F ONCTION L OGARITHME N EPERIEN

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F ONCTION L OGARITHME N EPERIEN

I) FONCTION EXPONENTIELLE

La fonction Exponentielle est une des fonctions mathématiques les plus importantes. Elle est en effet présente dans toutes les sciences. Sa construction à partir d’une équation différentielle (équation où intervient la dérivée d’une fonction) est passionnante (si si je vous assure…), bien qu’historiquement elle soit construite après la FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.

EXERCICE

𝑓 est la fonction définie sur ℝ par :

𝑓(𝑥) =2 𝑒^𝑥− 3 𝑒^𝑥+ 1

1) Pourquoi les droites 𝑑 et ∆ d’équations respectives 𝑦 = 2 et 𝑦 = −3 sont-elles asymptotes à

C

^f^?

2) Calculer 𝑓′(𝑥) puis étudier les variations de 𝑓.

3) Tracer 𝑑, ∆ et

C

^f^.

II) FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

La création de la FONCTION LOGARITHME NEPERIEN est, à l’origine, antérieure à la fonction exponentielle bien que dans notre progression elle suive l’étude de la fonction exponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII^ème siècle. Ce drapier, John Napier (1550 – 1617) qui a été francisé en Néper, cherche une fonction pour simplifier les longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée en 1584 alors une fonction qui transforme le produit en somme. C’est à dire que 𝒇 (𝒂 𝒃) = 𝒇 (𝒂) + 𝒇 (𝒃). Il a ensuite passé trente ans de sa vie (donc en 1614) à créer une table dite « de logarithmes » qui permettait d’effectuer les conversions nécessaires.

Mais nous allons définir cette fonction logarithme à partir de la fonction exponentielle : c’est une belle transition.

1) Définition

REMARQUE

• Cette fonction existe bien car la fonction exponentielle est une fonction continue, strictement croissante à valeurs dans ]0 ; +∞[, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 𝑥 = 𝑒^𝑦 d’inconnue 𝑦 avec 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[ admet une unique solution que l’on appelle ln 𝑥.

• La fonction ln est continue sur ]𝟎 ; +∞[.

On appelle FONCTION LOGARITHME NEPERIEN notée 𝑙𝑛, la fonction définie de ]0 ; +∞[ sur ℝ telle que : 𝒙 = 𝒆^𝒚 ⟺ 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒙

On dit que la fonction ln est la FONCTION RECIPROQUE de la fonction exponentielle.

DEFINITION

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• On a les relations suivantes : 𝐥𝐧 𝟏 = 𝟎 𝒆𝒕 𝐥𝐧 𝐞 = 𝟏.

• ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝐥𝐧 𝒆^𝒙= 𝒙.

• ∀ 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[, 𝒆^{ln 𝑥} = 𝒙.

2) Représentation

DEMONSTRATION

On note

C

^ln^et

C

^exp les courbes respectives des fonctions logarithme népérien et exponentielle.

Soit 𝑀(𝑥 ; 𝑦) un point de

C

^ln avec 𝑥 ∈ ]0 ; +∞[, et 𝑦 ∈ ℝ, donc 𝑦 = ln 𝑥.

On a alors 𝑥 = 𝑒^𝑦 donc le point 𝑀^′(𝑦 ; 𝑥) est un point de

C

^exp^.

Les courbes

C

^ln^et

C

^exp sont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d’équation 𝑦 = 𝑥.

ATTENTION AUX ENSEMBLES de DEFINITION !!!!!

Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥.

THEOREME

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3

3) Variation de la fonction logarithme népérien

DEMONSTRATION

PROPRIETES

REMARQUE

• Ces différentes propriétés permettent de résoudre les équations et inéquations.

• Il est impératif de chercher les conditions d’existence des solutions.

