´Episode I : Int´egration

UNIVERSIT ´E MONTESQUIEU BORDEAUX IV 2^`emeann´ee Licence Eco-Gestion

Semestre 1 2012/2013

´Episode I : Int´egration

E

1

Calculer les int´egrales suivantes : 1. I1=

Z 2 1

(x−1)(x−2)dx 2. I2=

Z ¹

0

(3x^1/2−6x)dx 3. I3=

Z ³

0

(√

2x+x^1/3)dx

4. I4= Z 2

1

dx x³ 5. I5=

Z ²

1

x− 1

√x

dx 6. I6=

Z ¹

0

dx x+ 2

7. I7= Z 6

3

e^x(e^x+ 3)dx 8. I8=

Z ²

−2

(x³−x¹³)x²dx 9. I9=

Z ²

0

2x+ 1 (x²+x+ 1)²dx

E

2

Calculer les int´egrales suivantes `a l’aide d’une int´egration par parties : 1. I1=

Z 2 1

xln(x)dx 2. I2=

Z ¹

0

xe^−xdx

3. I3= Z 1

0

√ x

1 +xdx 4. I4=

Z ¹

−1

(3x²+ 4x)e^xdx

5. I5= Z 3

2

ln(x²−1)dx 6. I6=

Z ¹

0

x+ 1 e^x dx

E

3

Calculer les int´egrales suivantes `a l’aide d’un changement de variable : 1. I1=

Z ¹

0

(1 +x²)x dx (u= 1 +x²) 2. I2=

Z ¹

0

e^x

(10−3e^x)²dx (u= 10−3e^x) 3. I3=

Z ³

0

1 1 +√

xdx (u= 1 +√ x)

4. I4= Z e

1

dx xp

ln(x) + 1 (u=ln(x)) 5. I5=

Z 1 0

dx

e^x+ 1 (u=e^x) 6. I6=

Z ²

1

ln(x)

√x dx (u=√ x)

E

4

Int´egrer les fractions rationnelles suivantes : 1. I1=

Z x³+ 1 x²−x−2dx 2. I2=

Z 1

x²−5x+ 4dx

3. I3=

Z 2x+ 1 (x−1)²dx 4. I4=

Z x²−1 (x+ 2)²(x−3)dx

E

5

Soitf la fonction d´efinie surRpar :

f(x) =







cx si 0≤x≤1 c(2−x) si 1≤x≤2

0 sinon

1. Calculer la valeur du r´eelcde sorte que Z ^+∞

−∞

f(x)dx= 1.

2. Calculer Z ^+∞

−∞

xf(x)dxpuis Z ^+∞

−∞

x²f(x)dx− Z +∞

−∞

xf(x)dx ²

.