´Episode I : Int´egration

UNIVERSIT ´E DE BORDEAUX 2

^`eme

ann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2015/2016

´Episode I : Int´egration

E ^XERCICE 1

Calculer les int´egrales suivantes : 1. I 1 =

Z ²

1

(x − 1)(x − 2) dx 2. I 2 =

Z ¹

0

(3x ^1/2 − 6x) dx 3. I 3 =

Z ³

0

( √

2x + x ^1/3 ) dx

4. I 4 = Z ²

1

dx x ³ 5. I 5 =

Z ²

1

x − 1

√ x

dx 6. I 6 =

Z ¹

0

dx x + 2

7. I 7 = Z ⁶

3

e ^x (e ^x + 3) dx 8. I 8 =

Z ²

−2

(x ³ − x ¹³ )x ² dx 9. I 9 =

Z ²

0

2x + 1 (x ² + x + 1) ² dx

E ^XERCICE 2

Calculer les int´egrales suivantes `a l’aide d’une int´egration par parties : 1. I 1 =

Z 2 1

xln(x) dx 2. I 2 =

Z ¹

0

xe ^{− x} dx

3. I 3 = Z 1

0

√ x

1 + x dx 4. I 4 =

Z ¹

−1

(3x ² + 4x)e ^x dx

5. I 5 = Z 3

2

ln(x ² − 1) dx 6. I 6 =

Z ¹

0

x + 1 e ^x dx

E ^XERCICE 3

Calculer les int´egrales suivantes `a l’aide d’un changement de variable : 1. I 1 =

Z 1 0

(1 + x ² )x dx (u = 1 + x ² ) 2. I 2 =

Z ¹

0

e ^x

(10 − 3e ^x ) ² dx (u = 10 − 3e ^x ) 3. I 3 =

Z 3 0

1 1 + √

x dx (u = 1 + √ x)

4. I 4 = Z e

1

dx x p

ln(x) + 1 (u = ln(x)) 5. I 5 =

Z ¹

0

dx

e ^x + 1 (u = e ^x ) 6. I 6 =

Z ²

1

ln(x)

√ x dx (u = √ x)

E XERCICE 4

Soit f la fonction d´efinie sur R par :

f (x) =







cx si 0 ≤ x ≤ 1 c(2 − x) si 1 ≤ x ≤ 2

0 sinon

1. Calculer la valeur du r´eel c de sorte que Z ^+∞

−∞

f (x)dx = 1.

2. Calculer Z ^+∞

−∞

xf(x) dx puis Z ^+∞

−∞

x ² f (x) dx − Z +∞

−∞

xf (x) dx ²

.

E ^XERCICE 5

D´eterminer si les int´egrales suivantes convergent, et le cas ´ech´eant calculer leur valeur : 1. I 1 =

Z +∞

0

1 dt 2. I 2 =

Z +∞

1

t (1 + t ² ) ² dt 3. I 3 =

Z ⁰

−∞

xe ^{− x}

²

dx

4. I 4 = Z +∞

2

1 3 ^t dt 5. I 5 =

Z +∞

0

xe ^−x dx 6. I 6 =

Z +∞

2

1 t ln ² (t) dt

7. I 7 = Z 1

0

ln t dt 8. I 8 =

Z ⁰

−∞

3e ^x dx 9. I 9 =

Z ¹

0

√ dt

1 − t

E XERCICE 6

1. Montrer que l’int´egrale Z ^+∞

2

1 x √

x dx est convergente et calculer sa valeur.

Soit f : R −→ R la fonction d´efinie par : f (x) =







0 si x < 2 1

x √

2x si x > 2 . 2. Montrer que

Z ^+∞

−∞

f (x) dx = 1 (on dira que f d´efinit une densit´e de probabilit´e).

3. Soit X une variable al´eatoire r´eelle admettant f pour densit´e.

(a) D´eterminer suivant les valeurs de x, F(x) = Z x

−∞

f (t) dt (la fonction de r´epartition de X ).

(b) Montrer que l’int´egrale Z ^+∞

−∞

xf (x) dx diverge ( i.e. la variable al´eatoire X n’admet pas d’esp´erance).

E XERCICE 7

Une nouvelle console de jeux est mise sur le march´e. Soit x le prix unitaire en centaines d’euros de cette console.

La fonction d’offre des fournisseurs (en milliers de console) est la fonction f d´efinie sur ]0; 6] par : f (x) = 0, 7e ^0,5x+2

o `u f (x) est la quantit´e propos´ee par les fournisseurs pour un prix unitaire de x.

La fonction de demande des consommateurs (en milliers de console) est la fonction g d´efinie sur ]0; 6] par

g(x) = 10 ln 20

x

o `u g(x) est la quantit´e demand´ee par les consommateurs pour un prix unitaire de x.

1. Les courbes repr´esentatives C ^f et C ^g des fonctions f et g sont trac´ees dans le rep`ere O;~i,~j

ci-dessous.

(a) Identifier les courbes C ^f et C ^g . Expliquez votre choix.

(b) Que repr´esente le point A d’un point de vue ´economique ? Lire ses coordonn´ees (x 0 ; y 0 ) sur le graphique.

2. On prendra dans cette question x 0 = 2, 7 et y 0 = 20.

(a) D´eterminer une primitive F de f sur l’intervalle ]0; 6].

(b) On appelle surplus des fournisseurs le nombre S = x 0 y 0 − Z x

0

0

f (x) dx.

Ce nombre repr´esente une aire. Repr´esenter cette aire sur le graphique ci-dessous. Calculer S.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1 2 3 4 5

0

x

y

A