EXEMPLES

Résoudre chacune des équations et inéquations suivantes :

• (𝐸₁) ∶ ln(2𝑥 + 3) = ln 𝑥

• (𝐸₂) ∶ 2 ln 𝑥 + 1 = 7

• (𝐸₃) ∶ 3𝑒^𝑥+ 2 = 8

• (𝐼₁) ∶ 5 ln 𝑥 < 10

• (𝐼₂) ∶ 5 − 2 ln 𝑥 ≥ −1

• (𝐼₃) ∶ 𝑒^𝑥−3 > 5 4) Relation fonctionnelle

DEMONSTRATION

REMARQUE ET EXEMPLE

• On aurait pu définir la fonction logarithme népérien avec cette relation fonctionnelle…

•Un exemple intéressant : ln 2 + ln 3 = ln 6 Pour tous réels strictement positifs 𝑎 𝑒𝑡 𝑏, on a :

𝐥𝐧(𝒂 𝒃) = 𝐥𝐧 𝒂 + 𝐥𝐧 𝒃

La fonction ln est strictement croissante sur ℝ+∗.

Soient 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 deux réels strictement positifs, on a :

• 𝐥𝐧 𝒂 = 𝐥𝐧 𝒃 ⟺ 𝒂 = 𝒃 • 𝐥𝐧 𝒂 < 𝐥𝐧 𝒃 ⟺ 𝒂 < 𝒃

• 𝐥𝐧 𝒂 = 𝟎 ⟺ 𝒂 = 𝟏 • 𝐥𝐧 𝒂 < 𝟎 ⟺ 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 • 𝐥𝐧 𝒂 > 𝟎 ⟺ 𝒂 > 𝟏

THEOREME

PROPRIETES

(4)

4 DEMONSTRATION

• 𝐥𝐧𝒂

𝒃= 𝐥𝐧 𝒂 − 𝐥𝐧 𝒃

On revient aux propriétés de l’exponentielle.

On a 𝑒^ln^𝑎^𝑏 =𝑎

𝑏 et 𝑒^{ln 𝑎−ln 𝑏} = (𝑒^{ln 𝑎} 𝑒^{ln 𝑏}) =𝑎

𝑏 𝑑^′𝑜ù 𝐥𝐧𝒂

𝒃= 𝐥𝐧 𝒂 − 𝐥𝐧 𝒃

• 𝐥𝐧 (𝟏

𝒃) = − 𝐥𝐧 𝒃

On prend 𝑎 = 1 avec la première propriété.

• 𝐥𝐧 𝒂^𝒏= 𝒏 𝐥𝐧 𝒂 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒏 ∈ ℕ

On la démontre par récurrence à l’aide du produit.

• 𝐥𝐧 √𝒂 =𝟏 𝟐 𝐥𝐧 𝒂

𝑎 = √𝑎 × √𝑎 donc d’après la propriété du produit, on a : ln 𝑎 = ln √𝑎 + ln √𝑎 = 2 ln √𝑎 d^′où ln √𝑎 =1

2ln 𝑎.

EXERCICES

• Exprimer ln 50 en fonction de ln 2 𝑒𝑡 ln 5

On a 50 = 2 × 5² donc ln 50 = ln 2 + 2 ln 5

• Exprimer ln √12 en fonction de ln 2 et ln 3

On a ln √12 =1

2 ln 12 et 12 = 2²× 3 donc ln √12 = 2 ln 2 + ln 3

• Déterminer le plus petit entier 𝑛 tel que 2^𝑛 > 10 000

ln 2^𝑛> ln 10⁴ 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑛 ln 2 > 4 ln 10 𝑑^′𝑜ù 𝑛 >4 ln 10

ln 2 𝑜𝑟 4 ln 10

ln 2 ≈ 13,29 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑛 ≥ 14

• Résoudre l’équation

Les conditions d’existence sont :

Pour tous réels strictement positifs 𝑎 𝑒𝑡 𝑏, on a : • 𝐥𝐧𝒂

𝒃= 𝐥𝐧 𝒂 − 𝐥𝐧 𝒃 • 𝐥𝐧 𝒂^𝒏= 𝒏 𝐥𝐧 𝒂 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒏 ∈ ℕ • 𝐥𝐧 (𝟏

