Devoir n
o5 - Continuit´ e - D´ erivabilit´ e - TVI - TS 5 d´ ecembre 2017 - 1h
Exercice 1 (5 pts) : Soit la fonction f d´efinie sur R par
f(x) =
(x+ 3 si x <−3 9−x2 si x≥ −3 1. f est-elle continue sur R?
2. f est d´erivable sur R?
Exercice 2 (15 pts) : Partie A : Soit la fonctiong d´efinie sur [−1; +∞[ par g(x) = 2x3−3x2−1
1. Etudier le sens de variation deg sur [−1; +∞[.
2. Montrer que l’´equationg(x) = 0 admet une unique solution dans [−1; +∞[ que l’on notera α.
D´eterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2, puis une valeur approch´ee `a 10−1. 3. En d´eduire le signe de g sur [−1; +∞[.
Partie B : Soit la fonctionf d´efinie sur I =]−1; +∞[ par f(x) = 1−x
x3+ 1 On note Cf la courbe repr´esentative de f.
1. D´eterminer les limites de f aux bornes de I et pr´eciser les asymptotes (s’il y a lieu).
2. a) Calculer f0(x) et v´erifier quef0(x) = g(x) (x3+ 1)2. b) Dresser le tableau de variations de f.
3. D´eterminer une ´equation de (TA), tangente `a Cf en A d’abscisse 1.
4. D´eterminer une ´equation de (TB), tangente `a Cf enB d’abscisse 0 ;
´etudier la position relative de (TB) et Cf .
5. Construire Cf, ses asymptotes et ses tangentes dans le rep`ere ci-dessous.
O J
I
