Chapitre 6
Formules int´ egrales
6.1 Int´ egrales curvilignes
Soit γ : t 7−→ γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) une courbe param´etr´ee r´eguli`ere de l’espaceR3 etV~ = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs.
6.1.1 D´ efinition
On appelle int´egrale curviligne deV~ le long deγ, l’int´egrale : Z
γ
V~ ·γ~0dt= Z b
a
hP(x(t), y(t), z(t))x0(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y0(t)
+ R(x(t), y(t), z(t))z0(t)i dt Exemple
Calculer l’int´egrale curviligne donnant la circulation du vecteurV~ =
µ x−y x+y
¶
le long du cercle Cde centre (0,0) et de rayon 1.
Le cercleC sera param´etris´e par : γ(t) :
x= cost y= sint t∈[0,2π]
Par d´efinition, on pose
I =
Z
C
V~ ·γ0(t)dt= Z 2π
0
³¡cost−sint¢
(−sint) +¡
cost−sint¢ cost´
dt
I =
Z 2π 0
¡1−2 sintcost¢
dt= 2π
49
50 CHAPITRE 6. FORMULES INT ´EGRALES
6.1.2 Th´ eor` eme : Travail d’un champ de gradient
Soit f :R3 →Rune fonction diff´erentiable sur un ouvert U de R3, et soit V~ = −−→gradf son champ de gradient. Soit γ une courbe diff´erentiable de R3, contenue dansU et d’origineAet d’extr´emit´eB. Alors on a :
Z
γ
V~ ·γ~0dt=f(B)−f(A)
On dit que le travail d’un champ de gradient ne d´epend que des extr´emit´es de la courbe.
preuve
Il suffit de voir que la primitive de l’expression h∂f
∂x(x(t), y(t), z(t))x0(t) + ∂f
∂y(x(t), y(t), z(t))y0(t) + ∂f
∂z(x(t), y(t), z(t))z0(t)i est exactement la fonction :
t7→f(x(t), y(t), z(t))
¥
6.1.3 Th´ eor` eme : Formule de Green-Riemann
Si γ est une courbe plane ferm´ee de classe C1 par morceaux d´elimitant un domaine compact simpleD du plan, alors on a la formule de Green-Riemann :
Z
γ
V~ ·γ~0dt= ZZ
D
µ∂Q
∂x −∂P
∂y
¶ dxdy
o`u la courbeγest parcourue en laissant le dommaine constamment `a sa gauche.
Cette formule est un cas particulier de la formule du paragraphe suivant.
Exemple
Calculer l’int´egrale curviligne donnant la circulation du vecteurV~ =
µ x3−y3 x3+y3
¶
le long du cercleCde centre (0,0) et de rayon 1 parcouru dans le sens trigonom´etrique.
La formule de Green-Riemann donne l’int´egrale double sur le disque D d’´equation :x2+y2≤1.
I= ZZ
D
(3x2+ 3y2)dxdy On peut int´egrer en passant en coordonn´ees polaires :
I= ZZ
[0,1]×[0,2π]
3ρ2ρ dρ dθ= 3 2π
6.2. INT ´EGRALES DE SURFACES 51
Une application au calcul d’aire plane
Si γ est une courbe plane ferm´ee de classe C1 par morceaux d´elimitant un domaine compact simpleD du plan, alors l’aire deD peut se calculer par :
A(D) = ZZ
D
dxdy= Z
γ
x(t)y0(t)dt= Z
γ−y(t)x0(t)dt
= 1
2 Z
γ
(x(t)y0(t)−y(t)x0(t))dt
Exemple
Calculer l’aire de l’ellipse d’´equation : x2 a2 +y2
b2 = 1.
On param´etrise l’ellipse par :
γ(t) :
x=acost y=bsint t∈[0,2π]
Puis on applique la formule :
A =
ZZ
D
dxdy= Z
γ
x(t)y0(t)dt
= Z 2π
0
(acost bcost)dt= Z 2π
0
(abcos2t)dt
= π a b
6.2 Int´ egrales de surfaces
Soit Σ une surface r´eguli`ere param´etr´ee de l’espaceR3 de param´etrisation : σ:D⊂R2 −→ R3
(u, v) 7−→ ³
x(u, v), y(u, v), z(u, v)´ Soitφ(x, y, z) un champ scalaire de l’espace.
6.2.1 D´ efinition : Int´ egrale de surface
On appelle Int´egrale deφsur la surface Σ, l’int´egrale : ZZ
Σ
φ dσ = ZZ
D
φ(σ(u, v))||N~||dudv
o`uN~ est le vecteur normal associ´e `a la param´etrisation.
52 CHAPITRE 6. FORMULES INT ´EGRALES Remarque
La quantit´e||N~||dudv est appel´ee ”´el´ement de surface” et not´eedσ.
Exemple
Calculer l’aire du tronc de cˆone Σ : x2+y2=z2 0≤a≤z≤b.
On a juste `a calculer l’int´egrale ZZ
Σ
dσ, o`u le tronc de cˆone Σ sera param´etris´e par :
σ(t) :
x=rcost y=rsint z=r
a≤r≤b ; t∈[0,2π].