𝒃) = − 𝐥𝐧 𝒃 • 𝐥𝐧 √𝒂 =𝟏 𝟐 𝐥𝐧 𝒂

ln √2 𝑥 − 3 = ln(6 − 𝑥) −1 2 ln 𝑥 AUTRES PROPRIETES

(5)

5 {

2𝑥 − 3 > 0 6 − 𝑥 > 0

𝑥 > 0

⟺ {𝑥 >3 𝑥 < 62 𝑥 > 0

𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐷_𝑓 = ]3 2 ; 6[

On a alors : 1

2 [ln(2𝑥 − 3) + ln 𝑥] = ln(6 − 𝑥) → ln 𝑥 (2𝑥 − 3) = 2 ln(6 − 𝑥) → ln 𝑥 (2𝑥 − 3) = ln(6 − 𝑥)² D’où 𝑥 ∈ 𝐷_𝑓 et 𝑥(2𝑥 − 3) = (6 − 𝑥)² 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑥²+ 9𝑥 − 36 = 0

Cette équation admet deux solutions qui sont 3 𝑒𝑡 − 12, or −12 ∉ 𝐷_𝑓 donc 𝑆 = {3}

5) Etude de la fonction logarithme népérien A) DERIVEE

DEMONSTRATION

La fonction ln est continue sur ]0 ; +∞[.

On utilise la définition de la dérivée, on doit donc chercher pour quelles valeurs de 𝑎 ∈ ]0 ; +∞[ la limite suivante est finie :

𝑥→𝑎lim

ln 𝑥 − ln 𝑎 𝑥 − 𝑎

On doit faire un changement de variable : on pose 𝑋 = ln 𝑥 et 𝐴 = ln 𝑎. On en déduit alors que 𝑥 = 𝑒^𝑋 et 𝑎 = 𝑒^𝐴 et si 𝑥 → 𝑎, puisque la fonction ln est continue sur ]0 ; +∞[, alors 𝑋 → ln 𝑎.

On doit donc trouver la limite de :

𝑋→ln 𝑎lim

𝑋 − 𝐴 𝑒^𝑋− 𝑒^𝐴 Or la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ donc

𝑋→ln 𝑎lim

𝑒^𝑋− 𝑒^𝐴

𝑋 − 𝐴 = 𝑒^{ln 𝑎}= 𝑎

Or cette limite est strictement positive pour 𝑎 ∈ ]0 ; +∞[. On en déduit que la limite existe pour tout 𝑎 ∈ ]0 ; +∞[ et

𝑋→ln 𝑎lim

𝑋 − 𝐴 𝑒^𝑋− 𝑒^𝐴= 1

𝑎 Donc la fonction ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ et

(ln 𝑥)^′ =1 𝑥

La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]𝟎 ; +∞[ et :

(𝐥𝐧 𝒙)^′ =𝟏 𝒙 THEOREME

(6)

6 EXERCICES

a) Étudier les variations de la fonction 𝑓 définie sur ]0 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) =ln 𝑥

𝑥 . b) Justifier que pour tout 𝑥 ∈ ]3 ; +∞[, on a

2𝑥 𝑥 − 3> 0.

Étudier les variations de la fonction 𝑔 définie sur ]3 ; +∞[ par : 𝑔(𝑥) = ln ( 2𝑥

𝑥 − 3).

B) LIMITES

DEMONSTRATION

• En +∞ : on revient à la définition.

Pour tout 𝑀 > 0, si ln 𝑥 > 𝑀 alors, puisque la fonction exponentielle est croissante sur ℝ, 𝑥 > 𝑒^𝑀. Il existe donc un réel 𝐴 = 𝑒^𝑀 tel que si 𝑥 > 𝐴 alors ln 𝑥 > 𝑀.

