas inutile d'en dire ici quelques mots.