´Episode I : Int´egration

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2

^`eme

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2013/2014

´Episode I : Int´egration

E ^XERCICE 1

Calculer les int´egrales suivantes : 1. I 1 =

Z 2 1

(x − 1)(x − 2) dx 2. I 2 =

Z ¹

0

(3x ^{1 / 2} − 6x) dx 3. I 3 =

Z ³

0

( √

2x + x ^1/3 ) dx

4. I 4 = Z 2

1

dx x ³ 5. I 5 =

Z ²

1

x − 1

√ x

dx 6. I 6 =

Z ¹

0

dx x + 2

7. I 7 = Z 6

3

e ^x (e ^x + 3) dx 8. I 8 =

Z ²

−2

(x ³ − x ¹³ )x ² dx 9. I 9 =

Z ²

0

2x + 1 (x ² + x + 1) ² dx

E XERCICE 2

Calculer les int´egrales suivantes `a l’aide d’une int´egration par parties : 1. I 1 =

Z ²

1

xln(x) dx 2. I 2 =

Z ¹

0

xe ^{− x} dx

3. I 3 = Z ¹

0

√ x

1 + x dx 4. I 4 =

Z ¹

−1

(3x ² + 4x)e ^x dx

5. I 5 = Z ³

2

ln(x ² − 1) dx 6. I 6 =

Z ¹

0

x + 1 e ^x dx

E XERCICE 3

Calculer les int´egrales suivantes `a l’aide d’un changement de variable : 1. I 1 =

Z ¹

0

(1 + x ² )x dx (u = 1 + x ² ) 2. I 2 =

Z 1 0

e ^x

(10 − 3e ^x ) ² dx (u = 10 − 3e ^x ) 3. I 3 =

Z ³

0

1 1 + √

x dx (u = 1 + √ x)

4. I 4 = Z e

1

dx x p

ln(x) + 1 (u = ln(x)) 5. I 5 =

Z ¹

0

dx

e ^x + 1 (u = e ^x ) 6. I 6 =

Z ²

1

ln(x)

√ x dx (u = √ x)

E XERCICE 4

Soit f la fonction d´efinie sur R par :

f (x) =







cx si 0 ≤ x ≤ 1 c(2 − x) si 1 ≤ x ≤ 2

0 sinon 1. Calculer la valeur du r´eel c de sorte que

Z ^+∞

−∞

f (x)dx = 1.

2. Calculer Z ^+∞

−∞

xf(x) dx puis Z ^+∞

−∞

x ² f (x) dx − Z +∞

−∞

xf (x) dx ²

.

E XERCICE 5

Sans utiliser les crit`eres de convergence, d´eterminer si les int´egrales suivantes convergent, et le cas ´ech´eant calculer leur valeur :

1. I 1 = Z ^+∞

0

1 dt 2. I 2 =

Z ^+∞

1

t (1 + t ² ) ² dt 3. I 3 =

Z 0

−∞

xe ^−x

²

dx

4. I 4 = Z ^+∞

2

1 3 ^t dt 5. I 5 =

Z ^+∞

0

xe ^{− x} dx 6. I 6 =

Z ^+∞

2

1 t ln ² (t) dt

7. I 7 = Z ¹

0

ln t dt 8. I 8 =

Z ⁰

−∞

3e ^x dx 9. I 9 =

Z ¹

0

√ dt 1 − t

E ^XERCICE 6

En utilisant les crit`eres de convergence, d´eterminer si les int´egrales suivantes sont convergentes : 1. I 1 =

Z +∞

0

2 3

^x dx 2. I 2 =

Z ^+∞

1

dx x ³ + 3x ² + x 3. I 3 =

Z ^+∞

0

r 2x + 3 5x ³ + 3x ² + 7 dx

4. I 4 = Z +∞

0

x − 5 x ² + 4x + 4 dx 5. I 5 =

Z +∞

1

ln x x ² + 1 dx 6. I 6 =

Z +∞

0

e ^−u

²

du

7. I 7 = Z +∞

1

ln

1 + 1 x ²

dx 8. I 8 =

Z ^+∞

e

dx x ln x 9. I 9 =

Z ^+∞

e

dx x(ln x) ²

I ^NDICATION

On pourra pour I 8 et I 9 utiliser le changement de variable u = ln x .

E XERCICE 7

1. Montrer que l’int´egrale Z ^+∞

2

1 x √

x dx est convergente et calculer sa valeur.

Soit f : R −→ R la fonction d´efinie par : f (x) =







0 si x < 2 1

x √

2x si x > 2 . 2. Montrer que

Z ^+∞

−∞

f (x) dx = 1 (f ´etant `a valeurs positives ou nulles, on dira que f d´efinit une densit´e de probabilit´e).

3. Soit X une variable al´eatoire r´eelle admettant f pour densit´e.

(a) D´eterminer suivant les valeurs de x, F(x) = Z x

−∞

f (t) dt (la fonction de r´epartition de X ).

(b) Montrer que l’int´egrale Z ^+∞

−∞

xf(x) dx diverge (en d’autres termes, la variable al´eatoire X n’admet

pas d’esp´erance).