Donc 𝐥𝐢𝐦

𝒙→+∞𝐥𝐧 𝒙 = +∞

• En 0⁺ : on fait un changement de variable : on pose 𝑋 = 1 𝑥 Donc si 𝑥 → 0⁺ alors 𝑋 → +∞, et on a alors : lim𝑥→0

𝑥>0

ln 𝑥 = lim

𝑋→+∞ln1

𝑋 or ln1

𝑋= − ln 𝑋 et lim

𝑋→+∞− ln 𝑋 = −∞ 𝐃𝐨𝐧𝐜 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎 𝒙>𝟎

𝐥𝐧 𝒙 = −∞

On a les limites suivantes :

𝒙→+∞𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧 𝒙 = +∞ 𝒆𝒕 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎 𝒙>𝟎

𝐥𝐧 𝒙 = −∞

THEOREME

Pour tout réel 𝒙 ∈ ]𝟎 ; +∞[, on a :

(𝐥𝐧 𝒙)^′′= − 𝟏 𝒙^𝟐

Sachant que (𝐥𝐧 𝒙)^′′< 𝟎 pour tout 𝒙 ∈ ]𝟎 ; +∞[, la fonction logarithme népérien est concave sur ]𝟎 ; +∞[.

PROPRIETE

(7)

7

–

– –

EXERCICES

• Soit 𝑓 la fonction définie sur ]0 ; 1[ par

𝑓(𝑥) =𝑥 + 2 𝑙𝑛 𝑥.

Déterminer les limites de 𝑓 aux bornes de son ensemble de définition et montrer que la courbe représentative de 𝑓 admet une asymptote verticale.

• Soit 𝑔 la fonction définie sur ]3 ; +∞[ par

𝑔(𝑥) = ln ( 2𝑥 𝑥 − 3).

Déterminer la limite de 𝑔 en 3.

C) TABLEAU DE VARIATION ET COURBE REPRESENTATIVE DE LA FONCTION ln

𝑥 0 1 𝑒 +∞

𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 (ln 𝑥)′

+

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒

𝑙𝑛

−∞

0

1 +∞

(8)

8 D) AUTRES LIMITES

DEMONSTRATION

• lim

𝑥→0

ln(1 + 𝑥)

𝑥 = 1 ∶

Cette égalité découle de la dérivée de 𝑢: 𝑥 ↦ ln (𝑥 + 1) en 𝑥 = 0, en effet, on a :

𝑢′(0) = 1 1 + 0= 1

𝑢′(0) = lim

𝑥→0

ln(𝑥 + 1) − ln 1 𝑥

• lim

𝑥→+∞

ln 𝑥 𝑥 = 0

On fait un changement de variable : on pose 𝑋 = ln 𝑥, on a alors 𝑥 = 𝑒^𝑋. On a alors 𝑥 → +∞ implique 𝑋 → +∞.

𝑥→+∞lim ln 𝑥

𝑥 = lim

𝑋→+∞

𝑋

𝑒^𝑋 𝑜𝑟 lim

𝑋→+∞

𝑒^𝑋

𝑋 = +∞ 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐥𝐢𝐦

𝒙→+∞

𝐥𝐧 𝒙 𝒙 = 𝟎

• lim

𝑥→0 𝑥>0

𝑥 ln 𝑥 = 0

On fait un changement de variable : on pose 𝑋 = 1 𝑥

.

On a alors 𝑥 → 0⁺ implique 𝑋 → +∞.

lim𝑥→0 𝑥>0

𝑥 ln 𝑥 = lim

𝑋→+∞

1 𝑋ln1

𝑋 𝑜𝑟 lim

𝑋→+∞−ln 𝑋

𝑋 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎 𝒙>𝟎

𝒙 𝐥𝐧 𝒙 = 𝟎

• Limite intéressante :

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝐥𝐧(𝟏 + 𝒙)

𝒙 = 𝟏

• Croissance comparée :