Le vecteur normalN~ se calcule par :
∂x
∂r
∂y
∂r
∂z
∂r
∧
∂x
∂t
∂y
∂t
∂z
∂t
=
cost sint 1
∧
−rsint rcost
0
=
−rcost
−rsint r
d’o`u :
ZZ
Σ
dσ = ZZ
Σ||N~||drdt= Z b
a
Z 2π 0
√2r2drdt
= √
2π(b2−a2) =π√
2(b−a)(b+a) On pourra remarquer que le r´esultat correspond `a la formule
A=π(R+r) h cosα
o`u R et r sont les rayons des bases du tronc de cˆone, h sa hauteur et α son demi-angle au sommet.
6.2.2 D´ efinition : Flux d’un champ de vecteurs
SoitV~ = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteurs.
On appelle Flux deV~ `a travers la surface Σ l’int´egrale : ZZ
Σ
(V~ ·~n)dσ = ZZ
D
V~ ·N dudv~
o`u N~ est le vecteur normal associ´e `a la param´etrisation et~n= N~
||N~||.
6.3. TH ´EOR `EME : FORMULE DE STOCKES-AMP `ERE 53 Exemple
Calculer le flux du champ de vecteurs V~(x, y, z) sortant `a travers la demi- sph`ere Σ d’´equationz≥0 etx2+y2+z2= 1.
On param´etrise la demi sph`ere par
σ(u, v) :
x= cosusinv y= sinusinv z= cosv
u∈[0,2π] ; v∈[0,π2].
Le vecteur normal sortant se calcule par
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∧
∂x
∂u
∂y
∂u
∂z
∂u
=
cosucosv sinucosv
−sinv
∧
−sinusinv cosusinv
0
=
cosusin2v sinusin2v sinv cosv
On obtient pour le flux : φ=
ZZ
Σ
sinv dudv= Z 2π
0
du Z π2
0
sinv dv= 2π
6.3 Th´ eor` eme : Formule de Stockes-Amp` ere
Si on d´esigne par ∂Σ le bord orient´e de la surface Σ de param´etrisation γ:t7−→γ(t) alors on a la formule dite de Stockes-Amp`ere :
Z
∂Σ
V~ ·γ~0 dt= ZZ
Σ
(−→rotV~ ·N)~ dudv
Cette formule dit que la circulation d’un champ de vecteurs V~ le long du bord orient´e d’une surface Σ est ´egale au flux du rotationnel de V~ `a travers cette surface Σ.
Exemple
Calculer le flux du champ de vecteursV~(x,−y,2) sortant `a travers la demi- sph`ere Σ d’´equationz≥0 etx2+y2+z2= 1 en utilisant une int´egrale curviligne.
PosonsU~ = (−y, x, xy). Alors on peut v´erifier (exercice) que
−→rotU~ =V~ On peut donc ´ecrire
ZZ
Σ
V~ ·N dudv~ = Z
C
U~ ·γ0(t)dt
54 CHAPITRE 6. FORMULES INT ´EGRALES o`u Cest le cercle de rayon 1 d´elimitant la demi-sph`ere et param´etris´e par :
γ(t) :
x= cost y= sint z= 0 t∈[0,2π]
γ0(t) =
−sint cost
0
On calcule alors l’int´egrale φ=
Z 2π 0
(sin2t+ cos2t)dt= Z 2π
0
dt= 2π
Remarque : essayez de retrouver ce r´esultat en utilisant la d´efinition du flux.
6.4 Th´ eor` eme : Formule de Green-Ostrogradsky
SoitK un domaine ferm´e et born´e de R3 et limit´e par une surface orient´ee Σ qui est pr´ecis´ement le bord orient´e deK :∂K= Σ.
SoitV~ un champ vectoriel de classeC1surK.
On a la formule dite d’Ostrogradsky : ZZ
Σ
(V~ ·~n)dσ= ZZZ
K
DivV dxdydz~
Cette formule dit que le flux de V~ sortant `a travers la survace ferm´ee Σ est
´egal `a la l’int´egrale de la divergence deV~ dans le volume d´elimit´e par la surface.
Exemple
Calculer le flux du champ de vecteursV~(x3, y3, z3) sortant `a travers la sph`ere Σ d’´equationx2+y2+z2= 1 en passant par le calcul d’une int´egrale triple.
On calcule d’abord DivV~ =∂ x3
∂x +∂ y3
∂y +∂ z3
∂z = 3(x2+y2+z2) Puis on calcule l’int´egrale
φ= ZZZ
V
3(x2+y2+z2)dxdydz
sur la bouleV d’´equationx2+y2+z2≤1. En passant en coordonn´ees sph´eriques :
x=rsinϕcosθ y=rsinϕsinθ z=rcosϕ
r∈[0,1] ; θ∈[0,2π] ; ϕ∈[0, π].
6.4. TH ´EOR `EME : FORMULE DE GREEN-OSTROGRADSKY 55 On obtient :
φ =
ZZZ
V
3r2r2sinϕ dr dθ dϕ
φ =
Z 1 0
3r4dr Z 2π
0
dθ Z π
0
sinϕ dϕ= 12 5 π