𝒙→+∞𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧 𝒙

𝒙 = 𝟎 𝒆𝒕 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎 𝒙>𝟎

𝒙 𝐥𝐧 𝒙 = 𝟎

En conséquence, pour tout entier naturel strictement positif 𝑛 :

𝒙→+∞𝐥𝐢𝐦 𝐥𝐧 𝒙

𝒙^𝒏 = 𝟎 𝒆𝒕 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟎 𝒙>𝟎

𝒙^𝒏𝐥𝐧 𝒙 = 𝟎

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝐥𝐧(𝟏 + 𝒙)

𝒙 = 𝟏

THEOREME

(9)

9 REMARQUE

A l’infini, la fonction 𝒙 ⟼ 𝒙 « l’emporte » sur la fonction ln.

EXEMPLE

Déterminer la limite suivante : lim

𝑥→+∞(𝑥 − 𝑙𝑛 𝑥) 𝑥 − ln 𝑥 = 𝑥 (1 −ln 𝑥

𝑥 )

On a alors :

𝑥→+∞lim 𝑥 = +∞

𝑥→+∞lim ln 𝑥

𝑥 = 0

EXERCICES

Déterminer les limites des fonctions suivantes :

• 𝑓(𝑥) = ln 𝑥

𝑥 + 1 𝑒𝑛 + ∞ • 𝑔(𝑥) = 𝑥²− ln 𝑥 𝑒𝑛 + ∞ • ℎ(𝑥) = 𝑥(ln 𝑥 − 1) 𝑒𝑛 0

REMARQUE

DEMONSTRATION

Evident avec la dérivée de la composition de fonctions.

REMARQUE INTERESSANTE

Les fonctions 𝒖 𝒆𝒕 𝐥𝐧 𝒖 ont le même sens de variation puisque 𝑢 > 0, (ln 𝑢)′ a le même signe que 𝑢′.

EXEMPLES

Déterminer la dérivée de la fonction définie sur ℝ par :

𝑓(𝑥) = ln(1 + 𝑥²)

On pose la fonction 𝑢(𝑥) = 1 + 𝑥². 𝑢 est évidemment strictement positive sur ℝ, donc la fonction 𝑓 est dérivable sur ℝ, et :

𝑓^′(𝑥) = 2 𝑥 1 + 𝑥²

Par somme et produit, on a :

𝑥→+∞lim (𝑥 − 𝑙𝑛 𝑥) = +∞

Soit une fonction 𝑢 dérivable et strictement positive sur un ensemble D. La fonction ln 𝑢 est alors dérivable sur D.

D’une manière générale, on a : (𝐥𝐧 𝒖)^′=𝒖^′ 𝒖

(10)

10 6) Etude d’une fonction

Soit 𝑓 la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 4 𝑥 − 4 ln 𝑥 1) Etudier les limites de 𝑓 en 0 et + ∞.

2) Déterminer 𝑓′(𝑥) et dresser le tableau de variation de la fonction 𝑓.

3) En déduire le nombre de solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = 0. Justifier.

4) A l’aide d’une calculatrice, donner la valeur approchée par défaut à 10⁻³ près des solutions de l’équation 𝑓(𝑥) = 0.

III) LE LOGARITHME DECIMAL

REMARQUES

• On a log 𝑥 = 1

ln 10× ln 𝑥.

Comme 1

ln 10> 0, la fonction log a les mêmes variations et les mêmes limites que la fonction ln.

• La fonction log transforme les produits en somme.

• 𝑦 = log 𝑥 ⟺ 𝑥 = 10^𝑦 ainsi log 10¹= 1 ; log 10²= 2 ; … … ; log 10^𝑛= 𝑛

Voici la courbe représentative de la fonction log ∶ (log 𝑥)^′ = 1 𝑥 ln 10

≈

On appelle logarithme décimal, la fonction notée log, définie sur ]0 ; +∞[ par :

𝐥𝐨𝐠 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙 𝐥𝐧 𝟏𝟎 DEFINITION